北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第30讲《平行线的证明》全章复习与巩固(基础)含解析

《平行线的证明》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；
2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；
3. 理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、定义、命题及证明
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点诠释：
（1）命题一般由条件和结论组成. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理.
(4) 经过证明的真命题称为定理.
3.证明: 除了公理外，其它的真命题的正确性都要通过推理的方法进行证实，这种演绎推理的过程叫做证明. 要点诠释：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．
要点二、平行线的判定与性质
1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
要点三、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
要点诠释：
（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.
（2）推论可以当做定理使用.
【典型例题】
类型一、定义、命题及证明
1. 我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,如果我们把一个命题的条件变结论,结论变条件,那么所得的是不是一个命题?试举例说明.
【答案与解析】
解：是一个命题,例如“对顶角相等”条件结论互换就变为“相等的角是对顶角”.
【总结升华】如果将一个命题的条件与结论互换，则得到这个命题的逆命题，但原命题正确，逆命题不一定正确.
举一反三：
【变式】下列命题中,真命题有( ) .
若x＝a，则x2－(a+b)x+ab＝0
直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离
如果 ＝0,那么x＝±2
如果a＝b,那么a3＝b3
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
2.如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC与∠BOD是对顶角．
【答案】
证明：因为∠AOC+∠COB＝180°(平角定义)，
又因为∠AOC＝∠BOD(已知)，
所以∠BOD+∠COB＝180°，即∠COD＝180°．
所以C、O、D三点在一条直线上(平角定义)，
即直线AB、CD相交于点O，
所以∠AOC与∠BOD是对顶角(对顶角定义)．
【总结升华】证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即∠COD＝180°．
类型二、平行线的性质与判定
3. （2019春?胶州市期中）将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．
（1）若∠BCD=150°，求∠ACE的度数；
（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由．
【思路点拨】（1）由∠BCD=150°，∠ACB=90°，可得出∠DCA的度数，进而得出∠ACE的度数；
（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由∠BCD=∠ACB+∠ACD，∠ACE=∠DCE﹣∠ACD可得出结论；
（3）根据平行线的判定定理，画出图形即可求解．
【答案与解析】解：（1）∵∠BCA=∠ECD=90°，∠BCD=150°，
∴∠DCA=∠BCD﹣∠BCA=150°﹣90°=60°，
∴∠ACE=∠ECD﹣∠DCA=90°﹣60°=30°；
（2）∠BCD+∠ACE=180°，理由如下：
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∠ACE=∠DCE﹣∠ACD=90°﹣∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE=180°；
（3）当∠BCD=120°或60°时，CD∥AB．
如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，
当∠B+∠BCD=180°时，CD∥AB，此时∠BCD=180°﹣∠B=180°﹣60°=120°；
如图③，根据内错角相等，两直线平行，
当∠B=∠BCD=60°时，CD∥AB．
【总结升华】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键．
4. （2018春?海珠区期末）如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，求证：∠3+∠4=180°．
【思路点拨】欲证∠3+∠4=180°，需证BE∥DF，而由AD∥BC，易得∠1=∠3，又∠1=∠2，所以∠2=∠3，即可求证．
【答案与解析】
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴BE∥DF，
∴∠3+∠4=180°．
【总结升华】此题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．要灵活应用．
举一反三：
【变式1】（2018春?大名）如图：AD∥BC，∠DAC=60°，∠ACF=25°，∠EFC=145°，则直线EF与BC的位置关系是 　．
【答案】
解：平行．
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC=60°，
∵∠ACF=25°，
∴∠FCB=35°，
∴∠EFC+∠FCB=145°+35°=180°，
∴EF∥BC，故答案为：平行．
【变式2】已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3.
求证：AB∥DC.
【答案】
证明：∵∠ABC＝∠ADC,
∴（等式性质）.
又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,
∴∠1＝，∠2＝（角平分线的定义）.
∴∠1＝∠2　（等量代换）.
又∵∠1＝∠3（已知）,
∴∠2＝∠3（等量代换）.
∴AB∥DC(内错角相等，两直线平行).
类型三、三角形的内角和定理及推论
5.如图，P是△ABC 内一点，请用量角器量出∠ABP.∠ACP.∠A和∠BPC的大小，再计算一下，∠ABP＋∠ACP＋∠A是多少度？这三个角的和与∠BPC有什么关系？你能用学到的知识来解释其中的道理吗？你能判断∠BPC和∠A的大小吗？
【答案与解析】
解：∠ABP＋∠ACP＋∠A＝∠BPC，∠BPC＞∠A。
证明：如下图，延长BP到D，
则∠PDC＝∠A＋∠∠ABP，∠PDC>∠A.
同理，∠BPC＝∠PDC＋∠ACP，∠BPC>∠PDC.
所以∠BPC＝∠ABP＋∠ACP＋∠A ，∠BPC＞∠A .
举一反三：
【变式1】如图,△ABC的两外角平分线交于点P,易证∠P＝90°-∠A；△ABC两内角的平分线交于点Q,易证∠BQC＝90°+∠A；那么△ABC的内角平分线BM与外角平分CM的夹角
∠M＝_____∠A.
【答案】
【变式2】如图,E是BC延长线上的点,∠1＝∠2.求证:∠BAC＞∠B.
【答案】
证明：∵∠2＝∠B+∠D
∴∠B＝∠2-∠D
又∵∠BAC＝∠1+∠D ∠1＝∠2
∴∠BAC>∠B
类型四、实际应用
6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB＝30°，你能说出∠EGF的度数吗？
【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFG＝30°，又因为折后重合部分相等，所以∠GEF＝∠DEF＝30°，所以∠DEG＝2∠DEF＝60°，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以∠EGC＝180°－∠DEG，问题可解.
【答案与解析】
解：因为AD∥BC（已知），
所以∠DEF＝∠EFG＝30°（两直线平行，内错角相等）.
因为∠GEF＝∠DEF＝30°（对折后重合部分相等），
所以∠DEG＝2∠DEF＝60°.
所以∠EGC＝180°－∠DEG＝180°－60°＝120°（两直线平行，同旁内角互补）.
【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）平行线的性质．
【巩固练习】
一、选择题
1．下列命题中，真命题是（ ）.
A．任何数的绝对值都是正数 B．任何数的零次幂都等于1
C．互为倒数的两个数的和为零D．在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大
2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) .
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
3．（2018春?通川区期末）如图，如果∠1=∠2，DE∥BC，则下列结论正确的个数为（　　）
（1）FG∥DC；（2）∠AED=∠ACB；（3）CD平分∠ACB；（4）∠1+∠B=90°；
（5）∠BFG=∠BDC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（ ）.　　A．同位角 　　　B．同旁内角 　　　C．内错角 　　　D. 同位角或内错角
5.（2019?南湖区一模）如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=98°，则∠C的度数为（　　）
A．40° B．41° C．42° D．43°
6. 如图，已知∠A＝∠C，如果要判断AB∥CD，则需要补充的条件是（ ）．
A．∠ABD＝∠CEF B．∠CED＝∠ADB
C．∠CDB＝∠CEF D．∠ABD+∠CED＝180°

