北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第7讲 二次根式(提高)含解析

二次根式—知识讲解（提高）

【学习目标】
1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.
2、理解并掌握下列结论： ≥0，（≥0），（≥0），（≥0），并利用它们进行计算和化简．
【要点梳理】
要点一、二次根式的概念
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
要点诠释：　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
要点二、二次根式的性质1.≥0，（≥0）；2. （≥0）；3..
4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（≥0，≥0）.
5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，
即（≥0，>0）.要点诠释：（1）二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，
即.
（2）与要注意区别与联系：
①的取值范围不同，中≥0，中为任意值。
②≥0时，==；<0时，无意义，=.
要点三、最简二次根式 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开放数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
【典型例题】
类型一、二次根式的概念
1．当x是__________时，+在实数范围内有意义？
【答案】 x≥-且x≠-1
【解析】依题意，得　　 　　由①得：x≥-　　 　　由②得：x≠-1　　　　 当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义.
【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.
举一反三：【变式】方程，当时，的取值范围是（ ）
A． B.≥2 C. D.≤2
【答案】C.
类型二、二次根式的性质
2.根据下列条件，求字母x的取值范围： 　　(1)； (2).【答案与解析】(1) 　　　 　(2)
【总结升华】二次根式性质的运用.
举一反三：
【变式】（2018春?铁东区校级月考）问题探究：
因为，所以，
因为，所以
请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：
（1）；
（2）．
【答案】解：（1）
=
=；
（2）
=
=．
3. （2019春?江津区校级月考）我们可以计算出
①=2　=；=3
而且还可以计算=2==3
（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=　a　；②当a＜0时=　 　．
（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．
【思路点拨】（1）直接利用a的取值范围化简求出答案；（2）利用a，b的取值范围，进而化简二次根式即可．
【答案与解析】
解：（1）由题意可得：①当a＞0时=a；②当a＜0时=﹣a；
故答案为：a，﹣a；
（2）如图所示：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
则﹣﹣=﹣a﹣b+（a+b）=0．
【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．
类型三、最简二次根式
4.化简：
【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律.
【答案与解析】原式=
=
=
=2
【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆.
举一反三：
【变式】若的整数部分是，小数部分是，求的值.
【答案】
又因为整数部分是，小数部分是
则=13，=
=
二次根式—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题1. （2019?贵港）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
2.使式子有意义的未知数x有( )个　　A．0　　　 B．1　　　 C．2 　　　D．无数
3.下列说法正确的是（ ）
A．是一个无理数
B．函数的自变量x的取值范围是x≥1
C．8的立方根是
D.若点关于x轴对称，则的值为5.
4.（2018?蓬溪县校级模拟）下列四个等式：①；②（﹣）=16；③（）=4；④．正确的是（　　）
A.①② B.③④ C.②④ D.①③
5. 若 ，则 等于（??）
A． ?B． C． D．
6.将中的移到根号内，结果是（ ）
A． B. C. D.
二. 填空题
7.当x_________时，式子没有意义。
8. （2018?江干区一模）在，，，﹣，中，是最简二次根式的是_________.
9.已知，求的值为____________
10.若，则化简的结果是__________. 11. 观察下列各式：，，,……请你探究其中规
律,并将第　n(n≥1)个等式写出来________________.
12. （2019?乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为　 　．
三 综合题
13. 已知，求的值.
14. 若时，试化简.
15.（2018春?武昌区期中）已知a、b、c满足+|a﹣c+1|=+，求a+b+c的平方根．
【答案与解析】
一、选择题1．【答案】C.
【解析】依题意得：x﹣1＞0，解得x＞1．
2．【答案】 B
3．【答案】 D
【解析】选项A: =2是有理数；选项B: 的x的取值范围是x>1; 选项C: 8的立方根是2；选项D:因为关于x轴对称，所以，及,所以选D。
4．【答案】D.
【解析】解：①==4，正确；
②=（﹣1）2=1×4=4≠16，不正确；
③=4符合二次根式的意义，正确；
④==4≠﹣4，不正确．
①③正确．故选：D．
5．【答案】D
【解析】 因为=，即
6．【答案】A
【解析】因为≤0，所以=
二、填空题7.【答案】或x<1
【解析】因为x-1≥0才有意义，所以x<1时无意义；因为，所以，即无意义时x=10.
8. 【答案】.
9.【答案】
【解析】
即
，即原式=
10.【答案】3
【解析】因为原式==.
11．【答案】 .
12．【答案】 3.
【解析】由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，则+|a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．
三、解答题13.【解析】因为，所以2x-1≥0,1-2x≥0，即x=，y=
则.
14.【解析】 因为，
所以原式=
=.
15.【解析】解：由题意得，b﹣c≥0且c﹣b≥0，
所以，b≥c且c≥b，
所以，b=c，
所以，等式可变为+|a﹣b+1|=0，
由非负数的性质得，，
解得，
所以，c=2，
a+b+c=1+2+2=5，
所以，a+b+c的平方根是±．