北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第11讲 平面直角坐标系(提高)含解析

平面直角坐标系（提高）
【学习目标】
1.了解确定位置的方法，用有序数对或用方向和距离来确定物体的位置.
2.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.
2.能在平面直角坐标系中,根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.
3.会用确定坐标、描点、连线的方法在直角坐标系中作出简单图形.
【要点梳理】
要点一、确定位置的方法
有序数对：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
要点诠释：
有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．
可以用有序数对确定物体的位置，也可以用方向和距离来确定物体的位置（或称方位）.
要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
1.平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).
要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2.点的坐标
平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.
要点诠释：
（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
要点三、坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．
要点诠释：
（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.
2.各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征
要点诠释：
（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
【典型例题】
类型一、确定物体的位置
1．某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示、例如，北偏东30°方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东30°的时刻是1：00，那么这个地点就用代码010045来表示、按这种表示方式，南偏东30°方向78千米的位置，可用代码表示为__________.
【思路点拨】根据题目的叙述可知：代码的前四位表示时间，前两位是几点，中间两位表示多少分，后两位是指距离，时间表示方向角，即正对钟表时按：上北，下南，左西，右东的方向，以钟面圆心为基准，时针指向所对应的时间．
【答案】050078
【解析】
解：南偏东30°方向，时针正好指到5点00分，因而代码前4位是：0500，78千米的位置则代码的后两位是78．则代码是：050078．故答案填：050078．
【总结升华】正确读懂题目的含义，是解决题目的关键，这一题目就是训练学生审题，理解题目的能力．
类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
2.有一个长方形ABCD，长为5，宽为3，先建立一个平面直角坐标系，在此坐标系下求出A，B，C，D各点的坐标.

【答案与解析】
解：本题答案不唯一，现列举三种解法.
解法一：以点A为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，边AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图（1）：
A（0，0），B（5，0）， C（5，3）， D （0，3）.
解法二：以边AB的中点为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，AB的中点和CD的中点所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图（2）：
A（﹣2.5，0），B（2.5，0）， C（2.5，3）， D （－2.5，3）.
解法三：以两组对边中点所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图（3）：
A（﹣2.5，－1.5），B（2.5，－1.5）， C（2.5，1.5）， D （－2.5，1.5）.
【总结升华】在不同平面直角坐标系中，长方形顶点坐标不同，说明位置的相对性与绝对性，即只要原点、x轴和y轴确定，每一个点的位置也确定，而一旦原点或x轴、y轴改变，每一个点的位置也相对应地改变.
3.平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(－3，－1)，B(1，3)，C(2，－3)．求△ABC的面积．
【思路点拨】三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形的面积转化为梯形或长方形的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求得此三角形的面积．
【答案与解析】
解：如图所示，过点A、C分别作平行于y轴的直线与过B点平行于x轴的直线交于点D、E，则四边形ACED为梯形，根据点A(－3，－1)、B(1，3)、C(2，－3)可求得AD＝4，CE＝6，DB＝4，BE＝1，DE＝5，所以△ABC的面积为：
．
【总结升华】点的坐标能体现点到坐标轴的距离，解决平面直角坐标系中的三角形面积问题，就是要充分利用这一点，将不规则图形转化为规则图形，再利用相关图形的面积计算公式求解．
举一反三：
【变式】（2018春?莘县期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．
（1）写出图中所示△ABC各顶点的坐标．
（2）求出此三角形的面积．

