北师大版初中数学八年级上册第七章平行线的证明： 命题、证明及平行线的判定定理(基础)含解析

命题、证明及平行线的判定定理（基础）知识讲解
【学习目标】
1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；
2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；
4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；
5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.
【要点梳理】
要点一、定义与命题
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
要点诠释：
（1）定义实际上就是一种规定.
（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.
真命题：正确的命题叫做真命题.
假命题：不正确的命题叫做假命题.
要点诠释：
（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.
（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.
要点二、证明的必要性
要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.
要点三、公理与定理
1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.
要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.
2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.
要点诠释：
证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.
要点四、平行公理及平行线的判定定理
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
2．平行线的判定定理
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠3＝∠2
∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠1＝∠2
∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠4＋∠2＝180°
∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【典型例题】
类型一、定义与命题
1．请说出下列名词的定义：
（1）无理数 （2）直角三角形
【答案与解析】
解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.
（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
【总结升华】对学过的定义要准确地牢记.
举一反三：
【变式】指出下列句子哪些是定义.
(1)两直线平行,内错角相等；
(2)两腰相等的梯形叫等腰梯形；
(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；
(4)等腰三角形的两底角相等；
(5)平行四边形的对角线互相平分；
(6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
【答案】（2），（3），（6）是定义.
2．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：
（1）如果，那么；
（2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角.
【答案与解析】
解：（1）条件：；结论：.它是真命题.
（2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角.
【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.
举一反三：
【变式】（2013?贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（　　）.
A．若，则 B．若a＞b，则am＞bm
C．两个等腰三角形必定相似 D．位似图形一定是相似图形
【答案】D
类型二、公理、定理及证明
3．证明：等角的余角相等．
【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.
【答案与解析】
已知：∠1＝∠2，∠1+∠3＝90°，∠2+∠4=90°.
求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，（已知）
∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.（等式的性质）
∵∠1=∠2（已知），
∴∠3=∠4（等量代换）.
【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据．此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”.
举一反三：
【变式】“垂线段最短”是（ ）.
A．定义 B．定理 C．公理 D．不是命题
【答案】B
类型三、平行线的判定定理
4. （2019?淄博）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．
【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行证明OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA∥BC．
【答案与解析】
解：OA∥BC，OB∥AC．
∵∠1=50°，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∴OB∥AC，
∵∠2=50°，∠3=130°，
∴∠2+∠3=180°，
∴OA∥BC．
【总结升华】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
举一反三：
【变式】（2018?宁城）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　）个．
（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；
（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；
（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确；
（4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确．
∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个；
故选：C．
5.（2018?日照期末）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．
【答案与解析】
证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，∠CFE=∠E，
∴∠1=∠CFE=∠E，
∴∠2=∠E，
∴AD∥BC．
【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．
举一反三：
【变式】已知，如图，EF(EG，GM(EG，(1=(2，AB与CD平行吗？请说明理由．
【答案】
解：AB∥CD．理由如下：如图：

∵ EF(EG，GM(EG (已知)，
∴ ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．
又∵ ∠1＝∠2(已知)，
∴ ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，
即∠3＝∠4．
∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．
命题、证明及平行线的判定定理（基础）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1.下列命题中，属于定义的是（ ）.
A、两点确定一条直线 B、同角的余角相等
C、两直线平行，内错角相等 D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
2．下列真命题的个数是 ( ).
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②两条不相交的直线叫做平行线；
③在同一平面内不相交的两条射线是平行线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是 ( ).
A．平行的性质
B．等量代换
C．平行于同一直线的两条直线平行.
D．以上都不对
4．（2019?来宾）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是( ).
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°
5．如图所示，给出了过直线外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是 ( ).
A．同位角相等，两直线平行. B．内错角相等，两直线平行.
C．同旁内角互补，两直线平行. D．以上都不对.
6．（2018?金华）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（　 　）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2
B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2
D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
二、填空题
7.（2019春?南和县期末）如图所示，请你填一个适当的条件： 使AD∥BC .
8．如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，则直线a与b的位置关系是________．
9．如图，直线a和b被直线c所截，∠1＝110°，当∠2＝________时，有直线a∥b成立．
10．（2018春?台州）长方形ABCD中，∠ADB=20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，若使AB′∥BD，则折痕AF与AB的夹角∠BAF应为　 　．
11．小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________．
12. 已知直线a、b都过点M，且直线a∥l，b∥l，那么直线a、b是同一条直线，根据是________．
三、解答题
13.求证：邻补角的角平分线互相垂直.
14．（2018春?邵阳）如图，已知点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，且∠DEC=90°，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
15．如图所示，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度，说明理由．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D；
2.【答案】A；
【解析】①该点若在已知直线上，画不出与已知直线平行的直线；②平行线的定义必须强调在同一平面内，如图①中的AB与CC′不相交，但也不平行．③如图②中，射线AB与射线CD既不相交，也不平行．
3．【答案】C；
【解析】这是平行线的传递性，其实质是平行公理的推论．
4. 【答案】C；
【解析】根据平行线的判定即可得出C选项不符合.
5. 【答案】A；
【解析】这种作法的依据是：同位角相等，两直线平行．
6. 【答案】C；
【解析】 解：A、∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；
B、∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确；
C、测得∠1=∠2，
∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，
∴不一定能判定两直线平行，故错误；
D、在△AOB和△COD中，
，∴△AOB≌△COD，∴∠CAO=∠DBO，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确．故选：C．
二、填空题
7. 【答案】∠ADC=∠DBC(答案不唯一)
【解析】内错角相等，两直线平行.
8．【答案】平行；
【解析】由已知可得：∠2＝30°，所以∠1＝∠2，可得：a∥b.
9．【答案】70°；
10.【答案】55°；
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∠ADB=20°，∴∠ABD=70°．
∵AB′∥BD，∴∠BAB′=110°．
∵△AB′F由△ABF翻折而成，
∴∠BAF=∠BAB′=55°．故答案为：55°．
11.【答案】平行；
【解析】平行公理的推论
12.【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
【解析】这是平行公理的具体内容.
三、解答题
13.【解析】
已知：如下图，∠AOD与∠DOB互为邻补角，且射线OC是∠AOD的角平分线，射线OE是∠DOB的角平分线.

求证：OC⊥OE
证明：∵∠AOD与∠DOB互为邻补角，
∴∠AOD＋∠DOB＝180°.
又∵射线OC是∠AOD的角平分线，射线OE是∠DOB的角平分线，
∴∠COD＝∠AOD，∠DOE＝∠DOB，（角平分线的定义）
∴∠COE＝∠COD＋∠DOE＝∠AOD＋∠DOB
＝（∠AOD＋∠DOB）＝.（等量代换）
所以OC⊥OE.
14．【解析】
解：∵∠EDC+∠ECD+∠DEC=180°，∠DEC=90°，
∴∠EDC+∠ECD=90°．
∵由CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，
∴∠ADC+∠BCD=2（∠EDC+∠ECD）=180°，
∴AD∥BC．
15. 【解析】
解： ∠4＝100°．理由如下：
∵ ∠1＝60°，∠2＝60°，
∴ ∠1＝∠2．
∴ AB∥CD．
又∵ ∠3＝∠4＝100°，
∴ CD∥EF．
∴ AB∥EF．