高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.1.1数列（41张）

课件41张PPT。第二章 数列2.1　数列2.1.1　数列1.理解数列的概念,了解数列的几种分类.
2.理解数列通项公式的概念及意义.
3.了解数列与函数的关系.1.数列的有关概念
(1)数列的定义:按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做这个数列的项.
(2)数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,此数列可简记作{an},其中数列的第n项记作an,这里{an}是数列的简记符号,并不表示一个集合.归纳总结对于定义的理解,应注意以下几点:
(1)数列的项与项的序号是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,也就是相当于f(n),而项的序号是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于f(n)中的n.
(2)次序对于数列来讲是十分重要的,几个不同的数,由于它们的排列次序不同,构成的数列就不是同一个数列,显然数列与数集有本质的区别.
例如,2,3,4,5,6这5个数按不同的次序排列时,就会得到不同的数列,而{2,3,4,5,6}中的元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.
(3)数列a1,a2,…,an,不可以写成{a1,a2,…,an},但是可以简记为{an}.【做一做1】 将正整数的前5个数排列成四种形式:①1,2,3,4,5;②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4;④4,1,5,3,2.其中可以称为数列的序号是　　　　　.?
答案:①②③④2.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n 之间的关系可以用一个函数式an=f(n)来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
名师点拨1.数列可以用通项公式来描述,也可以用表格或图象来表示;
2.数列不一定都有通项公式,如果有,也不一定唯一.【做一做2】 下列解析式中不是数列1,-1,1,-1,…的通项公式的是(　　)
A.an=(-1)n
B.an=(-1)n+1
C.an=(-1)n-1 答案:A 3.数列与函数的关系
在数列{an}中,对于每一个正整数n,都有一个数an与之对应,因此,数列可以看作是一个定义域为正整数集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})的函数an=f(n),即当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….其图象是一群孤立的点.
名师点拨数列中,自变量的取值必须从小到大取正整数.
【做一做3】 数列{an}的通项公式an=f(n),作为函数,它的定义域是(　　)
A.正整数集N+
B.自然数集N
C.正整数集N+或N+的任一子集
D.正整数集N+或其有限子集{1,2,3,…,n}
答案:D4.数列的分类
(1)按项的个数分类(2)按项的变化趋势分类 【做一做4】 已知下列数列:
①2 000,2 005,2 010,2 015;其中,有穷数列是　　　　,无穷数列是　　　　.?
答案:①　②③④⑤一二三一、对数列通项公式的理解
剖析:(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集{1,2,…,n}为定义域的函数表达式.
(2)如果知道了数列的通项公式,那么依次用1,2,3,…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时,用数列的通项公式也可以判断某个数是不是数列中的项,如果是的话,是第几项.
(3)与所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.如 的不足近似值,精确到1,0.1,0.01,0.001,0.000 1,…,所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.414 2,…就没有通项公式.一二三(4)数列的通项公式在形式上不一定是唯一的,如数列:-1,1,-1,1,-
1,1,…,它可以写成an=(-1)n,也可以写成 还可以写成an=(-1)n+2(n=1,2,3,…)等,这些通项公式,形式上虽然不同,但都表示同一个数列.
(5)在给出数列的前几项,归纳其通项公式时,因为所给的项并不能完整体现数列的构成规律,所以其通项公式一般不唯一.一二三二、函数思想在数列中的应用
剖析:数列是一种特殊的函数,判断数列的单调性,求数列的最值、周期等都可以利用函数的思想来解决.
(1)数列是一种特殊的函数,其定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2,…,n}),值域是数列中的项的集合.
(2)数列的通项公式是项an与项数n的关系式.从函数的思想看,就是函数值an与自变量n的关系式.利用通项公式求数列中的项的问题,从函数的观点看就是已知函数解析式求函数值的问题.因此,用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单.
(3)数列中求数列最大(小)项的问题就是用函数的思想求函数的最值问题,可利用函数求最值的方法求数列中的最大(小)项问题,如图象法等,可使问题简单化.一二三(4)数列中求数列的单调性问题就是用函数的思想求数列的单调性问题,可利用函数单调性的定义求数列的单调性,使问题函数化.
总之,在函数中研究的函数性质在数列中都有可能用到,利用函数的思想解决数列有关问题可达到事半功倍的效果.一二三三、教材中的“思考与讨论”
是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列?如果存在,请写出一个这样的数列的通项公式.(提示:先定义一个在(0,+∞)内,且函数值都小于5的函数)题型一题型二题型三题型四题型五数列的概念
【例1】 下列哪些表示数列?哪些不表示数列?
(1){1,5,2,3,6,7};
(2)方程x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0的解;
(3)f(x)=x2-x+2的函数值f(-1),f(0),f(1),f(2);
(4)当x=1时,x,x+1,x-2,x2,2x的值;
(5)-3,-1,1,x,5,7,y,11.
