北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习：第16讲 一次函数的图象和性质(提高)含答案

一次函数的图象和性质—知识讲解（提高）
【学习目标】
1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；
2. 能正确画出一次函数的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．
3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．
【要点梳理】
要点一、函数图象及一次函数的定义
1.函数图象的概念
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
2.一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.
要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.
3.画函数图象的一般步骤
总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤
第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．
第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．
第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．
要点二、一次函数的图象与性质
1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；
当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；
当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.
2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：
3. 、对一次函数的图象和性质的影响：
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行；
要点三、待定系数法求一次函数解析式
　 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
要点四、分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
【典型例题】
类型一、待定系数法求函数的解析式
1、（2018春?东平县校级期末）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）判定点C（4，﹣2）是否在该函数图象上？说明理由；
（3）若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．
【思路点拨】（1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）把C的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可；
（3）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．
【答案与解析】解：（1）在y=2x中，令x=1，解得y=2，则B的坐标是（1，2），
设一次函数的解析式是y=kx+b，
则，
解得：．
则一次函数的解析式是y=﹣x+3；
（2）当a=4时，y=﹣1，则C（4，﹣2）不在函数的图象上；
（3）一次函数的解析式y=﹣x+3中令y=0，解得：x=3，
则D的坐标是（3，0）．
则S△BOD=OD×2=×3×2=3．
【总结升华】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．
举一反三：
【变式1】一次函数交轴于点A（0，3），与两轴围成的三角形面积等于6，求一次函数解析式.
【答案】
解：
设一次函数的解析式为.
当过时，；
当过时，；
所以，一次函数的解析式为或.
【变式2】在平面直角坐标系中，已知两点，，在轴上求作一点P，使AP＋BP最短，并求出点P的坐标.
【答案】
解：作点A关于轴的对称点为，连接，与轴交于点P，点P即为所求.
设直线的解析式为，
直线过，
的解析式为：，它与轴交于P（0，1）.
类型二、一次函数图象的应用
2、李明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一条路段，在这段路上所走的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题：
(1)求李明上坡时所走的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系式和下坡时所走的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系式；
(2)若李明放学后按原路返回，且往返过程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟?
【思路点拨】由图象可知，上坡时，路程是时间的正比例函数，根据函数图象经过点(6，900)，可以确定函数解析式；下坡时，路程是时间的一次函数，根据函数图象经过点(6，900)，(10，2100)，可以求出函数解析式.
【答案与解析】
解：(1)设，由已知图象经过点(6，900)，得900＝6．解得＝150．
所以＝150(0≤≤6)．
设，由已知图象经过点(6，900)，(10，2100)，
得解得
所以＝300－900(6 (2)李明返回时所用的时间为
(2100－900)÷(900÷6)＋900÷[(2100－900)÷(10－6)]＝8＋3＝11(分钟)．
因此，李明返回时所用的时间为11分钟．
【总结升华】从图象中获得点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．注意放学途中上坡路程和下坡路程分别是上学时下坡路程和上坡路程．
类型三、一次函数的性质
3、（2019?呼和浩特）已知一次函数y=kx+b﹣x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（　　）
A．k＞1，b＜0 B．k＞1，b＞0 C．k＞0，b＞0 D．k＞0，b＜0
【思路点拨】先将函数解析式整理为y=（k﹣1）x+b，再根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【答案】A；
【解析】解：一次函数y=kx+b﹣x即为y=（k﹣1）x+b，
∵函数值y随x的增大而增大，
∴k﹣1＞0，解得k＞1；
∵图象与x轴的正半轴相交，
∴图象与y轴的负半轴相交，
∴b＜0．
故选：A．
【总结升华】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
举一反三：
【变式1】直线：与直线：在同一坐标系中的大致位置是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C；
提示：对于A，从看 ＜0，＜0，从看＜0，＞0，所以，的取值自相矛盾，排除掉A.对于B，从看＞0，＜0，从看＞0，＞0，所以，的取值自相矛盾，排除掉B. D答案同样是矛盾的，只有C答案才符合要求.
【变式2】（2018?杭州模拟）已知直线y1=x，，的图象如图，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值为　 　．
【答案】2.
解：根据题意，y的最大值为直线y2与y3的交点的纵坐标，
联立，
解得，
所以，当x=3时，y的值最大，为2．
故答案为：2．
类型四、一次函数综合
4、已知一次函数的图象过点，与轴交于点，与轴交于点，且，求点的坐标．
【答案与解析】
解：由题意得，，则
.
一次函数的图象过点，
.
当时，，； 当时，，.
综上所述，点A的坐标为或.
【总结升华】我们可以把点A、B的坐标用、表示出来，根据OA＝3OB可以建立一个关于、的方程，再根据它的图象过P，可以再找到一个关于、的方程，两个方程联立，即可求出、的值，就可以求出点A的坐标.
