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第二章 函数
2.1 函数
2.1.1 函数
1.会用集合与对应语言来刻画函数,了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.
2.掌握用换元法和代入法求函数解析式这一常用方法,并能正确地使用区间表示数集.
3.了解映射的概念,能判定一些简单的对应是不是映射,并用映射概念加深对函数概念的理解.
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1.函数的概念
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(1)在近代定义中,x叫做自变量,自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.
如果自变量取值a,则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值,记作y=f(a)或y|x=a.
所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域.
(2)确定一个函数只需两个要素:定义域和对应法则.
要检验给定两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:
①定义域和对应法则是否给出;
②根据给出的对应法则,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都能确定唯一的函数值y.
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【做一做1-1】 下列四组函数中,f(x),g(x)表示同一函数的是( )
解析:若两个函数表示同一函数,则需其定义域、对应法则都相同,缺一不可.
选项A中对应法则不同,选项B中定义域不同,选项C中定义域不同,仅有选项D表示同一函数.
答案:D
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即x≥1,且x≠2,
故函数定义域为{x|x≥1,且x≠2}.
答案:{x|x≥1,且x≠2}
【做一做1-3】 函数f(x)=2|x|+1的值域为 .?
解析:因为当x∈R时,|x|≥0,所以2|x|+1≥1.故此函数的值域为{y|y≥1}.
答案:{y|y≥1}
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2.区间
(1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点的线来表示(如下表).用实心点表示端点属于这个区间,用空心点表示端点不属于这个区间.
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(2)无穷区间的概念:-∞或+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间.
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名师点拨1.区间是数轴上某一线段或射线或直线上的所有点所对应的实数的取值集合.这是一种符号语言,即用端点对应的实数、+∞、-∞、方括号、圆括号等数或符号来表示数集;
2.区间符号内的两个字母(或数)之间要用“,”隔开;
3.“∞”是一个符号,不是一个数,它表示数的变化趋势;
4.区间中必须是前面的数小,后面的数大.例如,(3,2)就不是区间,(2,2)也不是区间,并不是所有数集都能用区间表示,如自然数集N,整数集Z等;
5.在平面直角坐标系中,(2,3)可表示点,也可表示区间,应用时注意区分,不能混淆;
6.如果一个实数集合不能用一个区间完全表示,那么可以用两个或两个以上的区间的并(∪)来表示.
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【做一做2】 用区间表示下列数集:
(1){x|x≤-2};
(2){x|3
(3){x|x=4或6≤x<9};
(4){x|-3≤x≤3,且x≠0}.
解:(1)(-∞,-2];(2)(3,8);(3){4}∪[6,9);(4)[-3,0)∪(0,3].
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3.映射的概念
设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射.
这时,称y是x在映射f的作用下的象,记作f(x).于是y=f(x),x称作y的原象.映射f也可记为f:A→B,x→f(x).
其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广),由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域,通常记作f(A).
如果映射f是集合A到集合B的映射,并且对于集合B中的任意一个元素,在集合A中都有且只有一个原象,这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系,并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.
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知识拓展理解映射的概念必须注意如下几点:
(1)方向性,“集合A到集合B的映射”与“集合B到集合A的映射”不是同一个映射;
(2)非空性,集合A,B必须是非空集合;
(3)唯一性,对于集合A中的任何一个元素,集合B中都有唯一确定的元素与之对应,这是映射的唯一性;
(4)存在性,对集合A中任何一个元素,集合B中都有元素和它对应,这是映射的存在性,也可以说A中任一元素的象必在集合 B中;
(5)映射可以看成函数概念的推广,而函数是一种特殊的映射,在对应方面只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应,而不允许存在“一对多”的对应.
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【做一做3-1】 有下列各图中表示的对应:
其中能构成映射的个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
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解析:所谓映射,是指“多对一”或“一对一”的对应,且A中每一个元素都必须参与对应.
只有图(3)所表示的对应符合映射的定义,即A中的每一个元素在对应法则下,B中都有唯一的元素与之对应.
图(1)不是映射,因A中的元素c没有参与对应,即违背A中的任一元素都必须参与对应的原则.
图(2)、图(4)不是映射,这两个图中都存在“一对多”的对应,不满足集合A中的任一元素在集合B中有且仅有唯一元素与之对应的原则.
综上可知,能构成映射的个数为1.
答案:D
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【做一做3-2】 已知(x,y)在映射f下的象是(x+y,x-y),则(4,6)在f下的原象是( )
A.(5,-1) B.(-1,5)
C.(10,-2) D.(-2,10)
解析:由题意,根据对应关系,
答案:A
一、函数符号“y=f(x),x∈A”中的“f”及f(x)与f(a)的区别与联系
剖析:(1)符号“y=f(x)”中的“f”表示对应法则,在不同的具体函数中,“f”的含义不一样,可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”.例如,y=f(x)=x2,可以将其看作输入x,输出x2,于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用,则显然应该有f(a)=a2,f(m+1)=(m+1)2,f(x+1)=(x+1)2.
(2)符号y=f(x)是“y是x的函数”的符号表示,应理解为x是自变量,它是法则所施加的对象;f是对应法则,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述;y是自变量x的函数,当x允许取某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.
(3)f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值.例如,一次函数f(x)=3x+4,当x=8时,f(8)=3×8+4=28是一个常数.
二、同一函数的判定
剖析:一般地,判断几个函数是否相同,离不开函数的三要素,但值域由定义域和对应法则所确定,因此在实际的解题过程中,往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可.
