人教版高中数学必修二知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.2.3 空间几何体的直观图

1.2.3 空间几何体的直观图
知识
一、直观图的概念
一个空间图形在投影面上的平行投影（平面图形）可以形象地表示这个空间图形，这种用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图.
二、水平放置的平面图形的直观图
1．斜二测画法及其规则
对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′= ，它们确定的平面表示水平面.
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 x′轴或y′轴的线段.
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度为原来的 .
2．水平放置的平面图形的直观图的画法步骤
（1）画轴：在已知图形中建立适当的直角坐标系xOy，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°.
（2）定点：根据“原图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点.
（3）连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图.
3．建立坐标系的原则
（1）平面图形中若有互相垂直的直线，一般取这两条互相垂直的直线作为 ．
（2）若平面图形为轴对称图形，一般取对称轴作为 ；若平面图形为中心对称图形，一般取对称中心为 ．
（3）若以上条件都不具备，则建系的原则是使多边形的顶点尽可能多地落在 上．
4．常见平面图形的直观图
原图
直观图
三、空间几何体的直观图
1．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使∠xOz= ，且∠yOz= .
（2）画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′= ，∠x′O′z′= ，x′O′y′所确定的平面表示水平平面.
（3）已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成 x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.
（4）已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度 ，平行于y轴的线段，长度变为原来的 .
（5）画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
2．画空间几何体的直观图的原则
（1）坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，一般坐标原点建在图形的 处．
（2）要先画出 的直观图，然后画出其余各面．
（3）与z轴平行的线段在直观图中应与z′轴 且长度保持 ．
知识参考答案：
二、1．45°(或135°) 平行于 不变 一半
3．坐标轴 坐标轴 坐标原点 坐标轴
三、1．90° 90° 45°(或135°) 90° 平行于 不变 一半
2．对称中心 底面 平行 不变
重点
重点：水平放置的平面图形、空间几何体的直观图的画法.
难点：由直观图还原平面图形.
易错：直观图与原图形之间的关系.
1．K重点——水平放置的平面图形的直观图的画法
画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
如图所示，在平面直角坐标系中，已知O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5).试画出四边形ABCD的直观图.
【答案】见解析.

(2)在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1，0).
(3)在x′轴上截取O′E′=OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′=1.5.
(4)同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′=0.5，C′H′=3，D′F′=2.5.
(5)连线成图(去掉辅助线)(如图2).

