北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第28讲 平行线的性质(基础)含解析

平行线的性质（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；
2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；
3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系.
【要点梳理】
要点一、平行线的公理、定理
公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.
定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.
定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).
要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
要点二、平行线的性质定理的探究过程
1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角
相等）.
因为a∥b,
所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
又∠3=∠1 (对顶角相等)
所以∠2=∠3.
2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁
内角互补).

因为a∥b,
所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），
又∠3+∠1=180°（补角的定义），
所以∠2+∠1=180°.
要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.
要点三、平行线的性质与判定
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
【典型例题】
类型一、平行线的性质公理、定理的应用
1．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么．
【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1+∠2＝180°；第二层次是由DF∥AB，可得∠3＝∠2或∠3+∠4＝180°，从而解出∠2、
∠3、∠4的度数．
【答案与解析】
解：∵ DE∥BC，
∴ ∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)．
∠2+∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴ ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．
又∵ DF∥AB(已知)，
∴ ∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∴ ∠3＝115°(等量代换)．
【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系．
举一反三：
【变式】（2018?永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=　　度．
【答案】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°．故答案为：120°
2. 如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？
【思路点拨】过点B作直线BE∥CD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答．
【答案与解析】
解：过点B作直线BE∥CD．
∵CD∥AF，∴BE∥CD∥AF．∴∠A=∠ABE=105°．∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．又∵BF∥CD，∴∠CBE+∠C=180°．∴∠C=150°．
【总结升华】此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题．
3. 已知，如图，AB∥CD，BE∥FD．求证：∠B+∠D=180°
【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1，∠1+∠D=180°，等量代换即可证明∠B+∠D=180°．
【答案与解析】
证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．∵BE∥FD（已知），∴∠1+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠B+∠D=180°（等量代换）．
【总结升华】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
举一反三
【变式】如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1=25°，求∠2的度数．
【答案】
解：∵CE平分∠ACD，∠1=25°，∴∠ECD=∠1=25°，∵AB∥CD，∴∠ECD+∠2=180°，∴∠2=180°-∠ECD=155°．
4.（2019春?秦皇岛期末）如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）
【思路点拨】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可．
【答案与解析】如图：
（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；
证明：过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
（3）∠APC=∠PAB﹣∠PCD；
（4）∵AB∥CD，
∴∠POB=∠PCD，
∵∠POB是△AOP的外角，
∴∠APC+∠PAB=∠POB，
∴∠APC=∠POB﹣∠PAB，
∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB．
【总结升华】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
5. 如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC∥AD，BE∥AF．（1）求证：∠A=∠B；（2）若∠DOB=135°，求∠A的度数．
【思路点拨】（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得∠A=∠B．（2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得∠A=180°-∠DOE．
【答案与解析】
解：（1）∵BC∥AD，∴∠B=∠DOE，又∵BE∥AF，∴∠DOE=∠A，∴∠A=∠B．（2）∵∠DOB=∠EOA，由BE∥AF，得∠EOA+∠A=180°又∠DOB=135°，∴∠A=45°．
【总结升华】本题考查的是平行线的性质，主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力，要结合实际图象画出数学图形，再运用平行线的性质来解决．
举一反三
【变式】已知：如图，BD∥AF∥CE，∠ABD=60°，∠ACE=36°，AP是∠BAF的平分线，求∠PAC的度数．
【答案】
解：∵BD∥AF，∠ABD=60°，∴∠BAF=∠ABD=60°，∵AP平分∠BAF，∴∠PAF=∠BAF=30°，又∵AF∥CE，∠ACE=36°，∴∠CAF=∠ACE=36°．∴∠PAC=∠PAF+∠CAF=30°+36°=66°．
类型二、平行的性质与判定综合应用
6、如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( )

A．180° B．270° C．360° D．540°
【答案】C
【解析】过点C作CD∥AB，
∵ CD∥AB，
∴ ∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)
又∵ EF∥AB
∴ EF∥CD．
∴ ∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)
又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE
∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°
【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC +∠ACE+∠CEF＝360°

【巩固练习】
一、选择题
1．下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行；③同位角相等，两直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行，其中是平行线的性质的是 ( )
A．① B．②和③ C．④ D．①和④
2．（2018?泰安）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（　　）
A．122° B．151° C．116° D．97°
3．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是( )
4．（2019?陕西一模）直线a、b、c、d的位置如图，如果∠1=100°，∠2=100°，∠3=125°，那么∠4等于（　　）
A．80° B．65° C．60° D．55°
5．如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为( )
A．60° B．70° C．80° D．120°

