北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第8讲 二次根式的乘除运算(提高)含解析

二次根式的乘除运算—知识讲解（提高）

【学习目标】
1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.
2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.
【要点梳理】
要点一、二次根式的乘法1.乘法法则：
（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
≥0，≥0，…..≥0）.
(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.
要点二、二次根式的除法1.除法法则：
（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.要点三、分母有理化
1.分母有理化
把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.
2.有理化因式
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式.
②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如与，，分别互为有理化因式.
要点诠释：
分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
【典型例题】
类型一、二次根式的乘除运算
1.（1） （2）
【答案与解析】
（1）原式=
=
(2)原式=
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.
举一反三
【变式】
【答案】原式=
=
2. （2019春?潮南区月考）化简：4x2．
【思路点拨】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．
【答案与解析】
解：4x2
=4x2÷12×3
=x2
=xy．
【总结升华】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
举一反三：
【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．
【答案】由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．
类型二、分母有理化
3. 把下列各式分母有理化：

【思路点拨】找分母有理化因式.
【答案与解析】
（1）
（2）
（3）
【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，与，a与a，b与b都是互为有理化因式.
举一反三：【变式】（2018春?隆化县校级期末）阅读材料，并解决问题．
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化．
解：原式==+
运用以上方法解决问题：
（1）将分母有理化；
（2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“=”）
　 　
　 　（n≥2，且n为整数）
（3）化简：+++…+．
【答案】解：（1）=
=
=2﹣；
（2）∵=+，=+，
又＜，
∴＜，
∵=+，=+，
∴＜，
故答案为：＜，＜；
（3）原式=++…+
=﹣1+﹣+﹣+…+﹣
=﹣1.
4. 已知，，求下列各式的值：（1）；（2）.
【思路点拨】先把x、y的值分母有理化，再分别代入所求的两个式子即可.

【答案与解析】

（1）
【总结升华】此题考查分母有理化与二次根式乘除的应用.
二次根式的乘除运算—巩固练习（提高）

【巩固练习】
一.选择题
1.若（ ）.
A．-1 B.1 C .2x-1 D.1-2x
2.下列计算正确的是( ) 　　A． 　B．　 C． 　D．3.计算等于（ ）.
A． B. C. D .
4.把根号外的因式移到根号内，得（ ）．
A． B． C． D．
5. （2019春?长沙校级期中）已知a=，b=﹣2，则a，b的关系是（　　）
A．a=b B．a=﹣b C．a= D．ab=﹣1
6.若,那么的值是（ ）.
A．1 B.-1 C. D.
二、 填空题
7.（2019?聊城）计算：=________.
8. =________.
9.若互为相反数，则x=_____________.
10.已知=___________.11.计算=___________________________.
12.（2018春?张家港市校级期末）使等式=成立的实数a的取值范围是　 　．
三、综合题
13.若，求的值.
14.若
15.（2018春?团风县校级期中）已知x为奇数，且=，求?．
【答案与解析】
一、选择题1．【答案】 A
【解析】 所以选A.
2．【答案】 B
3．【答案】 A
【解析】 原式==.
4．【答案】C
5．【答案】B
【解析】解：∵a===2﹣，b=﹣2，
∴a=﹣b，故选：B．
6．【答案】D
【解析】
.
则，，
则=.
二、填空题
7．【答案】12
【解析】解：=3×÷=3=12．
8．【答案】-6
9．【答案】0
【解析】因为互为相反数，所以
则.
10.【答案】1
【解析】=
11．【答案】
【解析】因为x>0,所以，所以=
12．【答案】a＞2．
【解析】解：根据题意得：
解得：
所以不等式组的解集为：a＞2．
故答案为：a＞2．
三、解答题. 13.【解析】因为，所以2x-3≥0,3-2x≥0，即x=，y=
则=.
14.【解析】因为，所以

所以
=.
15.【解析】
解：∵=，
∴6≤x＜9，
∵x为奇数，
∴x=7，
则?=8×=12．