两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数,注意以下四点:
(1)定义域不同,两个函数也就不同.例如,y=x2(x∈R)与y=x2(x>0)不是同一函数;
(2)对应法则不同,两个函数也是不同的.例如,y=x与y=x2不是同一函数;
(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.例如,函数f(x)=x2与f(x)=2x2虽定义域和值域均相同,但它们不是同一函数;
(4)因为函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的.例如,f(x)=2 016x+2 017,f(t)=2 016t+2 017,g(x)=2 016x+2 017都表示同一函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
分析:只给出函数的解析式,而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:(1)函数为整式函数,x取任意实数时,f(x)都有意义,故函数的定义域为R;
(2)要使函数有意义,应满足x-2≠0,即x≠2,故函数的定义域为{x|x≠2};
(3)要使函数有意义,应满足x2-4≠0,即x2≠4,所以x≠2,且x≠-2,故函数定义域为{x|x≠2,且x≠-2};
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思1.已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即:
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;
(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;
(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合;
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集);
(5)对于由实际问题确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
2.本例中的(4)容易出现错解:化简函数的解析式为
{x|x≤1}.错解的原因是违背了讨论函数问题要遵循定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前,不要化简函数的解析式.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
分析:先确定各个函数的定义域,再用相应的方法求值域.(1)和(2)可用观察法;(3)用配方法;(4)用分离常数法;(5)用换元法.
题型一
题型二
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题型一
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题型二
题型三
题型四
题型五
反思在求函数的值域时,常用的方法有:
(1)观察法.通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域,这就是观察法.
(2)配方法.对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,利用求二次函数的值域的方法求函数的值域,这就是配方法.
(3)换元法.通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为简单的函数,从而求出函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累.除了上述常用的方法外,还有最值法、数形结合法等,应注意选择最优的解法.总之,求函数的值域关键是要重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例3】 已知f(x-1)=x2-2x+7,
(1)求f(2)的值;
(2)求f(x)和f(x+1)的解析式.
分析:对(1)可令x=3求得;对(2)可用“x+1”去替换f(x-1)中的“x”即得f(x),用“x+2”去替换f(x-1)中的“x”即得f(x+1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:(1)f(2)=f(3-1)=9-2×3+7=10.
(2)方法一(配凑法):f(x)=f[(x+1)-1]
=(x+1)2-2(x+1)+7=x2+6,
f(x+1)=f[(x+2)-1]
=(x+2)2-2(x+2)+7=x2+2x+7.
方法二:f(x-1)=x2-2x+7=(x-1)2+6,
所以f(x)=x2+6,
f(x+1)=(x+1)2+6=x2+2x+7.
方法三(换元法):设t=x-1,则x=t+1,
所以f(t)=(t+1)2-2(t+1)+7=t2+6.
故f(x)=x2+6,
f(x+1)=(x+1)2+6=x2+2x+7.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思已知类型为f[g(x)]=h(x)的函数,求f(x)的解析式时,常常使用配凑法和换元法.在解答过程中,一定要把对应法则读懂,分清对应法则f到底作用的变量是谁,然后利用化归的思想,把待求问题转向已知问题,从而使问题得以解决.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例4】 判断下列对应法则是否是从A到B的映射和一一映射.
(1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|.
(3)A={x|x≥2,x∈Z},B={y|y≥0,y∈N},f:x→y=x2-2x+2.
分析:判断某个对应是否是从A到B的映射,只需看在该对应法则下,A中的任一元素是否都有B中唯一的元素与之对应.判断某一映射是否是一一映射,应抓住两点:①原象不同,象不同;②每个象都必须有原象.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:(1)因为0∈A,在f作用下0→|0|=0?B,
所以不是映射,更不是一一映射.
又因为对B中任一元素,在A中有且仅有一个原象,所以为一一映射.
(3)对任意的x∈A,根据对应法则f有x→y=x2-2x+2=(x-1)2+1.
因为x≥2,x∈Z,所以y≥2,y∈N,即y∈B,所以是映射.
因为0∈B,且(x-1)2+1=0无解,所以集合B中的元素0在A中无原象,所以不是一一映射.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思1.按照映射的定义可知,映射应满足:(1)存在性:集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素;(2)唯一性:集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的对应元素.
2.一一映射的两个特点:(1)对于集合A中不同的元素,在集合B中有不同的象;(2)集合B中的每一个元素都有原象,即对应形式为“一对一”,集合A,B中均没有剩余元素.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练4】 给出下列对应:
其中,是映射的为 ,是一一映射的为 .(填序号)?
解析:①②③中的对应符合映射的定义,是映射,其中①又符合一一映射的定义,是一一映射.
答案:①②③ ①
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思解答此类问题,关键是:(1)分清原象和象;(2)搞清楚由原象到象的对应法则.一般已知原象求象时,常采用代入法.已知象求原象时,通常列方程组求解.求解过程中要注意象与原象的区别和联系.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
答案:1
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
即x≠0,且x≠-1,
故函数f(x)的定义域为{x|x≠0,且x≠-1}.
反思因为不等价化简函数解析式容易导致函数定义域发生变化,所以在求函数的定义域时,不要盲目对其解析式进行化简.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
答案:(0,+∞)
1 2 3 4 5 6
答案:C
1 2 3 4 5 6
2下列四组函数中,表示同一函数的是( )
解析:根据同一函数的判断标准,即定义域相同,对应法则也相同来判断.
答案:B
1 2 3 4 5 6
答案:-3
1 2 3 4 5 6
4已知集合A={a,b},B={-1,1},则A到B的一一映射有 个.?