6．如图所示，直线l1//l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于( )
A．55° B．30° C．65° D．70°
二、填空题
7．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2= _______．
8. 如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则∠D= ________度．
9.如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝______度．
10．（2018?云南）如图，直线l1∥l2，并且被直线l3，l4所截，则∠α=　 　．
11．（2019春?冷水江市期末）如图，下列推理是否正确，请写出你认为是正确推理的编号　 　．
①因为AB∥DC，所以∠ABC+∠C=180°
②因为∠1=∠2，所以AD∥BC
③因为AD∥BC，所以∠3=∠4
④因为∠A+∠ADC=180°，所以AB∥DC．
12．如图所示，AB∥CD，且∠BAP＝60°-a，∠APC＝45°+a，∠PCD＝30°-a，则a＝________．
三.解答题
13．如图，已知AB∥CD，MG、NH分别平分∠BMN与∠CNM，试说明NH∥MG?

14. 如图，a∥b∥c，∠1＝60°，∠2＝36°，AP平分∠BAC，求∠PAQ的度数．
15．（2018春?晋安）如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】两直线平行角的关系.
2. 【答案】B；
【解析】∵AB∥CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，
∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，
∵AB∥CD，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．故选B．
3. 【答案】B；
【解析】∠2与∠1的对顶角是同位角的关系.
4. 【答案】D；
【解析】∵∠1=100°，∠2=100°，∴∠1=∠2，∴直线a∥直线b，∴∠4=∠5，
∵∠3=125°，∴∠4=∠5=180°﹣∠3=55°，故选D．
5. 【答案】B
【解析】注意到CD∥OE∥AB，由“两直线平行，同位角相等”可知∠AOE＝∠D＝
30°，∠EOC＝∠B＝40°．故∠AOC＝∠EOC+∠AOE＝40°+30°＝70°．
6. 【答案】C；
【解析】∠3＝180°－40°－75°＝65°.
二、填空题
7.【答案】115°；
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°．故答案为：115°．
8.【答案】36°；
【解析】∵AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，∴∠DCE=∠B=72°，∠DEC=∠F=72°，在△CDE中，∠D=180°-∠DCE-∠DEC=180°-72°-72°=36°．故答案为：36．
9.【答案】60；
【解析】由已知得：∠2＝2∠1＝60°.
10．【答案】64°；
【解析】由已知可得：AD∥BC，由平行的性质可得：
∠D+∠C＝180°.
如图，
∵∠1+56°=120°，
∴∠1=120°﹣56°=64°，
又∵直线l1∥l2，
∴∠α=∠1=64°．
故答案为：64°．
11. 【答案】①②④
【解析】①∵AB∥DC，∴∠ABC+∠C=180°，此结论正确；
②∵∠1=∠2，∴AD∥BC，此结论正确；
③∵AD∥BC，∴∠1=∠2，而∠3≠∠4，此结论错误，
④∵∠A+∠ADC=180°，∴AB∥DC，此结论正确．故答案为①②④．
12.【答案】15°；
【解析】由图可知：∠APC＝∠BAP+∠PCD，即有45°+a＝60°-a+30°-a，
解得：a＝15°.
三、解答题
13.【解析】
证明：∵AB∥CD(已知)，∴ ∠BMN＝∠MNC(两直线平行，内错角相等)．
∵MG、NH分别平分∠BMN、∠CNM(已知)．
∴∠MNH＝∠MNC，∠NMG＝∠BMN(角平分线定义)．
∴∠MNH＝∠NMG，∴ NH∥MG(内错角相等，两直线平行)．
14.【解析】
解：∵a∥b∥c，
∴∠BAQ＝∠1＝60°，∠CAQ＝∠2＝36°，∠BAC＝60°+36°＝96°，
又AP平分∠BAC，∠BAP＝×96°＝48°，
∴∠PAQ＝∠BAQ-∠BAP＝60°-48°＝12°．
15.【解析】
解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE=∠EOF，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×80°=40°；
（2）∵CB∥OA，
∴∠AOB=∠OBC，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠FOB=∠OBC，
∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值；
（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，
∴∠COE=∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE=∠AOC=×80°=20°，
∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，
故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°．