7.如图，，则AEB＝（ ）．
A． B． C． D．
8. 把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论不正确的有（ ）．
A. B. ∠AEC＝148° C. ∠BGE＝64° D. ∠BFD＝116°
二、填空题
9．(荆州二模)如图所示，AB∥CD，点E在CB的延长线上．若∠ECD＝110°，则∠ABE的度数为________．

10.如图，l∥m，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝ ．
11.如图所示，AB∥CD，MN交AB、CD于E、F，EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线，那么EG与FG的位置关系是 ．
12．（2019春?南陵县期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=　　．
13．（2018春?苏州）如图所示，∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADE=∠EDF，∠CED=∠FEG．则∠F=　　．
14. 我们已经证明了“三角形的内角等于180°”,易证“四边形的内角和等于360°＝2×180°,五边形的内角和等于540°＝3×180°，……”试猜想十边形的内角和等于
度．
15. 五角形的五个内角的和是________.
16. 如图，下面四个条件：（1），（2），（3），（4），
请你以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个真命题：如果 ，那么 ．（只填序号即可）
三、解答题
17．如图所示，在平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，
∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．（推理过程中用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）
18. 如图所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，试说明a∥b，b∥c，d∥e，a∥c．
19. 如图所示，已知AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝125°，求∠x的大小．