解析:根据映射及一一映射的定义可建立如下一一映射,共2个.
答案:2
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
6已知函数f(x+1)=x2-1,x∈[-1,3],求f(x)的解析式.
分析:本题可用“配凑法”或“换元法”求f(x)的解析式.
解:方法一(配凑法):因为f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),所以f(x)=x2-2x.
又因为x∈[-1,3]时,x+1∈[0,4],
所以f(x)=x2-2x,x∈[0,4].
方法二(换元法):令x+1=t,则x=t-1.
由x∈[-1,3],知t∈[0,4].
由f(x+1)=x2-1,得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t∈[0,4],故f(x)=x2-2x,x∈[0,4].
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2.1.2 函数的表示方法
1.会选择恰当的方法表示函数,并注意体会三种表示方法的区别与联系.
2.掌握求函数解析式的一般方法.
3.了解简单的分段函数,并能简单应用.
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1.函数的表示方法
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【做一做1-1】 如图所示,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( )
解析:借助函数的定义可知,函数的图象应保证任意一个x都有唯一的y与之对应,故选D.
答案:D
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【做一做1-2】 某教师将其一周中每天的课时数列表如下:
在这个函数中,定义域为 ,值域为 .?
答案:{1,2,3,4,5} {1,2,3,4,5}
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2.用集合语言对函数的图象进行描述
对于函数y=f(x)(x∈A)定义域内的每一个x值,都有唯一的y值与它对应.把这两个对应的数构成的有序实数对(x,y)作为点P的坐标,即P(x,y),则所有这些点的集合F叫做函数y=f(x)的图象,即F={P(x,y)|y=f(x),x∈A}.
这就是说,如果F是函数y=f(x)的图象,则图象上的任一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在图象F上.
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3.分段函数
在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.
答案:A
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【做一做3-2】 已知f(x)=[2 014-x],[x]表示不超过x的最大整数,则f(2 016.5)的值为( )
A.-2.5 B.2.5 C.-2 D.-3
解析:根据题意,可知f(2 016.5)=[2 014-2 016.5]=[-2.5]=-3.
答案:D
一、不是所有的图形都是函数的图象
剖析:(1)函数的图象有的是连续的,有的是不连续的,还有的函数是画不出图象的.一般来说,如果自变量的取值是一些离散的实数值,那么它的图象就是一些孤立点.例如,y=3x(x∈{1,2,3,4,5}).
(2)判断一个图形是否为某个函数的图象,只要用一条垂直于x轴的直线沿x轴方向左右平移,观察图形与该直线交点的个数,当有两个或两个以上的交点时,该图形一定不是函数图象.这是因为直线x=a(a∈R)与图形有两个或两个以上的交点时,表示自变量x取实数a时对应两个或两个以上的y值,这与函数定义中只有唯一的y值与x对应矛盾,故不是函数图象.
如图所示,
在图①中,当自变量x在(-1,1)内取任意一个值时,y有两个值与之相对应,不符合函数的定义;而图②和图③中,当自变量x分别在R上和[-1,1]上取一个值时,都有唯一的y值与之对应,故图②和图③中的y与x具备函数关系.
二、对分段函数的理解
剖析:(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数,其表示法是解析法的一种形式.
(2)分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的.例如,
(3)画分段函数的图象时,一定要考虑区间端点是否包含在内,若端点包含在内,则用实心点表示,若端点不包含在内,则用空心点表示.
(4)写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.
(5)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的取值属于哪一个范围,然后选取相应的对应关系.
(6)分段函数的定义域是各段定义域的并集;分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集;分段函数的最大(小)值则是分别在每段上求出最大(小)值,然后取各段最大(小)值中的最大(小)值.
(7)有些函数形式上虽不是分段写的,但实质上是可以化归为分段函数来处理.例如,y=|x+1|可等价化为
三、分段函数图象的画法
步骤:(1)画二次函数y=(x+1)2的图象,再取其在区间(-∞,0]上的图象,其他部分删去;
(2)画一次函数y=-x的图象,再取其在区间(0,+∞)内的图象,其他部分删去;
(3)这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象,如图所示.
由此可得,画分段函数
的图象的步骤是:
(1)画函数y=f1(x)的图象,再取其在区间D1上的图象,其他部分删去;
(2)画函数y=f2(x)的图象,再取其在区间D2上的图象,其他部分删去;
(3)依次画下去;
(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.
四、教材中的“思考与讨论”
如何检验一个图形是不是一个函数的图象?写出你的检验法则.如图所示的各图形都是函数的图象吗?哪些是,哪些不是,为什么?
剖析:由函数的定义可知,对于定义域中的每一个x,都有唯一的y值与之相对应.因此,要检验一个图形是否是一个函数的图象,可以作x轴的垂线,在定义域范围内,若垂线与图形有一个交点,则该图形就表示函数的图象,否则,该图形不是函数的图象.
由以上知,所给图形中是函数的图象的有(1)(3)(4),而(2)不符合函数的定义,故(2)不是函数的图象.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例1】 作出下列各函数的图象:
(1)y=-x+1,x∈Z;
(2)y=2x2-4x-3,0≤x<3;
(3)y=|1-x|;
分析:作函数图象,要明确函数的定义域,体会定义域对图象的影响.处理好端点,如第(4)小题x=0时的情况.作图时,可先不受定义域限制作出完整的抛物线,然后再根据定义域截取.如第(2)小题.函数图象的形状可以是一条或几条无限长的平滑曲线,也可以是一些点、一些线段、一段曲线等.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)因为定义域为Z,所以图象为离散的点.图象如图①所示.
(2)y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5,0≤x<3,定义域不是R,因此图象不是完整的抛物线,而是抛物线的一部分.图象如图②所示.
(3)先根据绝对值的定义去掉绝对值号,再写成分段函数
(4)这个函数的图象由两部分组成.当0≤x≤1时,为抛物线y=x2的一段;当-1≤x<0时,为直线y=x+1的一段.图象如图④所示.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.函数图象的画法主要有两种:描点法、变换作图法.
(1)描点法的一般步骤是求函数的定义域、化简解析式、列表、描点、连线等;
(2)变换作图法常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换.例如,例1中的(3)小题可先画出y=1-x的图象,再把x轴下方的图象翻折到x轴上方即可.还有对称变换等.
2.作函数图象时,要注意标出一些关键点的坐标,例如,图象与两坐标轴的交点、顶点、端点等,还要分清这些点是实心点还是空心点.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 作出下列各函数的图象:
(1)y=x(-2≤x≤2,x∈Z,且x≠0);
(3)y=|x-5|+|x+3|.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)因为函数定义域为{x|-2≤x≤2,x∈Z,且x≠0},
所以函数图象为图①中直线y=x上孤立的点.
①
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 已知f(x)为一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x).
分析:先设出f(x)=ax+b(a≠0),再根据条件列出方程组,进而求得a,b的值,最后写出解析式即可.
解:设f(x)=ax+b(a≠0),
则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
故f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.
反思本题以f(x)为一次函数作为切入点,运用待定系数法,建立所设参数的方程组解决问题.已知函数的类型求函数解析式时,待定系数法是一种常用的解题方法.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 若函数g(x)是一次函数,且满足g(2x)+4g(x-2)=18x-29,则g(x)= .?
解析:依题意,设g(x)=ax+b(a≠0),
则有2ax+b+4[a(x-2)+b]=18x-29,
即6ax+5b-8a=18x-29,
答案:3x-1
题型一
题型二
题型三
题型四
反思上述用解方程组求函数解析式的方法常用于给出函数的一个方程式这种类型,但要注意自变量x需满足一定的对称性,常见的替换有用“-x”替换“x”,
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
(1)求f(f(-2));
(2)若f(m)=18,求m的值.
分析:对于(1),应先求f(-2),再求f(f(-2));对于(2),要对m与2的大小进行讨论.
解:(1)因为f(-2)=(-2)2+2=6,
所以f(f(-2))=f(6)=2×6=12.
(2)当m≤2时,f(m)=m2+2=18,即m2=16.
又因为m≤2,所以m=-4;
当m>2时,f(m)=2m=18,解得m=9.
综上可知,m的值为-4或9.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值所在的区间或范围,根据这一范围选择相应的解析式代入求得,含有多层“f”符号时,应由内向外依次求解;
2.已知分段函数的函数值求相应自变量的值时,要注意分类讨论求解,同时应对得到的自变量的值进行检验,看其是否满足相应的条件.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例5】 如图所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从点B开始沿着折线BC,CD,DA前进至点A,若点P运动的路程为x,△PAB的面积为y.
(1)写出y=f(x)的解析式,并指出函数的定义域;
(2)画出函数的图象,并求出函数的值域.
题型一
题型二
题型三
题型四
分析:通过画草图可以发现点P运动到不同的位置,y的求法是不同的(如图阴影部分所示).
可以看出上述三个阴影三角形的底AB是相同的,它们的面积由AB边上的高来决定,故只要由运动路程x求出AB边上的高即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.求实际问题中函数的解析式,其关键是充分利用条件建立关于变量x,y的等式,即目标函数.确定函数的定义域时,除了考虑函数解析式自身的限制条件外,还要考虑到它的实际意义;
2.在分段函数的转折点上易出现取舍不当的错误.比如本题若把区间分成0≤x≤4,4≤x≤10,10≤x≤14,则是不对的.避免出现此类错误的方法是对端点进行验证.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思对于分段函数,无论是求函数值,还是求自变量,都要看清每一段解析式所对应的自变量的取值范围,不能张冠李戴,也不能忘记检验.
题型一
题型二
题型三
题型四
1 2 3 4 5 6
1已知函数f(x)由下表给出:
则f(f(0))的值为( )
A.4 B.2 C.0 D.1
解析:因为f(0)=2,
所以f(f(0))=f(2)=1.
答案:D
1 2 3 4 5 6
答案:D
1 2 3 4 5 6
答案:C
1 2 3 4 5 6
4下表列出了一项实验的统计数据,表示将皮球从高h处落下时,弹跳高度d与下落高度h的关系,则下面的式子能表示这种关系的是( )
答案:D
1 2 3 4 5 6
5已知函数f(x)在[-1,2]上的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .?
解析:观察图象,知此函数是分段函数,并且在每段上均是一次函数,利用待定系数法求出函数解析式.当-1≤x≤0时,f(x)=x+1;当0
1 2 3 4 5 6
6某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100 km,票价是每千米0.5元;如果超过100 km,超过部分按每千米0.4元定价,那么客运票价y(单位:元)与行程数x(单位:km)之间的函数关系式是 .?
解析:根据行程是否大于100 km来求解析式.由题意,得当0≤x≤100时,y=0.5x;当x>100时,y=100×0.5+(x-100)×0.4=10+0.4x.
(共49张PPT)
2.1.3 函数的单调性
1.理解函数的单调性的定义,学会运用单调性的定义来判断或证明函数的单调性.
2.会结合函数单调性的定义和图象,求函数的单调区间.
