北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第17讲 一次函数的应用(提高)（含答案）

一次函数的应用（提高）
【学习目标】
1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；
2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；
3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；
4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力．
【要点梳理】
要点一、数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
要点二、正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
要点三、选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
【典型例题】
类型一、简单的实际问题
1、在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.下列说法正确的有（ ）：
①起跑后1小时内，甲在乙的前面；
②第1小时两人都跑了10千米；
③甲比乙先到达终点；
④两人都跑了20千米.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个
【答案】C；
【解析】①②④正确.在起跑1小时以内，甲的图象始终在乙的图象的上方，故甲在乙的前面；第一小时，两人所跑的路程均为10千米；乙比甲先到达终点；乙的速度是10千米/时，2小时跑了20千米，甲也跑了同样的路程.
【总结升华】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息，再分析这四个结论．
举一反三：
【变式】如图OB、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中和分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①甲让乙先跑12米；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③8秒钟内，乙在甲前面；④8秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是（　　）
A．①② B．①②③④ C．②③ D．①③④
【答案】B；
提示：①由图形，＝0时，甲在乙前边12米，即甲让乙先跑12米，故①正确；②当＝8秒时，甲追上了乙，所以甲的速度比乙快12÷8＝1.5米/秒，故②正确；③8秒钟内，AB在OB的上面，即可知乙在甲前面，故③正确；④8秒钟后，AB在OB的下面，即可知甲超过了乙，故④正确．故选择B．
类型二、方案选择问题
2、某办公用品销售商店推出两种优惠方案：①购一个书包，赠送一支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠，书包每个定价20元，水性笔每支定价5元，小丽和同学需买4个书包，水性笔若干(不少于4支)．
(1)分别写出两种优惠方法购买费用(元)与所买水性笔支数(支)之间和函数关系式；
(2)对的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
(3)小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．
【答案与解析】
解：(1)根据题意可得：
方案①购买费用与购买水性笔支数之间的函数关系式：
＝4×20＋5(－4)＝5＋60(≥4)；
方案②购买费用与购买水性笔支数之间的函数关系式；
＝4×20×0.9＋5×0.9＝4.5＋72(≥4)．
(2)在同一坐标系内分别画出与的图象，如图所示，由图象可知：

＝24时，两个函数的函数值相等；
＞24时，对同一个，上的点都在上的点的上边即＞；
4≤＜24时，对同一个，上的点都在上的点的上边即＜．
可得优惠方案：当购买24支水性笔时，方案①与方案②同样优惠；当购买水性笔不少于4支但没超过24支时，方案①收费少，选方案①；当购买水性笔超过24支时，方案②收费少，选方案②.
(3)小丽购买4个书包，12支水性笔时，12＜24，应在方案①中，费用＝5×12＋60＝120（元）．
但题中有一个条件不可忽视，方案①购买4个书包赠4个水性笔，而方案②中一律9折，这让人不得不想到还可这样购买．两种优惠全用，在方案①中买4个书包这样得4支笔，总共买12支笔还差8支，去方案②中打9折购买，算一算总费用＝4×20＋5×0.9×8＝80＋36＝116（元）；而116＜120．
故小丽这样买最经济：按方案①买4个书包得4支水性笔．按方案②买余下的8支水性笔．
【总结升华】（2）对的取值情况进行分析选择优惠方案就是利用图象找取何值时，值相等的这个临界点，然后再根据图象谁在上面，在上面的图象花费大，在下面的图象花费小．
举一反三：
【变式】（2019?六盘水）联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟．
（1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式．
（2）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？
（3）什么情况下A套餐更省钱？
【答案】
解：（1）A套餐的收费方式：y1=0.1x+15；
B套餐的收费方式：y2=0.15x；
（2）由0.1x+15=0.15x，得到x=300，
答：当月通话时间是300分钟时，A、B两种套餐收费一样；
（3）当月通话时间多于300分钟时，A套餐更省钱．
3、（2019?内江）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．
【思路点拨】（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据“商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”，列出方程，即可解答；
（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根据题意得：，得到，根据x为正整数，所以x=34，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有7种，利用一次函数的性质，确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）当电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元时，则利润y=（k﹣50）x+15000，分两种情况讨论：当k﹣50＞0；当k﹣50＜0；利用一次函数的性质，即可解答．
【答案与解析】
解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，
根据题意得：，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解，
x+400=1600+400=2000，
答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．
（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，
则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，
根据题意得：，
解得：，
∵x为正整数，
∴x=34，35，36，37，38，39，40，
∴合理的方案共有7种，
即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台；
∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元），
答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．
（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，
则利润y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，
当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；
当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；
答：当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；
当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．
【总结升华】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一次函数的解析式的性质的运用，解答时根据总利润═冰箱的利润+空调的利润建立解析式是关键．
4、某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米．已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案．
方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；
方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和．
(1)若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置?
