人教版高中数学必修二知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.1 空间几何体的结构

知识
一、空间几何体的有关概念
1．空间几何体
对于空间中的物体，如果我们只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的 就叫做空间几何体.例如,一个正方体形包装箱,占有的空间部分就是一个几何体,这个几何体就是我们熟悉的正方体.
2．多面体
（1）多面体：一般地,我们把由若干个 围成的几何体叫做多面体.
（2）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如图中面ABB′A′,面BCC ′B′等.
（3）多面体的棱：相邻两个面的公共边叫做多面体的棱, 如图中棱AA′,棱BB′等.
（4）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点, 如图中顶点A,B,C等.
3．旋转体
（1）旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线 所形成的封闭几何体.如图所示为一个旋转体，它可以看作由矩形OBB′O′绕其边OO′所在的直线旋转而形成.
（2）旋转体的轴：平面图形旋转时所围绕的定直线.如图中直线OO′是该旋转体的轴.
二、几种最基本的空间几何体
1．棱柱的结构特征
定
义
一般地，有两个面互相 ，其余各面都是 ，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱(prism).
图形
及
表示
①用表示底面的各顶点字母来表示棱柱.如图所示的六棱柱可以表示为棱柱ABCDEF?A′B′C′D′E′F′.?
②用棱柱的对角线表示棱柱.如图,(1)可表示为四棱柱AC1或四棱柱BD1等;(2)可表示为六棱柱AD1或六棱柱AE1等;(3)可表示为五棱柱AC1或五棱柱AD1等.这种记法要说明棱柱是几棱柱.
相
关
概
念
棱柱的底面：棱柱中，两个互相 的面叫做棱柱的底面，简称底.?
②棱柱的侧面：除底面外，其余各面叫做棱柱的侧面.
③棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.?
④棱柱的顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
结构
特征
①底面互相 .
②侧面都是 .?
③每相邻两个平行四边形的公共边互相 .
分
类
①棱柱可以按底面的边数进行分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……即棱柱的底面是几边形，这样的棱柱就叫做几棱柱.
②按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做 ，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做 .
2．棱锥的结构特征
定
义
一般地，有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥(pyramid).
图形及
表示
①表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥.如图所示的四棱锥可表示为棱锥S?ABCD.
②用顶点和底面多边形的一条对角线的相应字母表示棱锥（三棱锥除外）.如图所示的棱锥可记为四棱锥S?AC.
相
关
概
念
①棱锥的底面：在棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底.
②棱锥的侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面.
③棱锥的顶点：各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
④棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.
结构特征
①底面是 .
②侧面都是 .
③侧面有一个 .
分
类
按底面的边数进行分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中，三棱锥又称为 .
注意：三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底.
3．棱台的结构特征
定
义
用一个 于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台(frustum of a pyramid).
图形及
表示
用表示底面各顶点的字母表示棱台.如图所示的四棱台可以表示为棱台ABCD? A′B′C′D′.
相
关
概
念
①棱台的下底面、上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，如上图所示，面A′B′C′D′为棱台的上底面，面ABCD为棱台的下底面.
②棱台的侧面：除上、下底面之外的其他各面叫做棱台的侧面，如上图所示，面ABB′A′，面BCC′B′，面CDD′C′，面ADD′A′都是棱台的侧面.
③棱台的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，如上图所示，棱AA′,棱BB′,棱CC′,棱DD′都是棱台的侧棱.
④棱台的顶点：棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点，如上图所示，点A,B,C,D,A′,B′,C′,D′都是棱台的顶点.
结构特征
①上、下底面互相 ，且是 图形.
②各侧棱的延长线交于 .
③各侧面为 .
分
类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
注意：由正棱锥截得的棱台叫做 .
4．圆柱的结构特征
定
义
以 的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的 叫做圆柱(circular cylinder).
图形
及
表示
圆柱可以用表示它的轴的字母表示，上图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′.
相
关
概
念
①圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴.
②圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面.
③圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面.
④圆柱的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线.
注意：圆柱与棱柱统称为柱体.
结
构
特
征
①圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相 ，且底面是圆面而不是圆.
②圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴 ，所以圆柱的任意两条母线互相 .
③平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的 .
5．圆锥的结构特征
定
义
以 的一条 边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥(circular cone).
图形
及
表示
圆锥可以用表示它的轴的字母表示，如图所示的圆锥可以表示为圆锥SO.
相
关
概
念
①圆锥的轴：旋转轴叫做圆锥的轴，如上图所示，SO为圆锥的轴.
②圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，如上图所示，⊙O及其内部是圆锥的底面.
圆锥的侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面.
圆锥的母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线，如上图所示，SA,SB等都是圆锥的母线.
⑤圆锥的顶点：母线的交点叫做圆锥的顶点，如上图所示，点S为圆锥的顶点.
注意：圆锥与棱锥统称为锥体.
结构特征
①底面是 .
②有无数条母线，长度 且交于 .
③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的 .
6．圆台的结构特征
定
义
用 圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台(frustum of a cone).
图形
及
表示
圆台可以用表示它的轴的字母表示，上图所示的圆台可以表示为圆台OO′.
相
关
概
念
①圆台的下底面、上底面：原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面.
②圆台的轴：上、下底面圆心的连线所在的直线叫做圆台的轴.
③圆台的侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面叫做圆台的侧面.
④圆台的母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线.
注意：圆台和棱台统称为台体.
结
构
特
征
①圆台上、下底面是互相 且 的圆面.
②有 条母线， 且延长线交于一点.
③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的 .
7．球的结构特征
定
义
以半圆的 所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体(solid sphere)，简称球.
图形及
表示
可以用表示球心的字母表示球，上图所示的球可以表示为球O.
相关概念
①球心：半圆的 叫做球的球心.
②半径：半圆的 叫做球的半径.
③直径：半圆的 叫做球的直径.
8．简单组合体的结构特征
定义
由 、 、 、 等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
构
成
形
式
①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.
②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.
常
见
的
几
种
组
合
体
①多面体与多面体的组合体
图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到,图(2)中几何体由一个四棱柱与一个四棱锥组合而成,图(3)中几何体由一个三棱柱与一个三棱台组合而成.
②多面体与旋转体的组合体
图(1)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到,图(2)中几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱得到,图(3)中几何体由一个球挖去一个三棱锥得到.

③旋转体与旋转体的组合体
图(1)中几何体由一个球体和一个圆柱组合而成,图(2)中几何体由一个圆台和两个圆柱组合而成,图(3)中几何体由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成.
K知识参考答案：
二、1．平行 四边形 平行；平行；平行 平行四边形 平行；斜棱柱 正棱柱
2．多边形 三角形；多边形 三角形 公共顶点；四面体
3．平行；平行 相似 一点 梯形；正棱台
4．矩形 旋转体；平行 平行 平行且相等 矩形
5．直角三角形 直角；圆面 相等 顶点 等腰三角形
6．平行于；平行 不等 无数 等长 等腰梯形
7．直径；圆心 半径 直径
8．柱体 锥体 台体 球体
重点
重点：棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.
难点：几种特殊的四棱柱及各棱柱之间的关系，球与简单组合体的结构特征、空间几何体的平面展开图.
易错：解题时凭直观感觉判断几何体致误，要注意紧扣定义.
1．K重点——棱柱、棱锥、棱台的结构特征
判断一个几何体是棱柱、棱锥还是棱台，要从定义出发，严格按照其结构特征进行推理和判断，才能得出正确结论.
有下列三组定义：
①有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.
其中正确定义的个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【思路点拨】从结构特征出发：棱台上、下两个底面平行且相似；棱锥侧面都是三角形且有一个公共顶点；棱柱上、下两个底面平行且侧面都是平行四边形，从而可快速得解.
2．K重点——圆柱、圆锥、圆台的结构特征
圆柱是绕矩形的一边旋转得到的，圆锥是绕直角三角形的一直角边旋转得到的，圆台是用平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，要以动态的观点去观察和理解，才能熟练掌握其结构特征.
