北师大版初中数学八年级上册第六章数据的分析知识讲解，巩固练习含解析

数据的分析——知识讲解
【学习目标】
1、了解加权平均数的意义和求法，会求一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．
2、了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法．进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特征．
3、了解极差、方差和标准差的意义及求法，体会它们在刻画数据波动时的不同特征．体会用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．
4、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯.
【要点梳理】
要点一、算术平均数和加权平均数
一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.
要点诠释：
平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.
（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.
（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.
若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.
要点诠释：
（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.
（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.
要点二、中位数和众数
1.中位数
一般地，n个数据按照大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
要点诠释：
（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.
（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.
2.众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.
要点诠释：
（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个.
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别
联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.
区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.
要点四、极差、方差和标准差
1.极差
一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据.
要点诠释：
极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定.
2.方差
方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差的计算公式是：
，其中，是，，…的平均数.　
要点诠释：
（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.
3.标准差
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即：
　　；标准差的数量单位与原数据一致.
4.极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
要点五、用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.
要点诠释：
（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.
【典型例题】
类型一、平均数、中位数、众数
1、（2019?福州）若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（　　）
A．0 B．2.5 C．3 D．5
【答案与解析】
解：（1）将这组数据从小到大的顺序排列为1，2，3，4，x，处于中间位置的数是3，
∴中位数是3，
平均数为（1+2+3+4+x）÷5，
∴3=（1+2+3+4+x）÷5，
解得x=5；符合排列顺序；
（2）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，3，x，4，中位数是3，
此时平均数是（1+2+3+4+x）÷5=3，
解得x=5，不符合排列顺序；
（3）将这组数据从小到大的顺序排列后1，x，2，3，4，中位数是2，
平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，
解得x=0，不符合排列顺序；
（4）将这组数据从小到大的顺序排列后x，1，2，3，4，中位数是2，
平均数（1+2+3+4+x）÷5=2，
解得x=0，符合排列顺序；
（5）将这组数据从小到大的顺序排列后1，2，x，3，4，中位数，x，
平均数（1+2+3+4+x）÷5=x，
解得x=2.5，符合排列顺序；
∴x的值为0、2.5或5．
故选C．
【总结升华】考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数
举一反三：
【变式】若数据3.2，3.4，3.2，，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________．
【答案】3.2；3.5；
解：由题意，所以众数是3.2，平均数是3.5.
2、（2018?广州）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙、丙三个小组各项得分如下表：
小组
研究报告
小组展示
答辩
甲
91
80
78
乙
81
74
85
丙
79
83
90
计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序：如果按照研究报告占40%，小组展示占30%，答辩占30%，计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？
【思路点拨】（1）运用求平均数公式即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.
【答案与解析】
解：（1）由题意可得，甲组的平均成绩是：（分），乙组的平均成绩是：（分），丙组的平均成绩是：（分），从高分到低分小组的排名顺序是：丙＞甲＞乙；（2）由题意可得，甲组的平均成绩是：（分），乙组的平均成绩是：（分），丙组的平均成绩是：（分），由上可得，甲组的成绩最高．
答案：甲组的成绩最高【总结升华】本题考查算术平均数、加权平均数、统计表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
举一反三：
【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?
【答案】
解：小王平时测试的平均成绩（分）．
所以（分）．
答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．
3、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损)．
已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分．
(1)求该班80分和90分的人数分别是多少?
(2)设此班30名学生成绩的众数为，中位数为，求的值．
【答案与解析】
解：(1)设该班得80分的有人，得90分的有人．
根据题意和平均数的定义，得
整理得 解得
即该班得80分的有8人，得90分的有5人．
(2)因为80分出现8次且出现次数最多．所以＝80，第15、16两个数均为80分，所以＝80，则＝80＋80＝160．
【总结升华】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．解题的关键是准确理解题意，建立等量关系.
举一反三：
【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．
零花钱数额（元）
5
10
15
20
学生个数（个）
15
20
5
请根据图表中的信息，回答以下问题.