(2)若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置?
【思路点拨】（1）设取奶站建在距A楼米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为米，求出各函数在自变量下的最小值，（2）设取奶站建在距A楼米处，列出等量关系式，解得．
【答案与解析】
解：(1)设取奶站建在距A楼米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为米．
①当0≤≤40时，
＝20＋70(40－)＋60(100－)＝－1l0＋8800．
∴当＝40时，的最小值为4 400．
②当40＜≤100时，
＝20＋70(－40)＋60(100－)＝30＋3200．
此时，的值大于4400．
因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处．
(2)设取奶站建在距A楼米处．
①当0≤≤40时，20＋60(100－)＝70(40－)，
解得（舍去）．
②当40＜≤100时，20＋60(100－)＝70(－40)，
解得＝80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80米处．
【总结升华】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数随的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
【巩固练习】
一.选择题
1. 某中学组织初一初二学生举行“四城同创”宣传活动，从学校坐车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（　　）
A．45.2分钟 B．48分钟 C．46分钟 D．33分钟
2. 小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额元后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费．若累计购物元，当＞时，在甲商场需付钱数＝0.9＋10，当＞50时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①＝0.95＋2.5；②＝100；③当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；④当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些．其中正确的说法是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
3. 绍兴黄酒是中国名酒之一．某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再将瓶装黄酒装箱出车间，该车间有灌装，装箱生产线共26条，每条灌装，装箱生产线的生产流量分别如图1，2所示．某日8：00～11：00，车间内的生产线全部投入生产，图3表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量变化情况，则灌装生产线的条数是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
4. 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的身高是指距的一次函数．下表是测得的指距与身高的一组数据：
指距（）
20
21
22
23
身高（）
160
169
178
187
根据上表解决下面这个实际问题：姚明的身高是226厘米，他的指距为（　　）
A．26.8厘米 B．26.9厘米 C．27.5厘米 D．27.3厘米
5.（2019?沂源县校级模拟）如图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）食堂离小明家0.4km；
（2）小明从食堂到图书馆用了3min；
（3）图书馆在小明家和食堂之间；
（4）小明从图书馆回家的平均速度是0.04km/min．
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6. 6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费（元）的最小值和最大值分别是（　　）
A．8000，13200 B．9000，10000
C．10000，13200 D．13200，15400
二.填空题
7. 利民商店中有3种糖果，单价及重量如下表，若商店将以上糖果配成什锦糖，则这种什锦糖果的单价是每千克________元.
品种
水果糖
花生糖
软??糖
单价（元/千克）
10
12
16
重量（千克）
3
3
4
8. 某公园门票价格如下表，有27名中学生游公园，则最少应付费______元. （游客只能在公园售票处购票）
购票张数
1～29张
30～60张
60张以上
每张票的价格
10元
8元
6元
9.有一个附有进水管和出水管的容器，在单位时间内的进水量和出水量分别一定．设从某时刻开始的5分钟内只进水不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到容器内水量y（升）与时间（分）之间的函数图象如图．若20分钟后只放水不进水，这时（≥20时）与之间的函数关系式是_________.
10.如图，某公用电话亭打电话时，需付电话费（元）与通话时间（min）之间的函数关系式用图象表示为直线，小文打了2分钟，需付费__________元. 小文打了8分钟付费______元.

