人教版高中数学必修二知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
知识
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念
棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的面积之 ,因此,我们可以把多面体展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积.
2．棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个 、 、 所组成的.侧面展开图的面积称为几何体的侧面面积（即侧面积）.由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和.
（2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有 和 展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积.可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和，也可表示为：
，，.
3．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积
（1）直棱柱的侧面积：把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形.
如图(1)所示，则直棱柱的侧面面积为 (c为底面周长，h为侧棱长).
（2）正棱锥的侧面积：正棱锥(底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是几个全等的等腰三角形.
如图(2)所示，则正棱锥的侧面面积为 (c为底面周长，h′为斜高,即侧面等腰三角形底边上的高).
（3）正棱台的侧面积：正棱台(由正棱锥截得)的侧面展开图是几个全等的等腰梯形.
如图(3)所示，则正棱台的侧面面积为 (c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高,即侧面等腰梯形的高).
二、圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱（底面半径为r，母线长为l）
圆锥（底面半径为r，母线长为l）
圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l）
侧面展开图
底面面积
S底=_____
S底=πr2
S上底=πr′2，S下底=πr2
侧面面积
S侧=2πrl
S侧=_____
S侧=πl(r′+r)
表面积
S表=2πr(r+l)
S表=πr(r+l)
S表=____________
三、柱体、椎体、台体的体积
1．柱体、椎体、台体的高
（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.圆柱的 即圆柱的高.
（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
（3）棱台（圆台）的高是指两个 之间的距离.
2．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体
V柱体= (S为底面面积，h为高),V圆柱=πr2h(r为底面半径，h为高)
锥体
V锥体=Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥= (r为底面半径，h为高)
台体
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
V圆台=πh(r′2+r′r+r2)(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)
四、组合体的表面积与体积
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.
求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
知识参考答案：
一、1．和
2．平行四边形 三角形 梯形 侧面 底面
3．ch ch′ (c+c′)h′
二、πr2 πrl π(r′2+r2+r′l+rl)
三、1．母线 底面
2．Sh πr2h
重点
重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积.
难点：组合体的表面积和体积.
易错：由三视图还原几何体时出错，表面积计算不全致错，忽视题干条件致错等.
1．K重点——柱体的表面积和体积
（1）圆柱和直棱柱的侧面展开图都是矩形，解决其侧面积问题时，只需求出相应底面周长及高，再代入侧面积公式求解即可.
（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法.所谓定义法就是利用侧面积为各侧面的面积之和来求，公式法即利用平行四边形面积公式进行求解.
已知矩形中，，把这个矩形分别以所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为，则与的比值等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【名师点睛】旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用，多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
2．K重点——锥体的表面积和体积
某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积为_______，体积为______.
【答案】
【解析】由三视图还原原几何体如图，
由此可知该几何体为三棱锥，底面三角形为直角三角形，侧棱为高，
由，可得，由，可得，
∴该几何体的表面积为，则该三棱锥的体积为．
故答案为；．
【名师点睛】（1）本题考查由三视图还原几何体并求几何体的表面积、体积，求解的关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
（2）求解棱锥的表面积和体积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意高、斜高、底面边心距所组成的直角三角形的应用.
3．K重点——台体的表面积和体积
（1）求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用.①高、侧棱、上下底面外接圆半径所成的直角梯形；②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.
常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决．
（2）求解圆台的表面积和体积时，注意轴截面是等腰梯形的运用，求圆台的表面积关键在于求侧面积，“还台为锥”是解题的常用策略,利用侧面展开图将空间问题平面化也是解决问题的重要途径.
已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是
A．2　　　　　　　　 B．
C．3 D．
【答案】A
【解析】如图．
【思路点拨】欲求棱台的高，根据题目中给出的侧面积和上、下底面面积的关系，可列等式求得侧面斜高，进而求出棱台的高．
4．K难点——组合体的表面积和体积
（1）求组合体的表面积与体积，关键是弄清楚组合体是由哪几种简单几何体组合而成的，然后由相应几何体的表面积或体积得出.需要注意，组合体的表面积，并不是简单几何体的表面积的和，因其接合部分并不裸露在表面.
