人教版高中数学必修二知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.3.2 球的体积和表面积

1.3.2 球的体积和表面积
知识
一、球的体积与表面积
1．球的体积
设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么它的体积　　　　　　.
2．球的表面积
设球的半径为R，它的表面积由半径R唯一确定,即它的表面积S是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积 .
二、球的截面
1．球的截面在解决球的相关计算问题中的作用
（1）当截面过球心时，截面圆的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
（2）当截面不过球心时，截面圆的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
2．球的截面的性质
（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；
（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式: .
三、球的切、接问题（常见结论）
（1）若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的球的半径是．
（2）若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的外接球半径是．
（3）若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是．
（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．
（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
知识参考答案：
一、1．
2．
重点
重点：球的体积和表面积.
难点：球的截面问题、球与几何体的切、接问题.
易错：空间能力想象不足、考虑不全出错等.
1．K重点——球的体积与表面积
确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.
若球的表面积膨胀为原来的倍，则膨胀后的球的体积为原来的
A．倍 B．倍
C．倍 D．倍
【答案】C
【解析】设球的半径为，则球的表面积为，球的体积为，膨胀后球的表面积为，球的半径为，膨胀后球的体积为，膨胀后球的体积变成了原来的倍，故选C.
【名师点睛】本题是基础题，考查的是球的体积的计算，考查了计算能力.求解时，设出球的半径，求出膨胀后球的半径，即可得到体积比.
2．K难点——球的截面问题
当截面过球心时，截面圆的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；当截面不过球心时，截面圆的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为
A． B．
C． D．
【答案】B　
【技巧点拨】（1）解题时，利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积.
（2）对于球的截面问题，注意：①球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：.
3．K难点——球与几何体的切、接问题
解决几何体的内切球问题：（1）找过切点和球心的截面；（2）体积法.
解决几何体的外接球问题：（1）由球心和几何体抽象得出新几何体；（2）找过球心的截面.
某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为
A． B．
C． D．
【答案】D
【归纳总结】球与几种特殊几何体的关系：
(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；
(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；
(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；
(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；
(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
求解本题时，由三视图可知此空间几何体为三棱柱的切割体，相对于原三棱柱，只缺失了一个顶点，所以此几何体的外接球即为三棱柱外接球，由于底面为直角三角形，所以该外接球可转化为长方体外接球，进而求出体积.
4．K易错——问题考虑不全面出错
已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为 .?
【错解】如图(1)，设球的大圆为圆O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过点C，O，D的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.在Rt△COE中，.在Rt△DOF中，.所以CD=OC?OD=8?6=2,故这两个截面圆间的距离为2.?
【错因分析】错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导致错误.事实上，两个平行截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧.
基础训练
1．若两个球的表面积之比为1∶4，则这两个球的体积之比为
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶16
2．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为
A．2π B．3π
C．4π D．6π
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B．2π
C． D．4π
4．一个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
A．12π B．18π
C．36π D．6π
5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是
A． B．
C． D．
6．圆柱形容器的内壁底面半径是10，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了，则这个铁球的表面积为
A． B．
C． D．
7．表面积为的球的体积为__________．
8．若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆面面积为________.
9．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a，求这个球的体积．
10．如图是某几何体的三视图.
（1）求该几何体外接球的体积；
（2）求该几何体内切球的半径.
能力提升
11．等体积的球与正方体，它们的表面积的大小关系是
A． B．
C． D．不能确定
12．一个球被两个平行平面截后所得几何体形如我国的一种民族打击乐器“鼓”，该“鼓”的三视图如图所示，则球的表面积为
A． B．
C． D．
13．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若 则球的表面积为
A． B．
C． D．
14．如图，一几何体的正视图是高为的等腰三角形，它的俯视图是由三个等腰三角形组合成的边长为的正三角形，几何体的顶点均在球上，则球的体积为
A． B．
C． D．
15．麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆.制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有.一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团，它们彼此相切，同时与长方体纸盒上、下底和侧面均相切，其俯视图如图所示，若长方体纸盒的表面积为576 ，则一个麻团的体积为_______．
真题练习
16．（2018年高考新课标Ⅲ卷）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B．
C． D．
17．（2019年四川模拟）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A． B．
C． D．
18．（2018年重庆模拟）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B．
C． D．
19．（2019年山东模拟）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是
A．4π B．
C．6π D．
20．（2018年高考新课标Ⅰ卷）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是
A．17π B．18π
C．20π D．28π
21．（2019年天津模拟）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
22．（2018年高考天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．
23．（2019年四川一诊）长方体的长，宽，高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 .
