高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.3.1等比数列（36张）

课件36张PPT。2.3　等比数列2.3.1　等比数列1.理解等比数列的定义,并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列.
2.掌握等比数列的通项公式及性质,能够用它解决有关等比数列的问题.
3.了解等比数列与指数函数的关系.1.等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.定义表达式为 .
知识拓展1.对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比,应防止把相邻两项的比的次序弄颠倒.
2.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”,同时注意如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起每一项与前一项的比都是同一个常数,此数列不是等比数列,这时可以说此数列从第2项起或第3项起是等比数列.
3.如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数,但却是不同的常数,那么此数列不是等比数列.【做一做1】 下列数列中,等比数列的个数是　　　　.?
①-1,-2,-4,-8;②1,- ,3,-3 ;③1,1,1,1;④a,a,a,a.
解析:若常数列的各项不为零,则它也是等比数列,所以③是等比数列;①是首项为-1,公比为2的等比数列;②是首项为1,公比为- 的等比数列;④中a的值没确定,当a=0时,这4个数不能构成等比数列.
答案:32.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则通项公式为an=a1qn-1.其中,a1,q均不为0.
名师点拨等比数列的通项公式an=a1qn-1的另外一种形式为an=am·qn-m.
【做一做2】已知在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则公比q为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.8
解析:由等比数列的通项公式,得a4=a1q3,即64=8×q3,所以q=2.
答案:A3.等比中项
如果三个数x,G,y组成等比数列,那么G叫做x与y的等比中项,即G2=xy;反过来,如果x,y同号,G= 或G=- 即G2=xy,那么G是x,y的等比中项.在等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项,即 = an-1an+1(n≥2).知识拓展1.x,G,y成等比数列等价于“G2=xy”(x,y均不为0),可以用它来判断或证明三个数成等比数列,要注意“x,G,y成等比数列”与“G= ”是不等价的,而应与“G=± ”等价.
2.当x,y同号时,x,y的等比中项有两个,异号时没有等比中项.
3.在任意两个非零实数x和y之间,可以插入n个数使之成为等比数列.但要注意:在实数范围内,当xy>0时,x,y之间可以插入任意个数;当xy<0时,在x和y之间只能插入偶数个数使之成为等比数列.【做一做3】 若2+ ,x,2- 成等比数列,则x的值是 (　　)
A.1 B.-1
C.±1 D.2∴x=±1. 答案:C 一二三四一、解读等比数列的主要性质
剖析:在等比数列问题的解答中,运用基本量转化是最基本的方法.但灵活运用等比数列性质,便可使求解的过程更简捷,所以解答问题时要优先考虑等比数列的性质.等比数列有以下性质:
(1)在等比数列{an}中,若m+n=p+q,则aman=apaq.
(2)若数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项之积.
(3)在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等比数列,公比为qk+1.
(4)当数列{an}是公比为q,且各项都为正数的等比数列时,数列{lg an}是公差为lg q的等差数列.
(5)在等比数列{an}中,当m,n,p(m,n,p∈N+)成等差数列时,am,an,ap成等比数列.一二三四(6)在等比数列{an}中,若公比为q,则数列{λan}仍是公比为q的等比数列;若{bn}是公比为q'的等比数列,则数列{an·bn}是公比为q·q'一二三四二、求数列通项公式的方法
剖析:1.如果已知数列为等差(或等比)数列,可直接根据等差(或等比)数列的通项公式,求得a1,d(或q),直接套用公式即可.
2.若已知数列的前n项和求通项时,通常用公式
用此公式时我们应当注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即a1和an(n≥2)合为一个表达式.
3.对于an+1=an+f(n)型或an+1=f(n)an型的数列,其中f(n)是等差数列或等比数列,可以根据递推公式,写出n取1到n时的所有的递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式.一二三四4.有些数列本身并不是等差数列或等比数列,但可以经过适当变形,构造出一个等差数列或等比数列,从而利用这个数列求其通项当然,求数列的通项还有很多其他的方法,在求通项时,我们应尽可能将已知数列转化成等差(或等比)数列,从而利用等差(或等比)数列的通项公式求其通项.一二三四三、教材中的“?”
1.为什么q≠0?等比数列中的项有可能等于0吗?
剖析:因为等比数列的公比是后项与前项的商,其商不能为0,除数也不可能为0,故q≠0,在等比数列中,各项都不会为0.
2.等差数列的通项公式是怎样推导出来的?怎样用类似的方法推导等比数列的通项公式?
剖析:等差数列的通项公式是利用累加的方法推出的;等比数列的通项公式的推导类似于等差数列,先采用归纳的方法猜想出通项公式,然后利用迭乘的方法证明得an=a1qn-1.一二三四3.你能通过公比q的不同取值,对等比数列进行分类吗?
剖析:当a1>0,q>1或a1<0,0当a1>0,01时,数列{an}为递减数列;
当q=1时,数列{an}为常数列;
当q<0时,数列{an}为摆动数列.一二三四四、教材中的“思考与讨论”
对于例3中的数列,你是否发现a5,a10,a15,a20恰好成等比数列?你能说出其中的道理吗?你能由此推导出一个一般性的结论吗?
剖析:在已知数列中,每隔k项取1项,保持原来顺序依次排列,所得数列还是一个等比数列.题型一题型二题型三题型四题型五等比数列定义的应用
【例1】 已知数列的通项公式为an=3×2n,试问:这个数列是否为等比数列?
分析:可用定义法、等比中项法证明.所以数列{an}是等比数列.