（2）组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分的面积，其体积是各简单几何体的体积之和（若是“挖去”，则是体积之差）.
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．8 B．
C． D．4
【答案】A
【方法点睛】（1）求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
（2）需要注意：求组合体的表面积，并不是简单几何体的表面积的和，因其接合部分并不裸露在表面；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用等积法、分割法、补形法等进行求解.
5．K易错——表面积计算不全致错
由三视图还原几何体时要注意两点：一是图形的转化,在转化过程中注意图中各个数据的对应关系；二是特殊情况的处理,在求表面积时,要搞清几何体的特征,注意分割与拼补的技巧,切不可漏掉某个面.
一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为
A．21+ B．18+
C．21 D．18?
【错解】B或C或D
【错因分析】由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥后剩余的部分，B项计算三角形面积时出错；截取两个全等的小正三棱锥后剩余的部分,即除去了六个全等的等腰直角三角形，但C项忽略了几何体多了两个等边三角形面；D项计算三角形面积时出错，且计算时还少加了三棱锥的底面.
基础训练
1．已知圆柱的侧面展示图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是
A． B．
C． D．
2．三角形中，，，，以边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积是
A． B．
C． D．
3．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
A． B．
C． D．
4．下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是
A． B．
C． D．
5．已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为，宽为，圆半径为，则该几何体的体积和表面积分别为
A．， B．，
C．， D．，
6．正六棱柱的高为5 cm，最长的对角线为13 cm，则它的侧面积为__________．
7．如果一个正四面体与正方体的体积比是，则其表面积（各面面积之和）之比__________．
8．已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的全面积．
9．如图所示，正方体中，、分别是棱和的中点，过点、、、的截面将正方体分成两部分.
（1）作出左上部分几何体的三视图；
（2）求分正方体成两部分的几何体体积之比.
能力提升
10．一个几何体的三视图如图所示，则其表面积是
A． B．
C． D．
11．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为丈、下底为丈、高为丈，直棱柱的侧棱长为尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）
A． B．
C． D．
12．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则
A． B．
C． D．
13．“降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而水平面上积聚的深度，降水量以为单位．为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所示的简易装置：倒置的圆锥．雨后，用倒置的圆锥接到的雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为__________ ．
14．已知四棱锥P－ABCD的体积为，其三视图如图所示，其中正视图为等腰三角形，侧视图为直角三角形，俯视图是直角梯形．
（1）求正视图的面积；
（2）求四棱锥P－ABCD的侧面积．
15．如图，正方体的棱长为，连接，得到一个三棱锥．求：
（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥的体积．
真题练习
16．（2018年高考新课标I卷文）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A． B．
C． D．
17．（2019年浙江模拟）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A．2 B．4
C．6 D．8
18．（2019年四川模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
19．（2018年高考浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A． B．
C． D．
20．（2019年高考北京模拟）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A．60 B．30
C．20 D．10
21．（2018年高考新课标Ⅱ卷）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A． B．
C． D．
22．（2019年四川模拟）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 .
23．（2018年高考浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3.
24．（2019年山东模拟）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .
25．（2018江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
26．（2018天津卷理）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为 .
27．（2018天津卷文）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．
参考答案
1
2
3
4
5
10
11
12
16
17
18
19
20
21
A
B
C
B
B
A
B
B
B
C
B
A
D
C
1．【答案】A
【解析】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为，所以底面积为，所以体积为，故选A.
【名师点睛】找准侧面展开图中那些量与圆柱的量对应，建立等价关系.求解本题时，侧面展示图的底面边长为圆柱底面周长，求解底面圆的半径，正方形的边长为圆柱的高，再根据面积公式求解.
2．【答案】B
【解析】由题意知该几何体是一个圆锥，其底面圆的半径为，高为，所以该几何体的体积是，故选B．
3．【答案】C
【名师点睛】还原几何体的基本要素是“长对正，高平齐，宽相等”.求解本题时，三视图中一个为直角三角形，另两个为矩形，可知该几何体为平放的三棱柱.由三视图观察其所有棱长，三个侧面都是矩形，可求其侧面积，底面为直角三角形，可求底面积，进而求出该几何体的表面积.