(1)求的值；
(2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数．
【答案】
解：(1) ＝50－15－20－5＝10．
(2)众数是15．
平均数为(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．
类型二、极差、方差和标准差
4、（2019?徐州）某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表；
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
九（1）
85
九（2）
85
100
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
（3）计算两班复赛成绩的方差．
【思路点拨】（1）观察图分别写出九（1）班和九（2）班5名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可；
（2）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好；
（3）根据方差公式计算即可：s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“等于差方的平均数”）
【答案与解析】解：（1）由图可知九（1）班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100，
九（2）班5名选手的复赛成绩为：70、100、100、75、80，
∴九（1）的平均数为（75+80+85+85+100）÷5=85，
九（1）的中位数为85，
九（1）的众数为85，
把九（2）的成绩按从小到大的顺序排列为：70、75、80、100、100，
∴九（2）班的中位数是80；
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
九（1）
85
85
85
九（2）
85
80
100
（2）九（1）班成绩好些．因为九（1）班的中位数高，所以九（1）班成绩好些．（回答合理即可给分）
（3），
【总结升华】本题考查了中位数、众数以及平均数的求法，同时也考查了方差公式，解题的关键是牢记定义并能熟练运用公式．
举一反三：
【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下(单位：分)
甲
95
82
88
81
93
79
84
78
乙
83
75
80
80
90
85
92
95
(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；
(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由．
【答案】
解：(分)，
(分)．
甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．
(2)由(1)知分，所以
，
．
①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为，，所以甲的成绩较稳定；
④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．
类型三、统计思想
5、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图．
(1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；
(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有多少户．
【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t的用户所占的百分比，再进一步估计总体．
【答案与解析】
解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是
．
∴这组样本数据的平均数为6.8．
∴在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多．
∴这组数据的众数是6.5．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，有．
∴这组数据的中位数是6.5．
(2)∵10户中月均用水量不超过7t的有7户，有．
∴根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有35户．
【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．
数据的分析——巩固练习
【巩固练习】
一.选择题
1．（2019?衢州）某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．8名学生在一次数学测试中的成绩为80，82，79，69，74，78，，81，这组成绩的平均数是77，则的值为( )．
A．76 B．75 C．74 D．73
3．有8个数的平均数是11，还有12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是( )．
A．11.6 B．232 C．23.2 D．11.5
4.（2018?包头）一组数据2，3，5，4，4，6的中位数和平均数分别是（　　）
A．4.5和4 B．4和4 C．4和4.8 D．5和4
5. 一组数据的方差为，将这组数据中的每个数都除以2，所得新数据的方差是( )．
A． B． C． D．
6. 已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别为( )．
A．2， B．2，1 C．4， D．4，3
二.填空题
7．（2019?安顺）一组数据2，3，x，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是　 　．
8．数据1、2、4、4、3、5、l、4、4、3、2、3、4、5，它们的众数是____、中位数是____、平均数是_______．
9.（2018?包头）已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为　　　　　　．
10．在数据－1，0，4，5，8中插入一个数据，使得该数据组的中位数为3，则＝________．
11．某次射击训练中，一小组的成绩如下表所示：
环数
6
7
8
9
人数
1
3
2
若该小组的平均成绩为7.7环，则成绩为8环的人数为_________．
12.甲、乙两人比赛射飞镖，两人所得的平均环数相同，其中甲所得环数的方差为13，乙所得环数如下：2，5，6，9，8，则成绩比较稳定的是________．
三.解答题
13. 一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试．他们的各项成绩(百分制)如下：
应试者
听
说
读
写
甲
85
83
78
75
乙
73
80
85
82
(1)如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3:3:2:2的比确定，计算两名应试者的平均成绩(百分制)．从他们的成绩看，应该录取谁?
(2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2:2:3:3的比确定，计算两名应试者的平均成绩(百分制)．从他们的成绩看，应该录取谁?