正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是
A．圆柱 B．圆锥
C．圆台 D．两个共底的圆锥
【答案】D
【思路点拨】本题考查旋转体的结构特征，熟练掌握旋转体的定义及旋转体的结构特征是解答本题的关键．
3．K难点——球的结构特征
从近几年高考来看，常结合三视图与多面体来考查球内接多面体问题，或以此为载体考查空间几何体的表面积或体积，因此在学习过程中，必须熟练掌握球的结构特征和性质.
一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设正方体的棱长为，那么其内切球的半径为，外接球的半径为（正方体体对角线的一半），与各棱都相切的球的半径为（正方体面对角线的一半），所以比值是，故选C．
【方法点睛】球与几何体的组合体的问题，尤其是相切，一般不画组合体的直观图，而是画切面图，圆心到切点的距离是半径并且垂直，如果是内切球，那么对面切点的距离就是直径，而对面切点的距离是棱长，如果与棱相切，那么对棱切点的距离就是直径，而切点在棱的中点，所以对棱中点的距离等于面对角线长，而如果外接球，那么相对顶点的距离就是直径，即正方体的体对角线是直径．
4．K难点——简单组合体的结构特征
几何体分割开来看：若几何体由几个面围成，且有面面平行或各面有公共顶点，则从棱柱、棱锥、棱台的概念入手；若题中几何体由某平面图形绕定直线旋转形成，则从圆柱、圆锥、圆台、球的概念入手.
如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是
A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴l对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
【答案】A
【解题必备】考查简单组合体的构成，就必须要明白该组合体是由简单几何体拼接、截去还是挖去一部分而成的，因此，要仔细观察简单组合体的组成，并充分结合柱、锥、台、球的几何结构特征进行识别.
5．K难点——空间几何体的平面展开图
求几何体表面上两点间的最小距离的步骤：
(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图;
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；
(3)结合已知条件求得结果.
如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【方法点晴】本题主要考查了圆锥的有关计算及圆锥的侧面展开的应用，着重考查了求立体图形中两点之间的曲线段的最短线路长，解答此类问题一般应把几何体的侧面展开，展开在一个平面内，构造直角三角形，从而求解两点间的线段的长度，用到的知识为：圆锥的弧长等于底面周长，本题的解答中圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，体现了“化曲面为平面”的思想方法．
6．K易错——空间几何体的判断
判断旋转体形状的关键是看平面图形绕哪条直线旋转，同一个平面图形绕不同的旋转轴旋转所形成的旋转体可能不同．
如图，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是
A．①② B．②③
C．③④ D．①⑤
【错解】B
【错因分析】读题不准，上底面已挖去，截面就不会出现②的情况，另外，空间想象能力差且凭主观臆断，考虑不全面导致错解.
【正解】当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件.故截面图形可能是①⑤，选D．
7．K易错——考虑不全致错
如图所示，在长方体中，则在长方体表面上连接两点的所有曲线长度的最小值为__________．
【错解】
【错因分析】该题考查的是几何体的表面距离的最值问题，结合平面内连接两点的直线段是最短的，所以将长方体的侧面沿着不同的方向展开，使得两个点落在同一平面内，利用勾股定理来求解，选出最小的那个就是，容易出错的地方在于考虑不全面，沿着一个方向展开求得结果，从而出现错误．
基础训练
1．以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是
A．一个圆柱 B．一个圆锥
C．一个圆台 D．两个圆锥
2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
3．如图所示的简单组合体，其结构特征是
A．两个圆锥 B．两个圆柱
C．一个棱锥和一个棱柱 D．一个圆锥和一个圆柱
4．有下列三个说法：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
其中正确的有
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
5．下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到下图所示几何体的是
A． B．
C． D．
6．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是
A．圆柱 B．圆锥
C．球体 D．圆柱、圆锥、球的组合体
7．某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)
A． B．
C． D．
8．在正方体中，分别是的中点，那么，过的正方体的截面图形是
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
9．下列几何体是棱台的是 (写出所有满足题意的序号).