4．【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是由三棱柱割掉一个角（三棱锥）而成的几何体，所以体积为.
【名师点睛】对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．
根据几何体的三视图确定直观图的方法：
三视图为三个三角形，对应三棱锥；
三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；
三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；
三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥；
三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱.
5．【答案】B
【解析】根据三视图可得，该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，圆柱底面半径和高均为，圆锥的底面圆的半径为，如图所示：
【名师点睛】（1）本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对于简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
（2）求解本题时，几何体为圆柱中挖去一个圆锥，分别算出圆柱体积和圆锥的体积即可算出该几何体的体积；分别算出圆柱的侧面积、底面积和圆锥展开的扇形面积即可求得该几何体的表面积．
6．【答案】180 cm2
【解析】设正六棱柱底面边长为a，则底面上最长对角线长2a，∴正六棱柱最长对角线长为13，∴a=6，侧面积S=6a×5=180(cm2)．
7．【答案】
【解析】设正四面体的棱长为，正方体的边长为，
则正四面体的体积为，
正方体的体积为，所以，解得，
所以正四面体与正方体的表面积的比为：．
【名师点睛】本题主要考查了空间几何体的体积与表面积公式的应用，其中熟练掌握空间几何体的结构特征和相应的表面积与体积公式是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力．求解本题时，根据正四面体与正方体的体积比，求出侧棱长与边长的比为，再由正四面体与正方体的表面积公式，即可求得结果．
8．【答案】36.
【解析】如图，高PO=3，PE是斜高，
【思路点拨】本题主要考查正四棱锥全面积的求解，求底面边长是问题的关键．解题时先利用侧面积与底面积的关系，找斜高与底面边长的关系，然后由高是3，则可求底面边长．
9．【答案】（1）见解析；（2）（或）.
【解析】（1）三视图：
【名师点睛】本题主要考查三视图的绘制，空间想象能力，空间几何体的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．【答案】A
【解析】由三视图知该几何体是一个正方体截去四个三棱锥，如图所示：
所以该几何体的表面积是.
故选A．
11．【答案】B
【解析】根据棱柱的体积公式，可得城墙所需土方为（立方尺），一个秋天工期所需人数为，故选B.
12．【答案】B
【解析】由三视图知：该几何体是底面边长分别为，的矩形，高为的四棱锥，所以该几何体的体积是，因为该几何体的体积为，所以，解得，故选B．
13．【答案】1
14．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）如图所示四棱锥P－ABCD的高为PA，底面积为S＝·CD＝×1＝，
∴四棱锥P－ABCD的体积V四棱锥P－ABCD＝S·PA＝×·PA＝，
∴PA=，
∴正视图的面积为×2×＝.
（2）如图所示，过A作AE∥CD交BC于E，连接PE.
根据三视图可知，E是BC的中点，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1，且BC⊥AE，AB=，
又PA为四棱锥P－ABCD的高，
∴，
∴CD⊥PD，
∴四棱锥P－ABCD的侧面积为
S＝S△PAB+ S△PAD+ S△PCD+ S△PBC＝××+××1+×1×+×2×=.
【名师点睛】由三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体底面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整.
15．【答案】（1）；（2）.
16．【答案】B
【解析】由题意得
所以圆柱的表面积为故选B.
【名师点睛】该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
17．【答案】C
【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.
【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.
18．【答案】B
【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
19．【答案】A
【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为，选A．
【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整．
20．【答案】D
【解析】该几何体是如下图所示的三棱锥.
由图中数据可得该几何体的体积是，故选D.
【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:
如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面三角形的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.
21．【答案】C
【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，所以该几何体的表面积为，故选C.
22．【答案】
【解析】由三视图可知该几何体的底面积为，高为1，所以该几何体的体积为.
23．【答案】80 40
．
24．【答案】
【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,
所以.
【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．
（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
25．【答案】
【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为.
【名师点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．
26．【答案】
【名师点睛】本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
27．【答案】
【解析】如图所示，连接，交于点，很明显在平面上的射影是点O，则是四棱锥A1–BB1D1D的高，且，
，
结合四棱锥体积公式可得其体积为：.
【名师点睛】本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.