北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第4讲 平方根(提高)含解析

平方根和开平方（提高）
【学习目标】
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
【要点梳理】
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.
2.算术平方根的定义
正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.
要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
要点三、平方根的性质
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、（2019?饶平县期末）已知x-1的平方根为±2，3x+y-1的平方根为±4，求，3x+5y的算术平方根．
【思路点拨】根据平方根的平方等于被开方数即可求解．
【答案与解析】
解：由x-1的平方根为±2，得x-1=4，x=5
由3x+y-1的平方根为±4，得3x+y-1=16，
∵x=5
∴3×5+y-1=16，
解得y＝2，
∴3x+5y=25
25的算是平方根为5.
【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的那个叫做这个数的算术平方根．
举一反三：
【变式】已知2－1与－＋2是的平方根，求的值.
【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2相等或互为相反数.
解：①当2－1＝－＋2时，＝1，所以＝
②当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，所以
2、为何值时，下列各式有意义？
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案与解析】
解：(1)因为，所以当取任何值时，都有意义．
(2)由题意可知：，所以时，有意义．
(3)由题意可知：解得：．所以时有意义．
(4)由题意可知：，解得且．
所以当且时有意义．
【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．
举一反三：
【变式】已知，求的算术平方根．
【答案】
解：根据题意，得则，所以＝2，∴，
∴的算术平方根为．
类型二、平方根的运算
3、求下列各式的值．
(1)；(2)．
【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.
【答案与解析】
解：(1)；
(2)．
【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．
类型三、利用平方根解方程
4、求下列各式中的.
（1） （2）；
（3）
【答案与解析】
解：（1）∵
∴
∴
（2）∵
∴
∴＋1＝±17
＝16或＝－18.
（3）∵
∴
∴
∴
【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.
举一反三：
【变式】（2018春?乌兰察布校级期中）求x的值：（x﹣2）2=4．
【答案】解：∵，
∴（x﹣2）2=36，
∴x﹣2=6或x﹣2=﹣6，
解得：x1=8，x2=﹣4．
类型四、平方根的综合应用
5、（2018秋?沙坪坝区校级期末）若x，y为实数，且满足．求的值．
【答案与解析】
解：∵+|y﹣|=0，
∴x=，y=，
则原式==1．
【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x，y，然后代入求值即可.
举一反三：
【变式】若，求的值．
【答案】
解：由，得，，即，．
①当＝1，＝－1时，．
②当＝－1，＝－1时，．
6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【答案与解析】
解：设长方形纸片的长为3 (＞0) ，则宽为2，依题意得
.
.
.
∵ ＞0，
∴ .
∴ 长方形纸片的长为.
∵ 50＞49,
∴.
∴ , 即长方形纸片的长大于20.
由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20,
∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.
答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.
【巩固练习】
一.选择题
1．下列说法中正确的有（ ）．
①只有正数才有平方根． ②是4的平方根． ③的平方根是．
④的算术平方根是． ⑤的平方根是．⑥ ．
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
2．若＝－4，则估计的值所在的范围是（ ）
A．1＜＜2 B. 2＜＜3 C. 3＜＜4 D. 4＜＜5
3. 试题下列说法中正确的是（　　）
A.4是8的算术平方根 B.16的平方根是4
C.是6的平方根 D.－没有平方根
4.（2018?河南模拟）若=a，则a的值为（　　）
　 A.1 B.﹣1 C. 0或1 D. ±1
5.有一个数值转换器，原理如下：
当输入的＝64时，输出的等于（　　）
A.2 B.8 C. D.
6.（2019?裕华区一模）下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
二.填空题
7. 若，则＝__________.
8. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3和5的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为 ________.
9. 下列各数：81，，1.44，，的平方根分别是_______________；算术平方根分别是_______________.
10．（1）的平方根是________；
（2）的平方根是________，算术平方根是________；
（3）的平方根是________，算术平方根是________；
（4）的平方根是________，算术平方根是________．
11．（2019?安徽三模）的平方根为______．
12.（2018?前郭县二模）观察下列各式：=2，=3，=4，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来　 　．
三.解答题
13．（2018春?武汉校级月考）求下列各式中x的值．
①x2﹣25=0
②4（x+1）2=16．
14.已知和互为相反数，且，求的值．
15.如图，实数，对应数轴上的点A和B，化简
【答案与解析】
一．选择题
1. 【答案】A；
【解析】只有②是正确的.
2. 【答案】B；
【解析】，所以2＜－4＜3 .
3. 【答案】C；
【解析】A.∵4是16的算术平方根，故选项A错误；B.∵16的平方根是±4，故选项B错误；C.∵是6的一个平方根，故选项C正确；D.当≤0时，－也有平方根，故选项D错误．
4. 【答案】C；
【解析】解：∵=a，
∴a≥0．
当a=0时，=a；
当0＜a＜1时，＞a；
当a=1时，=a；
当a＞时，＜a；
综上可知，若=a，则a的值为0或1．
故选C．
5. 【答案】D；
【解析】根据图中的步骤，把64输入，可得其算术平方根为8，8再输入得其算术平方根是，是无理数则输出．
6. 【答案】C；
【解析】解A.故错误；
B. 故错误；
C.正确；
D. ，故错误.
二.填空题
7. 【答案】1.02；
【解析】被开方数向左移动四位，算术平方根的值向左移动两位.
8. 【答案】 ；
【解析】这个正方形的边长为.
9. 【答案】±9；±；±1.2；±；±3；9；；1.2；；3.
10.【答案】（1）±5；（2）±5；5；3）±，||；（4）±（＋2）,| ＋2|；
【解析】.
11.【答案】±2.
【解析】∵4的立方是64，∴64的立方根是4，4的平方根是±2，故答案为：±2．
12.【答案】；
【解析】解：=（1+1）=2，
=（2+1）=3，
=（3+1）=4，
…
，
故答案为：．
三.解答题
13.【解析】
解：①移项可得：x2=25，
解得：x=±5；
②系数化为1得：（x+1）2=4，
∴x+1=±2，
∴x=1或x=﹣3.
14.【解析】
解：两个非负数互为相反数则只能均为0，
于是－1＝0，1－2＝0，求得＝1,
∴＝2.
15.【解析】根据
∵
∴原式＝－＋－(－)－(＋) ＝－＋－＋－－＝－－.