24．（2019年江苏模拟）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 .
参考答案
1
2
3
4
5
6
11
12
13
14
16
17
18
19
20
21
C
B
A
A
C
D
C
A
C
C
B
B
A
B
A
C
1．【答案】C
【名师点睛】本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比，着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题．
2．【答案】B
【解析】由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球的表面积，所以，故选B．
3．【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体是半径为1的半球，其体积.
4．【答案】A
【解析】长方体的体对角线的长是，所以球的半径是，
所以该球的表面积是，故选A.
【名师点睛】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果.
5．【答案】C
【解析】由三视图可得，该几何体是一个四棱锥，其中底面是边长为1的正方形，一条侧棱垂直于底面，且高为1.根据题意，可以将该四棱锥补成一个棱长为1的正方体，且该四棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个，设外接球的半径为R，则,所以该几何体的外接球的表面积是.故选C.
6．【答案】D
【解析】设实心铁球的半径为R，则=，解得R=5，
故这个铁球的表面积为S=4πR2=100π cm2．故选D．
【名师点睛】本题考查球的表面积的求法，考查圆柱的体积和球的表面积、体积的计算等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题．求解本题时，容器的水面下降部分的容积即为球的体积，由此计算出球的半径，再根据球的表面积公式即可求解．
7．【答案】
【名师点睛】本题主要考查球的体积公式和表面积公式，意在考查学生对基础知识的掌握情况，属于基础题.求解本题时，先根据球的表面积公式，列方程得到球半径，再利用球的体积公式求解该球的体积即可.
8．【答案】π
【解析】如图所示，
∵球的表面积为16π，∴球的半径R=2，
又球心O到截面的距离为，∴截面圆的半径r=1，∴截面圆的面积为πr2=π．
9．【答案】.
【解析】∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，
∴以PA、PB、PC为相邻的三条棱可以构造正方体．
∵P、A、B、C四点是球面上的四个点，
∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径，
∴，
∴，
∴.
10．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由三视图可知，几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，设为三棱锥.
（2）设内切球的半径为，球心为，连接，把三棱锥分成四个小三棱锥，则四个小三棱锥的体积和等于三棱锥的体积.
∴，
解得.
∴所求几何体内切球的半径为.
【名师点睛】本题主要考查了三视图以及几何体的外接球和内切球半径问题，属于中档题.本题在求三棱锥外接球半径时，采用的是构造长方体，由该长方体的对角线长等于其外接球的直径，求内切球半径时，根据，把三棱锥分成四个小三棱锥，四个小三棱锥的体积和等于三棱锥的体积，再算出内切球半径.
11．【答案】C
【解析】设球的半径为R，正方体的棱长为a，则，∴，
∴，，
∴，故选C．
12．【答案】A
【解析】有三视图可知球的半径为，所以，故选A.
13．【答案】C
14．【答案】C
【解析】由题可得该几何体为正三棱锥，正视图的高为，即为三棱锥的高，故可设球的半径为R，底面外接圆的半径为底面三角形高的，即为，然后由勾股定理可得，故球的体积为，故选C.
【名师点睛】本题考查三视图、外接球，正确理解直观图，然后确定球心的位置是解题关键.求解本题时，俯视图的的中心即为底面外接圆的圆心，故球心在三棱锥的高上.
15．【答案】
【解析】根据麻团与长方体纸盒上、下底和侧面均相切，可知长方体纸盒的长、宽相等.
设麻团球形半径为r，则可得长方体长、宽均为a=4r，高为h=2r，
由长方体纸盒的表面积为576 cm2，即32r2+32r2=576，解得：r2=9，即r=3，
可得一个麻团的体积为V==36π．
故答案为36π.
【名师点睛】本题主要考查球的体积，考查几何体的内切球问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间观察想象能力.
16．【答案】B
【解析】如图所示，设点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，
【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点在平面上的射影为三角形ABC的重心时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型.
17．【答案】B
【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示.由题意可得：，
结合勾股定理，底面半径，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.
【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.
18．【答案】A
【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.
19．【答案】B
20．【答案】A
【解析】该几何体的直观图如图所示.该几何体是一个球被切掉左上角的后剩余的部分,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积与三个扇形面积之和,即．故选A．
21．【答案】C
【解析】由已知及三视图可得，半球的直径为，正四棱锥的底面边长为1，高为1，所以其体积为，选C.
22．【答案】
【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：
①三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；
②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；
③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心．
23．【答案】
【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
24．【答案】
【解析】设球半径为，则．故答案为．
【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：
①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；
②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．