【方法指导】利用斜二测画法画直观图时应注意：
(1)在已知图形中x轴，y轴的选取，应尽可能多地使图形的点落在坐标轴上，有的点不满足时应作辅助线，与x轴，y轴垂直的线段是最常用的辅助线．
(2)垂直于x轴，y轴的线段在坐标系x′O′y′下的长度变化切勿混淆．
2．K重点——空间几何体的直观图的画法
画空间几何体的直观图的思路是转化为画平面图形的直观图，在原几何体上建立空间直角坐标系O?xyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与x′轴垂直．
已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm D．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
【答案】C
【解题必备】画空间几何体的直观图时：已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.
3．K难点——直观图与原几何体之间的关系
平面图形的直观图与原图形的关系：(1)直观图是由原图形通过斜二测画法得到的．(2)在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．(3)在原图形中互相平行的直线在直观图中一定平行，在直观图中互相平行的直线在原图形中也一定平行．(4)原图形中在同一条直线上的点，在直观图中也在同一条直线上．
如图所示，为水平放置的的直观图，其中，，则的面积为
A． B．
C． D．
【答案】B
【技巧点拨】将直观图还原成平面图形的过程是由平面图形到直观图问题的逆过程．解决这类问题要注意画法步骤中有关规则的逆向转换，如：直观图中x′轴与y′轴的夹角为45°(或135°)，还原为平面图形时，则需还原成90°，与y′轴平行的线段还原时应为原线段长的2倍，且保持与y轴平行．
4．K易错——直观图的面积与原图面积之间的关系
斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度保持不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减少为原来的一半，同时要倾斜45°，因此直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图中相应点距x轴距离的倍.
如图是水平放置的平面图形的直观图,则原平面图形的面积为
A．3 B．
C．6 D．
【错解】B
【错因分析】错解中把直观图认为是原平面图形,则平面图形的面积为.实际上,题图为直观图,必须根据直观图还原得到平面图形,再利用三角形的面积公式求解.
【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答的关键是牢记原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，直观图面积是原图面积的倍.
基础训练
1．关于利用斜二测画法得到的直观图有下列结论：
①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形.
以上结论正确的是
A．①② B．①
C．③④ D．①②③④
2．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角绘制而成的，其中正确的是?
　　　　　　　　 A 　 B 　 C 　 D
3．如图所示，四边形是一个平面图形的斜二测直观图，则该平面图形是
A．平行四边形 B．矩形
C．直角梯形 D．等腰梯形
4．如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为
A． B．3
C． D．12
5．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为
A． B．
C． D．
6．水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4，4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为 .
7．将图中水平放置的直观图绘出原图．
8．画出棱长为2 cm的正方体的直观图．
能力提升
9．如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积为
A． B．
C． D．
10．水平放置的矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以AB、AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为
A．　　　 B．
C．4　　　 D．2
11．如图，是的直观图（斜二测画法），其中与重合，在轴上，且轴， ，，则的最长边的长为__________.
12．用斜二测画法画出六棱锥P?ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定)．
13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形ABCD并求出其面积.
参考答案
1
2
3
4
5
9
10
A
A
C
A
D
B
B
1．【答案】A
【名师点睛】本题主要考查斜二测画法的规则，注意平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的长度减半.
2．【答案】A　
【解析】B错在实、虚线的使用上，D是放置在你水平视线的右上角绘制而成的，C既错在实、虚线的使用上，又是放置在你水平视线的右上角绘制而成的.?
3．【答案】C
【解析】斜二测直观图形中，，，分别平行于，轴，
所以平面图形中，，，分别平行于，轴，
故四边形为直角梯形，故选C.
4．【答案】A
【解析】根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长OB=4，高OA=2O'A'=6，AB=2，∴直角三角形OAB的周长为．故选A．
【名师点睛】本题主要考查平面图形的直观图的应用，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，比较基础，一般的图象转化为直观图时满足的规律是：横不变，纵减半，经常用到的结论是：直观图的面积是原图面积的倍.
5．【答案】D　
6．【答案】　
【解析】由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′=2,
∠B′C′E=45°,所以.
7．【答案】见解析.
【解析】题目中给了直观图，要画出原图，其规律是：横坐标不变，即和横轴平行或者重合的线段长度不变，故原图的长还是3，和纵轴平行或者重合的线段变为原来的二倍，高变为原来的2倍，据此画出原图如下：
8．【答案】见解析.
【解析】(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2 cm，AD＝1 cm.
(2)过点A作z′轴，并使∠BAz′＝90°，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2 cm.
(3)连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图．
【名师点睛】先画底面图形，按照横不变，纵减半，指的是和x轴重合或者平行的线段长度不变，和y轴平行或者重合的线段长度减半，画出底面的平形四边形；再就是z轴的方向上的线段长度不变，画出长方体的高，连接各个顶点即可.
9．【答案】B
【名师点睛】（1）本题主要考查斜二测画法中直观图的面积和原图的面积关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平.
（2）斜二测画法中直观图的面积和原图的面积关系为.
10．【答案】B
【解析】平行线在斜二测直观图中仍为平行线，∴四边形A′B′C′D′为平行四边形，∠D′A′B′=45°，A′B′=4，
A′D′=×2=1，∴D′E=1×sin45°=，∴S四边形A′B′C′D′=A′B′·D′E=4×=．
11．【答案】5
【解析】由斜二测画法可知是直角三角形，且，则最长边（斜边），故答案为.
12．【答案】见解析.
③连接A′B′、C′D′、D′E′、F′A′得到水平放置的正六边形ABCDEF直观图A′B′C′D′E′F′.
(2)画六棱锥P?ABCDEF的顶点，在O′z′轴上取点P′，使P′O′等于PO的长度．
(3)成图．连接P′A′、P′B′、P′C′、P′D′、P′E′、P′F′，并擦去x′轴、y′轴、z′轴，便得到六棱锥P?ABCDEF的直观图P′?A′B′C′D′E′F′(图3)．
13．【答案】见解析.
【解析】四边形ABCD的真实图形如图所示，