3.会应用函数单调性求函数的值域(或最值)等问题,并注意体会函数单调性是函数的“局部”性质.
1
2
1.函数单调性的概念
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间M?A.
如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量Δx=x2-x1>0,则当Δy=f(x2)-f(x1)>0时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,如图①所示.
①
1
2
当Δy=f(x2)-f(x1)<0时,就称函数y=f(x)在区间M上是减函数,如图②所示.
②
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间).
1
2
名师点拨1.单调性是函数的一个局部性质,即函数的单调性是该函数在其定义域内的某个子区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的某个非空真子集.
2.函数单调区间的写法
(1)如果一个函数有多个单调增(或减)区间,这些增(或减)区间应该用逗号隔开(即“局部”),而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”);
(2)因为函数的单调性反映函数图象的变化趋势,所以在某一点处无法讨论函数的单调性.因此,书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定.习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间,当然写成开区间也可以;若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间.
1
2
3.函数单调性定义的逆用
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则对于[a,b]上的任意两个值x1,x2,当f(x1)>f(x2)时必有x1>x2,当f(x1)(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则对于[a,b]上的任意两个值x1,x2,当f(x1)>f(x2)时必有x1x2.
解析:对于反比例函数 (k≠0),当k>0时,在区间(-∞,0)内是减函数,在区间(0,+∞)内也是减函数,这种函数的单调区间只能分开写;当k<0时,在区间(-∞,0)内是增函数,在区间(0,+∞)内也是增函数.
答案:D
1
2
A.在(-∞,0)内是增函数,在(0,+∞)内是减函数
B.在(-∞,0)∪(0,+∞)内是减函数
C.在[0,+∞)内是减函数
D.在(-∞,0)和(0,+∞)内都是减函数
1
2
【做一做1-2】 函数f(x)在R上是减函数,则有( )
A.f(3)f(5) D.f(3)≥f(5)
解析:因为函数f(x)在R上是减函数,3<5,
所以f(3)>f(5).
答案:C
【做一做1-3】 若函数f(x)的定义域是(-4,4],其图象如图所示,则其单调递增区间是 ,单调递减区间是 .?
答案:[-3,1] (-4,-3)和(1,4]
1
2
2.判断函数单调性的步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤:
(1)任取x1,x2∈M,且Δx=x2-x1>0;
(2)作差:Δy=f(x2)-f(x1);
(3)变形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);
(4)定号(即判断Δy的正、负);
(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M上的单调性).
1
2
一、正确理解单调性的定义
剖析:(1)第一关键——“定义域内”.
研究函数的性质,我们应有这样一个习惯:定义域优先原则.函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的,即单调区间是定义域的子集.函数y=x2的定义域为R,但函数y=x2在区间(-∞,0]上是减函数,在区间[0,+∞)内是增函数.
(2)第二关键——“某个区间”.
增函数和减函数都是对相应的区间而言的,离开相应的区间就谈不上函数的单调性.我们不能说一个函数在x=5时递增或递减,因为这时没有一种可比性,没突出变化,所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数.
这里说的区间可以是整个定义域,例如y=2x在整个定义域(-∞,+∞)内是增函数,y=-2x在整个定义域(-∞,+∞)内是减函数;也可以是定义域的真子集,例如y=x2+1在定义域(-∞,+∞)内不具有单调性,但在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)内是增函数;还有一些函数不具有单调性,
例如函数
(3)别忽视“任意”和“都有”.
在定义中,“任意”两个字很重要,它是指不能通过取特定的值来判断函数的单调性;而“都有”的意思是:只要x1对“任意”二字不能忽视,我们可以构造一个反例,在区间[-2,2]上考察函数y=x2,如果取两个特定的值x1=-2,x2=1,显然x1f(x2),若由此判定y=x2在[-2,2]上是减函数,那就错了.
同样地,理解“都有”,我们也可以举例说明,y=x2在[-2,2]上,当x1=-2,x2=-1时,有f(x1)>f(x2);当x1=1,x2=2时,有f(x1)对函数单调性的定义,为了方便也可改为如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1≠x2时,
二、关于函数单调性的判断
剖析:(1)常见函数的单调性
①一次函数y=kx+b,当k>0时,在(-∞,+∞)内是增函数;当k<0时,在(-∞,+∞)内是减函数;
②反比例函数 k>0时,在(-∞,0)和(0,+∞)内都是减函数;当k<0时,在(-∞,0)和(0,+∞)内都是增函数.
(2)判断函数单调性的常用方法
①定义法:根据增函数、减函数的定义,按照“取值——作差——变形——判断符号——下结论”的步骤进行;
②图象法:画出函数的图象,根据图象的上升、下降的情况判断函数的单调性.
(3)关于函数单调性的常用结论
①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;
②函数y=f(x)+c(c为常数)与y=f(x)的单调性相同;
③函数y=cf(x),当c>0时,与y=f(x)的单调性相同;当c<0时,与函数y=f(x)的单调性相反;
④若f(x)在区间D上恒为正数或恒为负数,且具有单调性,
⑥在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数,增函数-减函数=增函数,减函数-增函数=减函数.
(4)复合函数单调性的判断
对于复合函数y=f(g(x)),如果t=g(x)在(a,b)内单调递增(减),并且y=f(t)在(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))内是单调函数,那么y=f(g(x))在(a,b)内的单调性如下表所示,简记为“同增异减”.