【巩固练习】
一.选择题
1. 如果一次函数当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是，那么此函数的解析式是（ ）．
A． B．
C．或 D．或
2. （2018?诏安县校级模拟）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=kx﹣k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2019?江西校级模拟）设0＜k＜2，关于x的一次函数y=kx+2（1-x），当1≤x≤2时的最大值是（ ）
A．2-2 B．-1
C． D．+1
4．下列说法正确的是（ ）
A．直线必经过点（－1，0）
B．若点（，）和（，）在直线（＜0）上，且＞，那么＞
C．若直线经过点A（，－1），B（1，），当＜－1时，该直线不经过第二象限
D．若一次函数的图象与轴交点纵坐标是3，则＝±1
5．如图所示，直线：和：在同一坐标系中的图象大致是（ ）
6. 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形．设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与的大致图象应为（ ）
二.填空题
7．若函数为正比例函数，则的值为________；若此函数为一次函数，则的值为________．
8. 已知一次函数与的图像交于轴上原点外的一点，则＝______.
9. 直线，它的解析式中为整数，又知它不经过第二象限，则此时 ＝ 　　　　　　　 .
10.（2019?荆州）若点M（k﹣1，k+1）关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y=（k﹣1）x+k的图象不经过第　 　 象限．
11.已知直线与轴、轴分别交于A、B两点，点P（，－1）为坐标系内一动点，若△ABP面积为1，则的值为____________________________.
12.（2018秋?深圳校级期中）已知直线y=kx+b经过点（5，0），且与坐标轴所围成的三角形的面积为20，则该直线的表达式为　 　．
三.解答题
13.在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4, 0）．
（1）求直线的解析式；
（2）设直线与轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足 , 求P的坐标．
14. （2018春?咸丰县期末）已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=5，0为坐标原点，设△OPA的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）求x的取值范围；
（3）当S=4时，求P点的坐标．
15. 如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P沿边按A—B－C—D的方向运动到点D（但不与A、D两点重合）．求△APD的面积（）与点P所行的路程（）之间的函数关系式．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】分两种情况求解＝－1时，＝－2, ＝3时，＝6；或者＝－1时，＝6, ＝3时，＝－2.
2. 【答案】A；
【解析】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
则一次函数y=kx﹣k的图象大致是：，
故选A.
3. 【答案】C；
【解析】
4. 【答案】A；
【解析】C 选项，，解得，因为＜－1，所以＜0，所以图象必过第二象限.
5. 【答案】C；
【解析】A选项对于，＞0，＞0，对于，＞0，＜0，矛盾；B选项对于，＞0，＞0，对于，＜0，＜0，矛盾；D选项对于，＞0，＞0，对于，＜0，＞0，矛盾.
6. 【答案】A；
【解析】随着时间的推移，大正方形内除去小正方形部分的面积由4变到3，保持一段时间不变，再由3变到4，所以选A答案.
二.填空题
7. 【答案】，；
【解析】要使原函数为正比例函数，则解得．要使原函数为一次函数，则，解得．
8. 【答案】；
【解析】轴上的点＝0，，所以.
9. 【答案】－2、－3、－4 ；
【解析】这里只说直线，并没有指定是一次函数，结合当前所学，不过第二象限的直线应该有三种可能， 一次函数图象，正比例函数图象，常值函数图象.
10.【答案】 一；
【解析】解：∵点M（k﹣1，k+1）关于y轴的对称点在第四象限内，∴点M（k﹣1，k+1）位于第三象限，∴k﹣1＜0且k+1＜0，解得：k＜﹣1，∴y=（k﹣1）x+k经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故答案为：一．
11.【答案】1或3；
【解析】A(4，0)，B(0，－2)，AB直线与＝－1的交点为（2，－1），＝1或＝3.
12.【答案】y=﹣x+8或y=x﹣8；
【解析】解：∵直线y=kx+b与x轴交于（﹣，0）与y轴交于（0，b），经过（5，0），
∴﹣=5，
∵与坐标轴所围成的三角形的面积为20，
∴×5×|b|=20，
解得：b=±8，
∴直线的表达式为y=﹣x+8或y=x﹣8，
故答案为y=﹣x+8或y=x﹣8．
三.解答题
13.【解析】
解：（1）由题意得，直线的解析式为.
∵经过点A（－4, 0）
∴直线的解析式为.
（2）∵

当点P在轴上时，
或；
当点P在轴上时，
或；
综上所述，点P的坐标为，，或.
14.【解析】
解：（1）如图所示，
∵x+y=5，
∴y=5﹣x，
∴S=×4×（5﹣x）=10﹣2x；
（2）∵点P（x，y）在第一象限，且x+y=5，
∴0＜x＜5；
（3）∵由（1）知，S=10﹣2x，
∴10﹣2x=4，解得x=3，
∴y=2，
∴P（3，2）．
15.【解析】
解：当P点在AB边上时，此时（0＜≤3）
当P点在BC边上时，此时（3＜≤7）
当P点在DC边上时，此时（7＜＜10）.
所以