11. 甲、乙两个粮库分别存粮600吨、1400吨，A、B两市分别用粮1200吨、800吨，需从甲、乙两粮库调运，由甲库到A、B两市的运费分别为6元/吨、5元/吨；由乙库到A、B两市的运费分别是9元/吨、6元/吨，则总运费最少需______元.
12.（2019春?垫江县期末）在一次越野赛跑中，当小明跑了1600m时，小刚跑了1450m，此后两人分别调整速度，并以各自新的速度匀速跑，又过100s时小刚追上小明，200s时小刚到达终点，300s时小明到达终点．他们赛跑使用时间t（s）及所跑距离如图s（m），这次越野赛的赛跑全程为　 　m.
三.解答题
13.（2019?温州校级自主招生）小亮早晨从家里出发匀速步行去上学，小亮的妈妈在小亮出发后10分钟，发现小亮的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小亮上学的路线追赶小亮，结果与小亮同时到达学校．已知小亮在整个上学途中，他出发后t分钟时，他所在的位置与家的距离为s千米，且s与t之间的函数关系的图象如图中的折线段OA﹣AB所示．
（1）试求折线段OA﹣AB所对应的函数关系式；
（2）请解释图中线段AB的实际意义；
（3）请在所给的图中画出小亮的妈妈在追赶小亮的过程中，她所在位置与家的距离S（千米）与小亮出发后的时间t（分钟）之间函数关系的图象．（友情提醒：请对画出的图象用数据作适当的标注）
14. 2011年6月5日是第39个世界环境日，世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”．为了响应节能减排的号召，某品牌汽车4S店准备购进A型（电动汽车）和B型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求．市场营销人员经过市场调查得到如下信息：
成本价（万元/辆）
售价（万元/辆）
A型
30
32
B型
42
45
（1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？
（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进 车方案才能使获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30 万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由．
15.某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：
类别
冰箱
彩电
进价（元/台）
2320
1900
售价（元/台）
2420
1980
（1）按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？
（2）为满足农民需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的. 若使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？最大获利是多少？
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】由上图可知，上坡的路程为3600米，速度为200米/分钟；下坡时的路程为6000米，速度为6000÷（46－18－8×2）＝500米/分钟；由于返回时上下坡互换，变为上坡路程为6000米，所以所用时间为30分钟；停8分钟；下坡路程为3600米，所用时间是7.2分钟；故总时间为30＋8＋7.2＝45.2分钟．故选A．
2. 【答案】C；
【解析】①、＝0.95＋2.5，正确；②、根据题意＝＋（－）×90%＝0.9＋0.1＝0.9＋10，所以＝100；③、当累计购物大于50时上没封顶，选择乙商场一定优惠显然不对；④、当＜时，即0.9＋10＜0.95＋2.5，解之得＞150．所以当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些．故选C．
3. 【答案】C；
【解析】从图象1、2可以知道灌装和装箱的速度，从图3可知从8：00至11：00灌装比装箱多300瓶．设灌装生产线有条，装箱生产线有（26－）条，根据题意：650－750（26－）＝（700－400）÷（11－8），解得＝14．
4. 【答案】D；
【解析】一次函数的解析式是：＝9－20，当＝226时，9－20＝226，＝27.3．
5. 【答案】B；
【解析】解：由纵坐标看出：家到食堂的距离是0.6km，故①错误；
由横坐标看出：小明从食堂到图书馆用了28﹣25=3（min），故②正确；
∵家到食堂的距离是0.6km，家到图书馆的距离是0.4km，0.6cm＞0.4cm，
∴图书馆在小明家和食堂之间，
故③正确；
小明从图书馆回家所用的时间为：68﹣58=10（min），
∴小明从图书馆回家的平均速度是：0.4÷10=0.04（km/min），
故④正确；
正确的有3个，
故选：B．
6. 【答案】C；
【解析】由题意可知A、B、C三市派往D市的运输车的辆数分别是、、（18－2）辆，派往E市的运输车的辆数为10－，10－，2－10，则总运费＝200＋300＋400（18－2）＋800（10－）＋700（10－）＋500（2－10）＝－800＋17200．因为2－10≥0，18－2≥0，解得：5≤≤9，当＝5时，＝13200元，当＝9时，＝10000元．
二.填空题
7. 【答案】13；
【解析】3种糖果的总价＝10×3＋12×3＋16×4＝130，总重量＝3＋3＋4＝10，所以单价为13．
8. 【答案】240；
【解析】27人买27张的话需付27×10＝270元，但买30张的话，付240元即可，所以最少应付费240元．
9. 【答案】＝－3＋95；（20≤≤）
【解析】5分钟内容器内水量（升）与时间（分）之间的函数解析式为＝4 （0≤≤5）；进水管每分钟进4L水；5到20分钟之间容器内水量（升）与时间（分）之间的函数解析式为＝＋15 （5≤≤20）；出水管每分钟出水3L，20分钟后，＝35－3(－20)＝－3＋95.当＝分钟时，水刚好放完.
