北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第15讲 正比例函数(提高)含解析

正比例函数（提高）
【学习目标】
1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数/的图象；
2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．
【要点梳理】
要点一、正比例函数的定义
1、正比例函数的定义
一般的，形如/ （/为常数，且/≠0）的函数，叫做正比例函数.其中/叫做比例系数.
2、正比例函数的等价形式
（1）、/是/的正比例函数；
（2）、/（/为常数且/≠0）；
（3）、若/与/成正比例；
（4）、/（/为常数且/≠0）.
要点二、正比例函数的图象与性质
正比例函数/（/是常数，/≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线/.当/＞0时，直线/经过第一、三象限，从左向右上升，即随着/的增大/也增大；当/＜0时，直线/经过第二、四象限，从左向右下降，即随着/的增大/反而减小.
/
要点三、待定系数法求正比例函数的解析式
由于正比例函数/（/为常数，/≠0 ）中只有一个待定系数/，故只要有一对/，/的值或一个非原点的点，就可以求得/值.
【典型例题】
类型一、正比例函数的定义
/1、若函数/是/关于/的正比例函数，求/、/的值.
【思路点拨】正比例函数的一般式为/，要特别注意定义满足/，/的指数为1．
【答案与解析】
解：由题意，得/ 解得 /
∴当/时，/是/的正比例函数.
【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）/不等于零；（2）/的指数是1.
举一反三：
【变式】（2018春?凉州区校级月考）x、y是变量，且函数y=（k+1）x|k|是正比例函数，求K的值．
【答案】解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1．

/2、设有三个变量/、/、/，其中/是/的正比例函数，/是/的正比例函数
（1）求证：/是/的正比例函数；
（2）如果/＝1，/＝4时，求出/关于/的函数关系式.
【答案与解析】
解：（1）由题意，设/，/，/为常数
/
/ ∴/且为常数
∴/是/的正比例函数；//
（2）当/＝1，/＝4时，代入/ ∴/
∴/关于/的函数关系式是/.
【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的/，不要都设为/，产生混淆.
举一反三：
【变式】已知/，/是常数，/是/的正比例函数，当/＝2时，/＝1；当/＝3时，/＝－1，求/与/的函数关系．
【答案】
解：由题意，/，/ ,
∵/＝2时，/＝1；当/＝3时，/＝－1，
∴1＝/＋2/，－1＝/＋3/
解得/＝－2，/＝5
∴/＝－2/＋5.
类型二、正比函数的图象和性质
/3、（2019?眉山）若函数y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第　 　象限．
【思路点拨】根据正比例函数定义可得：|m|=1，且m﹣1≠0，计算出m的值，然后可得解析式，再根据正比例函数的性质可得答案．
【答案与解析】
解：由题意得：|m|=1，且m﹣1≠0，
解得：m=﹣1，
函数解析式为y=﹣2x，
∵k=﹣2＜0，
∴该函数的图象经过第二、四象限．
【总结升华】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数；正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
举一反三：
【变式】已知正比例函数/的图象上一点（/，/），且//＜0，那么/的取值范围是（　　 ）
A. /＜/ B．/＞/ C．/＜/或/＞/ D．不确定
【答案】A；
提示：因为//＜0，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则2/－1＜0，/＜/．
类型三、正比例函数的应用
/4、已知正比例函数/的图像上有一点P(/,/)和一点A(6，0)，O为坐标原点，且△PAO的面积等于12，你能求出P点坐标吗？
【思路点拨】画出草图，可知三角形的底边长为|OA|＝6，高为P点纵坐标的绝对值，利用面积等于12求解.
【答案与解析】
解：依题意：/
∵O（0，0），A（6，0）∴OA＝6
∴/
/；/
/
【总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长，利用面积即可求出垂线段的长.
【巩固练习】
一.选择题
1．下列说法中，不正确的是（ ）．
A．在/中，/是/的正比例函数
B．在/中，/是/的正比例函数
C．在/＝3中，/是/的正比例函数
D．正方形的边长与周长为正比例关系
2. /（/，/），/（/，/）是正比例函数/图象上的两点，则下列判断正确的是（　　）
A．/＞/ B．/＜/ C．当/＜/时，/＞/ D．当/＜/时，/＜/
3.（2018秋?松江区校级期中）在水管放水的过程中，放水的时间x（分）与流出的水量y（立方米）是两个变量．已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程共持续10分钟，则y关于x的函数图象是（　　）
　 A． / B．/ C．/ D．/
4．（2019?丽水）在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是（　　）
A．M（2，﹣3），N（﹣4，6） B．M（﹣2，3），N（4，6）
C．M（﹣2，﹣3），N（4，﹣6） D．M（2，3），N（﹣4，6）
5. 正比例函数/（/≠0），下列结论正确的是（　　）
A．/＞0 B．/随/的增大而增大
C．/＜0 D．/随/的增大而减小
6. 已知正比例函数/（/≠0）的图象如图所示，则在下列选项中/值可能是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
/
二.填空题
7．（2018春?山西校级月考）已知y与x+1成正比例，且x=1时，y=2．则x=﹣1时，y的值是　 　．
8．如图所示，直线/、/、/的解析式分别为/，/，/，则/、/、/三个数的大小关系是________．
/
9. 若函数/是正比例函数，则/＝________，图象过第______象限.