14. 甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射10次，将射击结果作统计分析，如下表所示：
命中环数
5
6
7
8
9
10
平均数
众数
方差
甲命中环数的次数
1
4
2
1
1
1
7
6
2.2
乙命中环数的次数
1
2
4
2
1
(1)请你填上表中乙学生的相关数据；
(2)根据你所学的统计知识，利用上述某些数据评价甲、乙两人的射击水平．
15. （2019?桐庐）2018年5月某日，浙江省11个城市的空气质量指数（AQI）如图所示：
（1）这11个城市当天的空气质量指数的众数是　60　；中位数是　55　；
（2）当0≤AQI≤50时，空气质量为优．若在这11个城市中随机抽取一个，求抽到的城市这一天空气质量为优的概率；
（3）求杭州、宁波、嘉兴、温州、湖州五个城市当天的空气质量指数的平均数．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C；
【解析】∵某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．
已知这组数据的平均数是5，
∴x=5×7﹣4﹣4﹣5﹣6﹣6﹣7=3，
∴这一组数从小到大排列为：3，4，4，5，6，6，7，
∴这组数据的中位数是：5．故选C．
2．【答案】D；
【解析】由题意，解得.
3．【答案】A；
【解析】
4.【答案】B ；
【解析】这组数据按从小到大的顺序排列为：2，3，4，4，5，6，
故中位数为：（4+4）÷2=4；
平均数为：（2+3+4+4+5+6）÷6=4．
故答案为：B．
5.【答案】C；
6.【答案】D；
【解析】本题可用公式直接计算．
虽然此类题可由方差的定义求得，但这道题可推广为：若，…，的平均数是，方差为，则，，…，的平均数为，方差不变；，…，的平均数为，方差为，因此,，的平均数为，方差为，这个结论可直接运用到填空题或选择题．
二.填空题
7．【答案】解：利用平均数的计算公式，得（2+3+x+5+7）=4×5，解得x=3，
则这组数据的众数即出现最多的数为3．故答案为：3．
8．【答案】4；3.5；3.21；
【解析】 数据中4出现了5次，出现的次数最多，所以众数是4；把数据重新排列，最中间的两个数是3和4，所以这组数据的中位数是3.5；这组数据的平均数是．
9.【答案】2；
【解析】平均数为=（1+2+3+4+5）÷5=3，
S2= [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．
故答案为：2．
10．【答案】2 ；
11．【答案】4；
【解析】设成绩为8环的人数为，则.
12.【答案】乙；
【解析】由题意知＝6，，则乙的成绩比较稳定.
三.解答题
13.【解析】
解：(1)听、说、读、写的成绩按3:3:2:2的比确定，
则甲的平均成绩为：(分)．
乙的平均成绩为：(分)．
显然甲的成绩比乙高，所以从成绩看，应该录取甲．
(2)听、说、读、写的成绩按照2:2:3:3的比确定，
则甲的平均成绩为：(分)．
乙的平均成绩为：(分)．
显然乙的成绩比甲高，所以从成绩看，应该录取乙．
14.【解析】
解：乙命中10环的次数为0；
乙所命中环数的众数为7，其平均数为
；
故其方差为．
甲、乙两人射击水平的评价：①从成绩的平均数与众数看，甲与乙的成绩相差不多；②从成绩的稳定性看，，乙的成绩波动小，比较稳定；③从良好率(成绩在8环或8环以上)看，甲、乙两人成绩相同；④从优秀率看(成绩在9环及9环以上)看，甲的成绩比乙的成绩好．
15.【解析】
解：（1）将11个数据按从小到大的顺序排列为：37，42，43，49，52，55，60，60，63，75，80，
60出现了两次，次数最多，所以众数是60，
第6个数是55，所以中位数是55．
故答案为60，55；
（2）∵当0≤AQI≤50时，空气质量为优，
由图可知，这11个城市中当天的空气质量为优的有4个，
∴若在这11个城市中随机抽取一个，抽到的城市这一天空气质量为优的概率为；
（3）杭州、宁波、嘉兴、温州、湖州五个城市当天的空气质量指数的平均数为：
（75+63+60+80+52）÷5=66．