20. （2018春?沛县期末）已知在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．
（1）∠ABC+∠ADC=　 　；
（2）如图1，若DE平分∠ABC的外角，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明．
（3）如图2，若BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE=∠CDN，∠CBE=∠CBM），试求∠E的度数．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D；
2. 【答案】A；
【解析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案.
3. 【答案】C；
【解析】解：∵DE∥BC，∴∠DCB=∠1，∠AED=∠ACB，（2）正确；
∵∠1=∠2，∴∠2=∠DCB， ∴FG∥DC，（1）正确；∴∠BFG=∠BDC，（5）正确；
正确的个数有3个，故选：C．
4. 【答案】D；
【解析】三线八角中，角平分线互相平行的两角是同位角或内错角，互相垂直的两角是同旁内角.
5. 【答案】B；
【解析】解：如图，连接AO、BO．
由题意EA=EB=EO，
∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
∵DO=DA，FO=FB，
∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，
∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，
∵∠CDO+∠CFO=98°，
∴2∠DAO+2∠FBO=98°，
∴∠DAO+∠FBO=49°，
∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=139°，
∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣139°=41°，故选B．
6. 【答案】B；
7. 【答案】B；
【解析】∠EAB＝75°－25°＝50°.
8.【答案】B；
【解析】选项B中，∠AEC＝180°－32°×2＝116°，所以选项B错误.
二、填空题
9. 【答案】70°；
【解析】因AB∥CD，所以∠ABC＝∠ECD＝110°，所以∠ABE＝180°-110°＝70°．
10.【答案】150°；
【解析】∠1＋∠2＋∠3＝360°，所以∠3＝360°－（115°＋95°）＝150°．
11.【答案】垂直；
【解析】
解：EG⊥FG，理由如下：

∵ AB∥CD，∴ ∠BEN+∠MFD＝180°．
∵ EG和FG分别是∠BEN和∠MFD的平分线，
∴ ∠GEN+∠GFM＝(∠BEN+∠MFD)＝×180°＝90°．
∴ ∠EGF＝180°-∠GEN-∠GFM＝90°．
∴ EG⊥FG．
12.【答案】50°；
【解析】∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1﹣∠2=30°﹣20°=10°，
Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣30°﹣10°=50°．
13.【答案】70°；
14.【答案】1440°；
【解析】十边形的内角和:(10-2)×180°＝1440°，
由此得n边形的内角和:(n-2)×180°．
15.【答案】180°；
【解析】如下图，∠A＋∠C＝∠2，∠B＋∠D＝∠1，而∠1＋∠2＋∠E＝180°，从而得答案．
16.【答案】（2）（4），（1）；（答案不唯一，只要答案合理即可）
【解析】通过证明全等可得答案．
三、解答题
17.【解析】
解：四边形PQMN为长方形．在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°，又BN、CN分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠N＝90°，同理∠CMD＝∠Q＝∠APB＝90°，又∵∠CMD＝∠NMQ，∠APB＝∠NPQ，∴四边形PQMN为长方形．
18.【解析】
解：因为∠1＝50°，∠2＝130°(已知)，
所以∠1+∠2＝180°．
所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．
所以∠3＝∠1＝50°(两直线平行，同位角相等)．
又因为∠4＝50°(已知)，
所以∠3＝∠4(等量代换)．
所以d∥e(同位角相等，两直线平行)．
因为∠5+∠6＝180°(平角定义)，∠6＝130°(已知)，
所以∠5＝50°(等式的性质)．
所以∠4＝∠5(等量代换)．
所以b∥c(内错角相等，两直线平行)．
因为a∥b，b∥c(已知)，
所以a∥c(平行于同一直线的两直线平行)．
19.【解析】
解：过E点作EF∥AB，则∠3＝180°-∠1＝70°．

因为EF∥AB，AB∥CD，
所以EF∥CD．
所以∠4＝180°-∠2＝55°．
所以∠x＝180°-∠3-∠4＝55°．
20.【解析】
（1）解：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°﹣90°×2=180°；
故答案为：180°；
（2）解：延长DE交BF于G，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，
又∵∠CBM=180°﹣∠ABC=180°﹣（180°﹣∠ADC）=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF，
即DE⊥BF；
（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，
∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠CDE+∠CBE=×180°45°，
延长DC交BE于H，
由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，
∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，
∴∠E=90°﹣45°=45°．