题型一
题型二
题型三
题型四
分析:本题主要考查证明函数的单调性.解题的关键是对Δy进行合理的变形,尽量变为几个最简单因式的乘积形式.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
2.在本例(2)的证明中,使用了“分子有理化”这种证明技巧,一定要注意观察这类题目的结构特点;
3.对Δy的变形技巧常用的有因式分解、通分、分子或分母有理化、配方法等.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 证明函数f(x)=-x2-4x+2在(-∞,-2]上是增函数.
证明:设x1,x2是(-∞,-2]上的任意两个不相等的实数,
且x10.
=(x1-x2)(x1+x2+4).
因为x1<-2,x2<-2,
所以x1+x2<-4,x1+x2+4<0.
又因为x1-x2<0,
所以Δy=(x1-x2)(x1+x2+4)>0.
故函数f(x)=-x2-4x+2在(-∞,-2]上是增函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 (1)画出函数f(x)=2-|x-1|的图象,并根据图象求出函数的单调区间;
(2)已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.
分析:首先分类讨论,去掉绝对值号,将函数化为分段函数,然后画出图象求解即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
反思画出函数的图象得到单调区间是常用的一种方法,但一定要注意画图的准确性及端点处的处理.若函数的定义域内不含端点,则要写成开区间;若端点在其定义域内,则最好加上区间端点,写成闭区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=|3x-1|;
(2)f(x)=-x2+2|x|+3.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【例3】 (1)已知函数f(x)在(-∞,0)内是减函数,试比较f(-a2+4a-6)与f(-2)的大小;
(2)若函数f(x)在R上是增函数,且f(3x-1)分析:对于(1),关键是比较-a2+4a-6与-2的大小,再根据单调性得出函数值的大小;对于(2),由单调性得出3x-1与4-2x的大小关系,从而求得x的取值范围.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)因为f(x)在(-∞,0)内是减函数,
且-a2+4a-6=-(a-2)2-2≤-2<0,
所以f(-a2+4a-6)≥f(-2).
(2)因为f(x)在R上是增函数,且f(3x-1)所以3x-1<4-2x,解得x<1,
即x的取值范围是(-∞,1).
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.根据函数的单调性可以比较函数值的大小,这时首先应明确函数的单调性及单调区间,然后分析欲比较大小的函数值相对应的自变量的所属区间及其大小关系,最后根据单调性确定函数值的大小;
2.由函数值的大小关系可以确定变量的取值范围,这时解题的关键是根据函数的单调性,将函数值的大小关系转换为相应自变量的大小关系,从而建立不等式求出参数的取值范围,但务必注意函数定义域对参数取值的限制,不可忽视定义域.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
易错点1:忽视函数的定义域致错
【例4】 已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
错解:因为g(x)是增函数,且g(t)>g(1-3t),
所以根据单调性的定义,得t>1-3t.
错因分析:只考虑利用单调性化简,而忽略了函数的定义域对参数t的限制.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思关于抽象函数单调性问题,要注意自变量的取值范围以及自变量是否在函数的单调区间内.若在同一单调区间内,则直接转化;若不在同一单调区间内,则需要讨论或化归到函数的同一单调区间内再求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 若将[例4]中的条件改为“g(x)是定义在[0,2]上的减函数”,再求t的取值范围.
题型一
题型二
题型三
题型四
易错点2:混淆“函数在I上单调”与“函数的单调区间是I”的区别致错
【例5】若函数y=|x-a|在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是 .?
错解:函数y=|x-a|的图象如图所示,由于函数在区间(-∞,4]上是单调递减的,因此a=4.
答案:a=4
题型一
题型二
题型三
题型四
错因分析:错解中把“函数在区间(-∞,4]上是减函数”误认为“函数的单调减区间是(-∞,4]”,二者的含义是不同的,函数的单调递减区间是(-∞,4],说明函数在(-∞,4]及其子区间以外的其他区间上不再是单调递减的;而函数在(-∞,4]上是减函数,说明函数至少在(-∞,4]上是单调递减的,也可能在另一个包含该区间的区间上是单调递减的.
正解:因为函数y=|x-a|的图象如图所示,所以只要a≥4,就能保证函数y=|x-a|在区间(-∞,4]上是单调递减的.因此,a≥4.
答案:[4,+∞)
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练5】 若函数f(x)=4x2+bx-1的单调递减区间是(-∞,-1],则b= .?
答案:8
1 2 3 4 5 6
1若f(x)=(2-a)x+1在R上是增函数,则实数a的取值范围是( )
A.a<2 B.a≤2
C.a>2 D.a≥2
解析:由已知,得2-a>0,故a<2.
答案:A
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2已知f(x)为R上的减函数,则满足f(-4x+5)>f(1)的实数x的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)
解析:由已知,得-4x+5<1,解得x>1.
答案:B
1 2 3 4 5 6
3设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1A.f(x1)B.f(x1)>f(x2)
C.f(x1)=f(x2)
D.不能确定
解析:因为在函数的定义中特别强调了x1,x2两个值必须属于同一个单调区间,不是同一单调区间时不能比较函数值的大小,所以f(x1)与f(x2)的大小关系无法确定.故选D.
答案:D
1 2 3 4 5 6
答案:B
1 2 3 4 5 6
5已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数的单调递减区间为 .?
1 2 3 4 5 6
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求证:函数f(x)在定义域上是增函数;
(3)求函数f(x)的最小值.
分析:(1)求函数的定义域转化为解不等式;(2)根据判断函数单调性的步骤证明;(3)利用函数f(x)的单调性求最小值.
1 2 3 4 5 6
(共46张PPT)
2.1.4 函数的奇偶性
2.1.5 用计算机作函数的图象(选学)
1.结合具体函数,了解函数的奇偶性的含义.