【答案】解：（1）A（3，3），B（（﹣2，﹣2），C（（4，﹣3）；
（2）如图所示：
S△ABC=S矩形DECF﹣S△BEC﹣S△ADB﹣S△AFC
=
=.
类型三、坐标平面及点的特征
4. （2019春?沂水县期中）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P在y轴上；
（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；
（4）点P到x轴、y轴的距离相等．
【思路点拨】根据点的坐标特征一一求解.
【答案与解析】
解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，
∴2a+8=0，
解得：a=﹣4，
故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，
则P（﹣6，0）；
（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，
∴a﹣2=0，
解得：a=2，
故2a+8=2×2+8=12，
则P（0，12）；
（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，
∴a﹣2=1，
解得：a=3，
故2a+8=14，
则P（1，14）；
（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，
解得：a1=﹣10，a2=﹣2，
故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，
则P（﹣12，﹣12）；
故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，
则P（﹣4，4）．
综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．
【总结升华】此题主要考查了点的坐标性质，包括坐标轴上的点的坐标特征，平行于坐标轴的点的特征，以及到坐标轴的距离相等的点的特征，考察很全面．
举一反三：
【变式】若点C(x,y)满足x＋y＜0，xy＞0，则点C在第_____象限.
【答案】三．
5.一个正方形的一边上的两个顶点O、A的坐标为O(0，0)，A(4，0)，则另外两个顶点的坐标是什么．
【思路点拨】有点的坐标说明已有确定的平面直角坐标系，但正方形的另两个顶点位置不确定，所以应按不同位置分类去求．
【答案与解析】
解：不妨设另外两个顶点为B、C，因为OABC是正方形，所以OC＝BA＝BC＝OA＝4．且OC∥AB，OA∥BC，则：
(1)当顶点B在第一象限时，如图所示，显然 B点坐标为(4，4)，C点坐标为(0，4)．
(2)当顶点B在第四象限时，如图所示，显然B点坐标为(4，－4)，C点坐标为(0，－4)．
【总结升华】在解答这类问题时，我们千万不要忽略了分类讨论而导致错误．
举一反三：
【变式】点A(m，n)到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点A的坐标为________．
【答案】(2，3)或(－2，3)或(－2，－3)或(2，－3).
【巩固练习】
一、选择题
1．A地在地球上的位置如图，则A地的位置是（ ）.
A.东经130°，北纬50° B.东经130°，北纬60°
C.东经140°，北纬50° D.东经40°，北纬50°
2.点A（a，－2）在二、四象限的角平分线上，则a的值是（ ）.
A．2 B．－2 C． D．
3．已知点M到x轴、y轴的距离分别为4和6，且点M在x轴的上方、y轴的左侧，则点M的坐标为( ) .
A．(4，－6) B．(－4，6) C．(6，－4) D．(－6，4)
4．（2018?威海）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5. 已知点，，过作轴于，并延长到，使，
且点坐标为，，则.
A．0 B．1 C．—1 D．—5
6.（2019?凉山州）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2019应标在（　　）
A．第504个正方形的左下角 B．第504个正方形的右下角
C．第505个正方形的左上角 D．第505个正方形的右下角
二、填空题
7.已知点P(2－a，3a－2)到两坐标轴的距离相等，则P点的坐标为___________．
8.线段AB的长度为3且平行x轴，已知点A的坐标为（2，－5），则点B的坐标为 .
9.如果点，，，，点在轴上，且的面积是5，则点坐标____．
10．观察下列有序数对：(3，－1)、，、、……根据你发现的规律，第100个有序数对是________．
11．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为：A(－2，1)、B(－3，－1)，C(－1，－1)，且D在x轴上方. 顺次连接这4个点得到的四边形是平行四边形， 则D点的坐标为_______．
12．已知平面直角坐标系内两点M(5，a)，N(b，－2)．
(1)若直线MN∥x轴，则a________，b________；
(2)若直线MN∥y轴，则a________，b________．
13．（2018春?绥阳县校级期末）点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且在y轴的左侧，则P点的坐标是　 　．
14．（2019?岳阳）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2019的坐标为________．
三、解答题
15．（2018秋?滨湖区校级月考）已知点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限．
（1）若点P的纵坐标为﹣3，试求出a的值；
（2）求a的范围；
（3）若点P的横、纵坐标都是整数，试求出a的值以及P点的坐标．
16．如图，若B（x1，y1）、C（x2，y2）均为第一象限的点，O、B、C三点不在同一条直线上.
(1) 求△OBC的面积（用含x1、x2、y1、y2的代数式表示）；
(2) 如图，若三个点的坐标分别为A（2,5），B（7,7），C（9,1），求四边形OABC的面积.
17.如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A(1，2)，A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)；B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化?找出规律，按此规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是________，B4的坐标是________；
(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行n次变换，得到三角形OAnBn，推测An的坐标是________，Bn的坐标是________．
（3）求出△O的面积．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C.
2. 【答案】A；
【解析】因为（a，－2）在二、四象限的角平分线上，所以a＋(－2)＝0，即a＝2.
3. 【答案】D；
【解析】根据题意，画出下图，由图可知M（－6，4）.

4. 【答案】A；
【解析】解：由A（a+1，b﹣2）在第二象限，得
a+1＜0，b﹣2＞0．
解得a＜﹣1，b＞2．
由不等式的性质，得
﹣a＞1，b+1＞3，
点B（﹣a，b+1）在第一象限，
故选：A．
5. 【答案】B；
【解析】由题意知： 点M（a，b）与点N（－2，－3）关于x轴对称，所以M(－2,3) .
6. 【答案】D；
【解析】解：∵2019÷4=504，又∵由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2018，∴数2019在第505个正方形的右下角，故选D．
二、填空题
7. 【答案】P（1，1）或P（2，－2）；
【解析】，得，分别代入即可.
8. 【答案】B（5，－5）或（－1，－5）；
【解析】，而．
9. 【答案】（0，）或（0，）；
【解析】，由的面积是5，可得的边AB上的高为，又点
C在y轴上，所以，.
10.【答案】;
【解析】横坐标的规律：，纵坐标的规律：.
11.【答案】(0，1)或(－4，1)；
【解析】，.
12．【答案】(1)＝－2， ≠5； (2)≠－2， ＝5；
13.【答案】（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）
【解析】解：∵P（x，y）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，
∴x=±3，y=±2；
又∵点P在y轴的左侧，
∴点P的横坐标x=﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）．
故填（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）．
14．【答案】（504，﹣504）；
【解析】由规律可得，2019÷4=504，
∴点P2019的在第四象限的角平分线上，
∵点P4（1，﹣1），点P8（2，﹣2），点P12（3，﹣3），
∴点P2019（504，﹣504），
故答案为（504，﹣504）．
三、解答题
15.【解析】
解：（1）由题意得，1﹣a=﹣3，
解得a=4；
（2）∵点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限，
∴，
解不等式①得，a＜6，
解不等式②得，a＞1，
所以，1＜a＜6；
（3）∵点P的横、纵坐标都是整数，
∴a的值为2、3、4、5，
a=2时，2a﹣12=2×2﹣12=﹣8，
1﹣a=1﹣2=﹣1，
点P（﹣8，﹣1），
a=3时，2a﹣12=2×3﹣12=﹣6，
1﹣a=1﹣3=﹣2，
点P（﹣6，﹣2），
a=4时，2a﹣12=2×4﹣12=﹣4，
1﹣a=1﹣4=﹣3，
点P（﹣4，﹣3），
a=5时，2a﹣12=2×5﹣12=﹣2，
1﹣a=1﹣5=﹣4，
点P（﹣2，﹣4）．
16.【解析】
解： (1) 如图：
（2）连接OB，则：
四边形OABC的面积为：.
17.【解析】
解：(1)(16，2), (32，0)；
(2)(2n，2), (2n＋1，0)；
　（3）△的面积为: .