10．给出下列说法：
①圆柱的底面是圆；
②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；
③连接圆柱上、下底面圆周上的两点的线段是圆柱的母线；
④圆柱的任意两条母线互相平行；
⑤圆柱的母线有且只有一条.
其中正确的是　　　　　　　(写出所有正确说法的序号).
11．如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：
（1）折起后形成的几何体是什么几何体？
（2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
（3）每个面的三角形面积为多少？
能力提升
12．下列说法正确的是
①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成；
②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面；
③以半圆的直径为轴旋转半周形成的旋转体叫做球；
④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
13．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为
A． B．
C． D．
14．用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1∶4，截去的棱锥的高是，则棱台的高是
A． B．
C． D．
15．如图,在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,,点E为AB上的动点,则D1E+CE的最小值为
A． B．
C． D．
16．有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，如图是从3个不同的角度看同一粒骰子的情形，请画出骰子的一个侧面展开图，并根据展开图说明字母H对面的字母是 .
17．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
12
13
14
15
D
D
D
A
B
C
A
D
D
C
D
B
1．【答案】D
【解析】以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是两个圆锥,且两个圆锥有一个公共的底面,故选D.
2．【答案】D
【解析】一定不是正六棱锥，因为正六边形的中心与相邻两个顶点连接构成等边三角形，那么正六棱锥的侧棱应大于底边，所以当侧棱与底面边长相等时，一定不是正六棱锥．故选.
3．【答案】D
【解析】这个简单组合体是一个圆柱上放置了一个圆锥，故选D.
4．【答案】A
【解析】本题主要考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，故②③错．
?
5．【答案】B
6．【答案】C
【解析】只有球体被任意一个平面所截，截面是圆面.
7．【答案】A
【解析】其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．故选A.
8．【答案】D
【解析】如图，连接QP，取C1D1的中点H，连接HR，则HR∥QP，再分别取B1B,D1D的中点M，N，连接HN，NQ，PM，MR，易知六边形HNQPMR即是过P，Q，R的正方体的截面图形.选D．
【总结归纳】正方体的截面形状：①可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形，不可能是直角三角形、钝角三角形；②可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形,截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；③可以是五边形，截面为五边形时必有两组分别平行的边，同时有两个角相等，截面五边形不可能是正五边形；④可以是六边形，截面为六边形时必有三组分别平行的边，同时有两个角相等.截面六边形可以是正六边形．对应截面图形如下图所示.
9．【答案】④
10．【答案】②④
【解析】①不正确，因为圆柱的底面是圆面而不是圆；②正确，因为母线互相平行，且都垂直于底面；③不正确，因为连接圆柱上、下底面圆周上的两点的线段不一定与圆柱的轴平行；④正确，因为圆柱的任意一条母线都与轴平行；⑤不正确，圆柱的母线有无数条.故填②④.
11．【答案】（1）三棱锥；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】（1）如图，折起后的几何体是三棱锥.
（2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
（3），
，
.
【思路点拨】（1）棱锥侧面为三角形，几棱锥决定于底面边数.
（2）结合平面图形可知三个侧面加上一个底面，都是直角三角形.
（3）根据直角情况，分别求对应直角边，再根据直角三角形面积公式求各自面积.
12．【答案】D
13．【答案】C
【解析】截面图形应为图C所示的圆环面．故选C.
14．【答案】D
【解析】面积比为底面边长比的平方,从而由面积比可得底面边长的比,底面边长的比与截去棱锥和原棱锥高的比相等，从而可求得原棱锥的高,即可得棱台的高.设原棱锥的高为.依题意可得,解得，所以棱台的高为.故D正确.
15．【答案】B
【解析】将正方形ABCD沿AB向下翻折到对角面ABC1D1内成为正方形ABC2D2,在矩形C1D1D2C2中连接D1C2,与AB的交点即为所求最小值点E,此时D1E+CE=D1C2.因为对角线BC1=2,C1C2=3,故.
16．【答案】O
【解析】将原正方体外面朝上展开，得其表面字母的排列如图所示，易得H对面的字母是O.
17．【答案】20 cm.
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得，即，
所以l＝20 cm.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
【名师点睛】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，则截得的圆面与底面相似.