2.会根据奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性.
3.会利用奇偶性来研究函数的定义域、值域、解析式、单调性及函数的图象等.
1
2
3
1.奇、偶函数的概念
名师点拨在奇函数和偶函数的定义中,都要求x∈D,-x∈D,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称.名师点拨在奇函数和偶函数的定义中,都要求x∈D,-x∈D,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称.
1
2
3
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
答案:C
【做一做1-2】 下列条件可以说明函数y=f(x)是偶函数的是( )
A.在定义域内存在x,使得f(-x)=f(x)
B.在定义域内存在x,使得f(-x)=-f(x)
C.对定义域内任意x,都有f(-x)=-f(x)
D.对定义域内任意x,都有f(-x)=f(x)
答案:D
1
2
3
解析:①③满足奇函数的定义,②满足偶函数的定义.
答案:①③ ②
1
2
3
2.奇函数、偶函数的图象特征
(1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
(2)如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.
1
2
3
答案:C
【做一做2-2】 函数f(x)是偶函数,则其图象( )
A.关于原点对称 B.关于x轴对称
C.关于y轴对称 D.关于直线y=x对称
答案:C
1
2
3
3.(选学)用计算机图形技术作函数图象的指令步骤
(1)给自变量x赋值;
(2)给出计算法则,求对应的y值;
(3)由x和对应的y值组成有序数对集合;
(4)建立直角坐标系,并根据有序数对,在直角坐标系中作出对应的点集;
(5)通过这些点集描出函数的图象.
注意:只要函数的表达式已知,就能画出函数的图象.
一、解读函数的奇偶性
剖析:(1)函数的奇偶性与单调性的差异.奇偶性是函数在定义域上的对称性,单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势.奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同,从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对定义域中的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇(偶)函数.
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.由函数奇偶性的定义知,若x是定义域中的一个数值,则-x必然在定义域中,因此,函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则函数一定不具有奇偶性.如函数y=2x在(-∞,+∞)内是奇函数,但在[-2,3]上不具有奇偶性.
(3)根据函数奇偶性的定义,函数可分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数.当函数f(x)的定义域不关于原点对称,或虽然定义域关于原点对称,但f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时,f(x)是非奇非偶函数.尤其要注意f(x)=0,x∈A,若定义域A关于原点对称,则它既是奇函数又是偶函数.
(4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有意义,则一定有f(0)=0.但要注意,反之结论是不一定成立的.
(5)若函数f(x)是偶函数,则有f(x)=f(-x)=f(|x|).
知识拓展奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0二、判断函数奇偶性的几种方法
剖析:判断函数的奇偶性,常用的有定义法、图象法、性质法.
(1)根据函数奇偶性的定义判断,其基本步骤为:
①求函数的定义域并考察定义域是否关于原点对称.若函数没有标明定义域,应先找到使函数有意义的x的集合,因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据.如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称,那么这个函数既不是奇函数,也不是偶函数.例如,函数f(x)=x4+1,x∈[-1,2],因为它的定义域不关于原点对称,当1②若定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇(偶)函数.例如,f(x)=x2+x,g(x)=x3+1,它们的定义域都是R,因为f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x≠f(x)(或-f(x)),所以它是非奇非偶函数.同理可证g(x)=x3+1也是非奇非偶函数.
③得出结论.
名师点拨1.定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数既是奇函数又是偶函数.例如,f(x)=0,x∈R;f(x)=0,x∈[-2,2];f(x)=0,x∈(-1,1)等.注意:既是奇函数又是偶函数的函数有无数个.
2.分段函数奇偶性的判断关键是搞清x与-x的所在范围及其对应的函数关系式,并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断,而不能以其中一个区间来代替整个定义域.
3.判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式f(-x)±f(x)=0
(2)借助函数的图象判断奇偶性.例如,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称等,从而直观地判断函数的奇偶性.
(3)根据性质来判断函数的奇偶性,偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论要注意各函数的定义域)
特别地,F1(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,F2(x)=f(x)-f(-x)为奇函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例1】 判断下列函数是奇函数还是偶函数,并说明理由.
(1)f(x)=x3+2x;
(2)f(x)=x2-|x|+1;
(3)f(x)=(x+4)2;
(4)f(x)=|x-3|-|x+3|;
分析:用定义判断函数的奇偶性时,先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系,从而判断函数的奇偶性.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.
又因为f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x),即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.
(2)函数的定义域为R,关于原点对称.
又因为f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1,
即f(-x)=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(3)函数定义域为R,关于原点对称.
又因为f(-x)=(-x+4)2=(x-4)2≠f(x),
且f(-x)≠-f(x),
所以函数f(x)是非奇非偶函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(4)函数定义域为R,关于原点对称.
又因为f(-x)=|-x-3|-|-x+3|=|x+3|-|x-3|=-(|x-3|-|x+3|)=-f(x).
所以函数f(x)是奇函数.
(5)因为函数的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,
所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
于是x2=16,
即x=±4.
故函数定义域为{4,-4},关于原点对称.
又因为当x∈{4,-4}时,f(x)=0,
所以f(-x)=f(x)=-f(x).
所以函数f(x)既是奇函数,也是偶函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思判断函数奇偶性的主要依据就是奇偶性的定义.若一个函数是非奇非偶函数,有时只要说明它的定义域不关于原点对称即可.例如,本例中的(5)小题,在x≠1时,虽有
.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例2】 (1)如图给出偶函数y=f(x)的局部图象,则f(1)+f(-2)的值是 .?
