人教版高中数学必修二教案：1.3《球的体积和表面积》

《球的体积和表面积》教案
教学目标
1、知识与技能
⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识.
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题.
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力.
2、过程与方法
通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝πR3和面积公式Ｓ＝4πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想.
3、情感与价值观
通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心.
教学重难点
重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法.
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成.
教学过程
一、创设情景
提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考.
设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式.
二、探究新知
1．探究球的体积公式
回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.
构造新的几何体，结合祖暅原理推导球的体积公式(见P32页).
球的体积公式：.
2.探究球的表面积公式
设球的半径为，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积:
以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径近似地等于小棱锥的高，因此，第个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:
，
又∵，且
∴可得，
又∵，∴，
∴即为球的表面积公式
三、例题示范
例1已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积.
解：设截面圆心为，连结，设球半径为，
则，
在中，，
∴，∴，
∴．
例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积.
解：作轴截面如图所示，
，，
设球半径为，
则

∴，
∴，．
例3．表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积
解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，
则作轴截面如图，，，
又∵，∴，
∴，∴，
∴．
例4. 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的；
(2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。

四、练习反馈
1．三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的____倍；
2.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加_______倍；
3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是_______；
4.正方体全面积是，它的外接球的体积是_______，内切球的体积是________．
答案：1. 3 2. 7 3. 6 4. ，
5?球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．
分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可．
解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为、，
∴三个球的表面积之比是．
五、小结归纳
球的表面积公式的推导及应用；球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算“分割求近似和化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法——极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；球的体积公式和表面积公式要熟练掌握．
六、作业布置
作业P29练习B组1、2、3.