方法二:因为an+1=3×2n+1,an+2=3×2n+2,
an·an+2=3×2n×3×2n+2=9×22n+2= ,
所以数列{an}是等比数列.
反思已知某数列的通项公式,判定其是否为等比数列,可依据等比数列的定义证明.常用的判定等比数列的方法有:(1)定义法: =q(常数);(2)等比中项法: =anan+2(an≠0).题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】 下面四个数列:
(1)1,1,2,4,8,16,32,64;其中是等比数列的有　　　　　.? 解析:(1)不符合“同一”,故不是等比数列.
(2)不一定是等比数列,当{an}只有3项时,{an}是等比数列;当{an}的项数超过3项时,不一定符合“每一”.
(3)等比数列的定义用式子的形式表示出来就是:在数列{an}中,对任意n∈N+,有 =q,则{an}是等比数列.
答案:(3)题型一题型二题型四题型五题型三等比数列的通项公式的应用
【例2】 在等比数列{an}中,
(1)a4=2,a7=8,求an;
(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
分析:先将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组,求出a1和q,再表示其他量.题型一题型二题型四题型五题型三所以n=6.
方法二:因为a3+a6=q(a2+a5),所以q= .
又因为a1q+a1q4=18,所以a1=32.
由an=a1qn-1=1,得n=6.
反思a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可求出来,可以用常规解法,先求a1,q,再求an,也可以观察式子的整体特点,运用整体思想求a1和q.题型一题型二题型四题型五题型三【变式训练2】 已知a3=2,a2+a4= ,求an. 题型一题型二题型三题型四题型五等比数列性质的应用
【例3】若已知数列{an}为等比数列,若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式.
分析:本题主要考查等比数列的性质“若p+q=2n,则ap·aq= (p,q,n∈N+)”的应用.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思若三个数成等比数列,则可设为 ,a,aq,当然也可设为a,aq,aq2.若四个数成等比数列,则可设为a,aq,aq2,aq3,但不能设为 ,aq,aq3,因为这个数列的公比为q2,漏掉了公比为负值的情况.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】 在 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为　　　　　.?答案:216 题型一题型二题型三题型四题型五构造等比数列求通项公式
【例4】 (1)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,求通项公式an.
(2)在数列{an}中,a1=3,an+1= ,求通项公式an.
解:(1)由an+1=2an+1,可得an+1+1=2(an+1),所以数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列.
所以an+1=(a1+1)·2n-1=2n,
即an=2n-1.题型一题型二题型三题型四题型五(2)由a1=3,an+1= ,可得an>0,
所以lg an+1=2lg an.反思有些数列本身并不是等比数列,但是通过适当的变形,可以构造出等比数列.因此解决这类问题应该熟悉能构造成等比数列的形式以及对应方法.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】 已知数列{an},a1=2,an+1=2an+3.
(1)求证:数列{an+3}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
分析:根据题设条件先求出an+1+3的表达式再观察与an+3的关系证明.
(1)证明:由题设an+1=2an+3,得an+1+3=2an+6=2(an+3),∴数列{an+3}是以a1+3=5为首项,以2为公比的等比数列.
(2)解:由(1)知an+3=5·2n-1,
∴an=5·2n-1-3.题型四题型五题型一题型二题型三易错辨析
易错点1:忽视等比中项的符号而致误
【例5】 在等比数列{an}中,若a3a4a6a7=81,则a1a9的值为(　　)
A.3 B.9 C.±3 D.±9
错解:因为{an}为等比数列,
所以a3a7=a4a6=a1a9.
所以(a1a9)2=81.
所以a1a9=±9.故选D.
错因分析:忽视了在等比数列中,奇数项(或偶数项)符号相同这一条件.题型四题型五题型一题型二题型三正解:因为a3a7=a4a6=a1a9,所以(a1a9)2=81.
所以a1a9=±9.
因为在等比数列{an}中,奇数项(或偶数项)的符号相同,
所以a1,a9同号,所以a1a9=9,
故选B.
答案:B题型四题型五题型一题型二题型三易错点2:忽视等比数列公比的符号而致误 题型四题型五题型一题型二题型三错因分析:从表面上看,这种解法正确无误,但认真审查整个解题过程,由于设这4个数为 ,aq,aq2,公比为q2,就等于规定了这个等比数列各项要么同为正,要么同为负,而题设中无此规定.1 2 3 4 51若a,b,c,d成等比数列,则下列三组数:①a+b,b+c,c+d;②ab,bc,cd;③a-b,b-c,c-d,必成等比数列的个数为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:当公比q不为1和-1时,①②③都是等比数列;当q=1时,③不是等比数列;当q=-1时,①不是等比数列.因此只有②必成等比数列.
答案:C1 2 3 4 52等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于(　　)
A.-24 B.0 C.12 D.24
解析:由题意,得(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或-1.当x=-1时,3x+3=0,不满足题意.当x=-3时,原数列是等比数列,前三项为-3,-6,-12,故第四项为-24.
答案:A1 2 3 4 53在等比数列{an}中,公比为q,若am=xan,则x等于 (　　)
A.q B.qn-m
C.qm-n D.1
解析:∵am=a1qm-1,an=a1qn-1,∴a1qm-1=xa1qn-1,
∴x=qm-n.
答案:C1 2 3 4 51 2 3 4 55在各项均为负的等比数列{an}中,2an=3an+1,且a2a5= .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)- 是否为该数列的项?若是,为第几项?