10. 已知函数/（/为常数）为正比例函数，则/＝____．此函数图象经过第______象限；/随/的增大而__________．
11.（2019春?晋江市期末）在正比例函数y=（k﹣2）x中，y随x的增大而增大，则k的取值范围是　　．
12. 已知点A（1，－2），若A，B两点关于/轴对称，则B点的坐标为______,若点（3，/）在函数/的图象上，则/＝_______.
三.解答题
13. 已知/与/成正比例，当/时，/，
（1）求/与/的函数关系式；
（2）求当/时的函数值；
（3）如果/的取值范围是/，求/的取值范围。
14.（2018秋?江东区校级月考）已知两个正比例函数y1=k1x与y2=k2x，当x=2时，y1+y2=﹣1；当x=3时，y1﹣y2=12．
（1）求这两个正比例函数的解析式；
（2）当x=4时，求/的值．
15.有一长方形AOBC纸片放在如图所示的坐标系中，且长方形的两边的比为OA：AC＝2：1.
（1）求直线OC的解析式；
（2）求出/＝－5时，函数/的值；
（3）求出/＝－5时，自变量/的值；
（4）画这个函数的图象；
（5）根据图象回答，当/从2减小到－3时，/的值是如何变化的？
/
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】根据定义，/与/的解析式可以写为形如/ (/是常数，/≠0)的形式.
2. 【答案】C；
【解析】根据/＜0，得/随/的增大而减小．
3. 【答案】D；
【解析】解：∵水管每分钟流出的水量是0.2立方米，
∴流出的水量y和放水的时间x的函数关系为：y=0.2x，
∵放水的过程共持续10分钟，
∴自变量的取值范围为（0≤x≤10），
故选D．
4. 【答案】A；
【解析】设正比例函数的解析式为y=kx，根据4个选项中得点M的坐标求出k的值，再代入N点的坐标去验证点N是否在正比例函数图象上，由此即可得出结论．
5. 【答案】D；
【解析】因为/的取值范围是全体实数，所以/的值不确定，因为/＜0，所以选D.
6. 【答案】B；
【解析】根据图象，得2/＜6，3/＞5，解得/＜3，/＞/，所以/＜/＜3．只有2符合.
二.填空题
7. 【答案】0；
【解析】解：∵y与x+1成正比例，
∴设y=k（x+1），
∵x=1时，y=2，
∴2=k×2，即k=1，
所以y=x+1．
则当x=﹣1时，y=﹣1+1=0．
故答案为0．
8. 【答案】/
【解析】可用赋值法，令/＝1，则/，观察图象可知/.
9. 【答案】－3，二、四；
【解析】由题意/，故/＝－3，图象经过二、四象限.
10.【答案】－2；二、四；减小；
【解析】由题意可知：/且/，所以：/＝－2. 原函数即/，经过第二、四象限，/随/的增大而减小.
11.【答案】k＞2；
【解析】∵正比例函数y=（k﹣2）x中，y随x的增大而增大∴k﹣2＞0∴k＞2.
12.【答案】（1，2），－6；
【解析】平面直角坐标系中任意一点P（/，/），关于/轴的对称点的坐标是（/，－/）．将点（3，/）代入函数即可求得/的值．
三.解答题
13.【解析】
解：（1）由题意/，把/，/代入解得/＝1，
所以/与/的函数关系式为/；
（2）当/＝－1时，/＝3×（－1）－1＝－4；
（3）由题意/，解不等式得/.
14.【解析】
解：（1）根据题意得/，
解得/，
所以两正比例函数的解析式分别为y1=/x，y2=﹣/x；
（2）当x=4时，y1=/x=7，y2=﹣/x=﹣9，
所以/=/﹣/=/．
15.【解析】
解：（1）设C点的坐标为(/, /),
因为长方形的两边的比为OA：AC＝2：1.
所以/；
（2）将/＝－5代入/，得/＝－10；
（3）将/＝－5代入/，得/＝－2.5;
（4）函数图象如下所示：
/
（5）当/从2减小到－3时，/的值从4减小到－6.