10.【答案】0.7；2.2；
【解析】通话时间小于3分钟时，需付0.7元，故小文打了2分钟，需付费0.7元. 通话时间大于3分钟时，函数关系式为：＝0.3－0.2 ，当＝8时，＝0.3×8－0.2＝2.4－0.2＝2.2元.
11.【答案】13800；
【解析】设由甲库调运吨粮食到B市，总运费为，则＝5＋6（600－）＋6（800－）＋9（600＋）＝13800＋2 （0≤≤600）当＝0时，最小.
12.【答案】2050；
【解析】解：设小明、小刚新的速度分别是xm/s、ym/s，
由题意得，
由①得，y=x+1.5③，
由②得，4y﹣3=6x④，
③代入④得，4x+6﹣3=6x，
解得x=1.5，
故这次越野赛的赛跑全程=1600+300×1.5=1600+450=2050m．
故答案为：2050．
三.解答题
13.【解析】
解：（1）设线段OA所在直线的解析式为y=kx，
将x=12，y=1代入得：12k=1，解得：k=．
线段OA对应的函数关系式为：s=t（0≤t≤12）
线段AB对应的函数关系式为：s=1（12＜t≤20）．
（2）图中线段AB的实际意义是：小亮出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟．
（3）小亮的妈妈在追赶小亮的过程中，她所在位置与家的距离S（千米）与小亮出发后的时间t（分钟）之间函数关系的图象如图中折线段CD﹣DB所示．
根据题意可知：小亮从家到学校用时20分钟，妈妈用时10分钟，故妈妈的速度是小亮的2倍，故此妈妈从C到D妈妈用时6分钟中，从D倒B用时4分钟．故此可画出函数图象．
14.【解析】
解：（1）设A型汽车购进辆，则B型汽车购进（16－）辆
根据题意得：，解得：6≤≤8．
∵为整数，∴取6、7、8.
∴有三种购进方案：
A型
6辆
7辆
8辆
B型
10辆
9辆
8辆
（2）设总利润为万元.
根据题意得：＝（32－30）＋（45－42）（16－）＝－＋48．
∵－1＜0，∴随的增大而减小，
∴当＝6时，有最大值，＝－6＋48＝42（万元）．
∴当购进A型车6辆，B型车10辆时，可获得最大利润，最大利润是42万元．
（3）设电动汽车行驶的里程为万公里．当32＋0.65＝45时，＝20＜30．
∴选购太阳能汽车比较合算．
15.【解析】
解：（1）（2420＋1980）×13%＝572，
（2）①设冰箱采购台，则彩电采购（40－）台，根据题意得
解不等式组得，
因为为整数，所以＝19、20、21，
方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台，
方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台，
方案三：冰箱购买21台，彩电购买19台，
设商场获得总利润为元，则
＝（2420－2320）＋(1980－1900)(40－)
＝20＋3200
∵20＞0，
∴随的增大而增大，
∴当 ＝21时， ＝ 20×21＋3200 ＝ 3620（元）.