(2)若奇函数f(x)的定义域为[-5,5],其y轴右侧的图象如图所示,则f(x)<0的x的取值集合为 .?
分析:根据奇函数、偶函数图象的对称性解题.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(2)奇函数f(x)在[-5,5]上的图象如图所示,由图象可知,当x∈(2,5)时,f(x)<0;当x∈(0,2)时,f(x)>0;当x∈(-5,-2)时,f(x)>0;当x∈(-2,0)时,f(x)<0;因此,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2
答案:(1)2 (2){x|-2
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思函数奇偶性反映到图象上是图象的对称性,因而当问题涉及奇函数或偶函数的有关问题时,不妨利用图象的对称性来解决,或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练2】 若f(x)是奇函数,且点(1,-4)在其图象上,则下列各点中在f(x)图象上的是( )
A.(1,4) B.(-4,1)
C.(-1,-4) D.(-1,4)
解析:点(1,-4)关于原点对称的点是(-1,4)也在函数图象上.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
分析:因为f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1),故只需求f(1)即可.
反思充分利用奇函数的性质,无需求出当x∈[-5,0]时f(x)的解析式,通过转化只需求f(1)的值即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
答案:-6
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(2)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,其定义域为[a-1,2a],求a,b的值.
分析:对于(1),可根据奇函数的定义列出关于m的方程求解,也可采用特殊值法f(0)=0求解;对于(2),先由定义域的对称性求出a的值,再根据偶函数的定义求b的值.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思已知函数f(x)是奇函数或偶函数,求f(x)解析式中的参数值问题,通常有两种解法,一是直接根据奇函数或偶函数定义的等价形式,建立关于参数的等式求值;二是采用取特殊值的方法求出参数值,然后再代入验证.特别地,当f(x)是在原点有定义的奇函数时,可利用f(0)=0求得参数值.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练4】 若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a= .?
解析:依题意,f(-x)=f(x)恒成立,
即x2-|-x+a|=x2-|x+a|恒成立,
即|x-a|=|x+a|恒成立.
故a=0.
答案:0
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【例5】 若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x(1-x),求当x≥0时,函数f(x)的解析式.
分析:利用奇函数满足f(-x)=-f(x),将x<0时f(x)的解析式转化到x>0上.
解:当x>0时,-x<0,因为f(x)是奇函数,
所以f(x)=-f(-x)
=-{(-x)[1-(-x)]}=x(1+x),
当x=0时,f(0)=-f(0),即f(0)=0.
所以当x≥0时,f(x)=x(1+x).
反思注意求哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x,然后把x转化为-x,则-x为另一已知解析式的区间上的变量,通过互化,求得所求区间上的解析式.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
(2)利用函数单调性的定义证明;
(3)先将f(t-1)+f(t)<0等价化归为f(t-1)<-f(t)=f(-t),再利用单调性将抽象不等式化为具体不等式.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
(3)解:由f(t-1)+f(t)<0,且f(x)为奇函数,得f(t-1)<-f(t)=f(-t).
又f(x)在(-1,1)上是增函数,
反思函数的单调性、奇偶性是函数的重要性质,这两部分内容与函数的其他性质经常结合在一起,出现一些难度较大的综合题.解题的关键是化归思想及数形结合思想的充分利用.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练6】 已知函数f(x)在R上是偶函数,且在(-∞,0]上是单调递减的,试比较f(3)与f(π)的大小.
解:方法一:∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是单调递减的,∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.
又3<π,∴f(3)方法二:∵f(x)是偶函数,
∴f(3)=f(-3),f(π)=f(-π).
又f(x)在(-∞,0]上是单调递减的,且-3>-π,
∴f(-3)
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
正解:要使函数f(x)有意义,应满足x-2≠0,即x≠2,
即函数f(x)的定义域为{x|x≠2},显然定义域不关于原点对称,
故f(x)是非奇非偶函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:显然f(-3)=0,但f(3)无意义,
即函数定义域不关于原点对称,
故f(x)是非奇非偶函数.
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1下列函数中,是偶函数的是( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=x
C.f(xf(x)=x+x3
答案:A
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答案:A
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3有下列说法:
①偶函数的图象一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
④若一个图形关于y轴成轴对称,则该图形一定是偶函数的图象.
其中不正确的是( )
A.①② B.①④
C.①②④ D.①②③④
解析:①中可举反例f(x)=x2+2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞);②中f(x)在x=0处可能无定义;③中也可以是f(x)=0,x∈A(A为关于原点对称的数集);④中该图形可能不是函数的图象.故①②③④均错误.
答案:D
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4设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
A.f(x)+|g(x)|是偶函数
B.f(x)-|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|+g(x)是偶函数
D.|f(x)|-g(x)是奇函数
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解析:因为函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).
令F(x)=f(x)+|g(x)|,
F(-x)=f(-x)+|g(-x)|
=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=F(x).
故F(x)为偶函数,
即f(x)+|g(x)|是偶函数.
答案:A
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5若f(x)是奇函数,当x≤0时,f(x)=3x2-4x,则f(1)= .
解析:f(1)=-f(-1)=-[3×(-1)2-4×(-1)]=-7.
答案:-7
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6如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值是5,那么f(x)在区间[-7,-3]上的最 (填“大”或“小”)值为 .?
解析:根据奇函数在对称区间上的单调性一致,且函数图象关于原点对称,可得f(x)在[-7,-3]上为增函数,且在-3处取得最大值为f(-3)=-f(3)=-5.
答案:大 -5