分析:由数列的定义,抓住两点:(1)是不是一列数;(2)是否按照一定的顺序排列,即可判断出是否为数列.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1){1,5,2,3,6,7}表示的是一个数集,而不是数列;
(2)表示的是方程的解,虽然是数,却没有一定的顺序,不能叫数列;
(3)f(-1),f(0),f(1),f(2)是有顺序的一列数,是数列;
(4)当x=1时,x,x+1,x-2,x2,2x都是一些数,而且具有顺序,故是数列;
(5)当x,y表示数时为数列;当x,y中有一个不代表数时,便不是数列.
反思运用数列的定义判断一组元素是不是数列的一般步骤是:(1)判断这组元素是否都是数;(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】 下列说法正确的是(　　)
A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}
B.数列-1,0,1,2与数列2,1,0,-1是同一数列
C.数列中的各项必定是不同的
D.数列-1,3,6,-5的第三项是6
解析:由数列的定义可知A,B是不正确的.而C项中,数列中的各项是可以相同的.
答案:D题型一题型二题型四题型五题型三由数列的前几项写通项公式
【例2】 分别写出下列数列的一个通项公式:分析:从前几项中观察出项与序号之间的规律,用一个式子表达出来即可.题型一题型二题型四题型五题型三解:(1)因为数列的各项是负、正项交替出现的,所以用(-1)n来调节.数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分,整数部分是1,3,5,7,9,为奇数,分数的分子是1,2,3,4,5,正好是序号,分母是4,9,16,25,36,正好是平方数,这样我们可以归纳出数列的通项公式为题型一题型二题型四题型五题型三题型一题型二题型四题型五题型三反思1.根据数列的前几项,要写出它的一个通项公式,其关键在于观察、分析数列的前几项的特征,找到数列的一个构成规律.根据此规律便可写出一个相应的通项公式.
2.常见数列的通项公式如下:
(1)数列-1,1,-1,1,…的通项公式是an=(-1)n;
(2)数列1,2,3,4,…的通项公式是an=n;
(3)数列1,3,5,7,…的通项公式是an=2n-1;
(4)数列2,4,6,8,…的通项公式是an=2n;
(5)数列1,2,4,8,…的通项公式是an=2n-1;
(6)数列1,4,9,16,…的通项公式是an=n2;题型一题型二题型四题型五题型三【变式训练2】 先填空,再写出数列的一个通项公式: 题型一题型二题型三题型四题型五判断数列的增减性
【例3】 已知函数f(x)=x- .数列{an}满足f(an)=-2n,且an>0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)判断数列{an}的增减性.
分析:先根据已知条件解方程求an,然后利用作差或作商法判断数列{an}的增减性.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思数列{an}增减性的判定方法:
(1)作差比较法
①若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列;
②若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列;
③若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列.
(2)作商比较法题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】 已知数列{an}的通项公式为an= ,求证:数列{an}为递增数列.即an+1>an(n∈N+).
∴数列{an}是递增数列.题型一题型二题型三题型四题型五?题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思本题(1)可运用方程思想求解,(2)可运用函数思想求解,数列实质上是定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数,判断数列随n增大而变化的规律的方法与判断函数的单调性相同.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】 数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4(n∈N+),问:
(1)数列中有多少项为负数?
(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.
解:(1)由an为负数,得n2-5n+4<0,解得1∵n∈N+,
∴n=2,3.故数列中有两项为负数.又n∈N+,故当n=2或n=3时,an有最小值.
其最小值为22-5×2+4=-2.题型四题型五题型一题型二题型三易错辨析
易错点:忽视数列与函数的定义域区别而致误
【例5】 已知在数列{an}中,an=n2-kn(n∈N+),且{an}单调递增,则k的取值范围是(　　)
A.(-∞,2] B.(-∞,3)
C.(-∞,2) D.(-∞,3]
错解:因为an是关于n的二次函数,其定义域为正整数集,故若{an}递增,则必有 ≤1,故k≤2.故选A.题型四题型五题型一题型二题型三错因分析:函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别,即数列所对应的函数若单调则数列一定单调,反之若数列单调,其所对应的函数不一定单调,原因在于数列是一个定义域为正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数,故对数列单调性的判断一般要通过比较an+1与an的大小:若an+1>an,则数列为递增数列;若an+1正解:an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k.由于{an}单调递增,故应有an+1-an>0,即2n+1-k>0恒成立,所以k<2n+1,故只需k<3即可.故选B.
答案:B1 2 3 4 51在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,…中,x的值是(　　)
A.19 B.20
C.21 D.22
解析:观察数列可得规律:1+1=2,1+2=3,2+3=5,……,8+13=x=21,13+21=34,
∴x=21,故选C.
答案:C1 2 3 4 52已知数列{an}的通项公式是an=-n2+7n+9,则其第3项、第4项分别是(　　)
A.21,23 B.21,25
C.21,21 D.以上选项都不对
答案:C1 2 3 4 53以下四个数中,哪个数是数列{n(n+1)}中的一项(　　)
A.380 B.39
C.32 D.23
解析:an=n(n+1)是这个数列的通项公式.因为380=19×20=19×(19+1),所以380是该数列中的第19项,或者令n(n+1)=380,得n=19,是整数,符合题意.故选A.
答案:A1 2 3 4 5答案:9 1 2 3 4 55写出下列数列的一个通项公式: