高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.3习题课——等比数列习题课（24张）

课件24张PPT。习题课——等比数列习题课1.了解分期付款的含义,理解复利的实质.
2.掌握有关分期付款的还贷问题.
3.掌握数列求和的常用方法——错位相减法.题型一题型二题型三题型四等比数列的基本运算
【例1】 (1)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比q=2,求项数n.
(2)已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.
分析:(1)可通过建立关于首项a1,项数n的方程求解.
(2)根据条件可设出其中的两个数,再通过一些条件表示出另两个数,然后求解.题型一题型二题型三题型四又q=2,可解得n=5.
(2)设前两个数分别为a,b,则第三、四个数分别为36-b,37-a,由题意,题型一题型二题型三题型四反思等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想,简化运算的过程.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 在等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.
解:∵a1an=a2an-1=128,且a1+an=66,
∴a1,an是方程x2-66x+128=0的两根,
∴x1=2,x2=64.题型一题型二题型四题型三错位相减法求和
【例2】 求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n项和.
分析:数列中含字母参数,应注意分类讨论,利用错位相减法.解:当a=0时,数列变为1,0,0,…,0,
则Sn=1+0+…+0=1,
当a=1时,数列变为1,3,5,7,…,(2n-1),
当a≠1且a≠0时,
Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,①
aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an,②题型一题型二题型四题型三反思对含参类求和问题要养成分类讨论的习惯. 由①-②,得
Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an,
即有(1-a)Sn
=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)题型一题型二题型四题型三【变式训练2】 已知数列{an}的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3.
(1)求an;
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
解:(1)当n>1时,an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1),
a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2),∵a2=4,即k(c2-c1)=4,解得k=2,
∴an=2(2n-2n-1)=2×2n-2n=2n.
当n=1时,a1=S1=2,
综上所述,an=2n(n∈N+).题型一题型二题型四题型三(2)nan=n·2n,
则Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,①
2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1,②
由①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,
Tn=2+(n-1)2n+1.题型一题型二题型三题型四转化为等比数列问题
【例3】 设数列{an}的前n项和Sn= ,n∈N+,求数列{an}的通项公式.
分析:解答本题可充分利用Sn与an的关系式,将问题转化为等比数列问题来求解.整理得an+2n=4(an-1+2n-1),
所以数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列.
所以an+2n=4×4n-1,所以an=4n-2n.题型一题型二题型三题型四反思1.将一个数列问题转化为等比(差)数列来求解,这是求解有关数列通项公式与前n项和公式的基本思想.
2.已知数列{an}的首项a1,且an+1=man+k(m,k为常数).
(1)当m≠1时,可得an+1-c=m(an-c),则有an+1-man=c(1-m),c= ,转化为等比数列求解.
(2)当m=1时,an+1-an=k,利用等差数列求解.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四等差与等比数列的综合问题
【例4】 等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.
(1)求an与bn;分析:(1)中根据已知条件列方程组求an,bn.(2)中应先求出Sn再求和.题型一题型二题型三题型四解:(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,则d>0,an=3+(n-1)d,bn=qn-1.题型一题型二题型三题型四反思等差数列与等比数列的综合问题,解答时应注意在题设条件下,寻求它们之间的内在联系,寻求它们之间的相互转化,寻求它们之间的相互利用.题型一题型二题型三题型四【变式训练4】 已知数列{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a3=-6,a6=0,解得a1=-10,d=2.
所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.1 2 3 4 51等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1的值为(　　)解析:设数列{an}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.答案:C 1 2 3 4 52已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为 ,则S5=(　　)
A.35 B.33 C.31 D.29答案:C 1 2 3 4 5答案:C 1 2 3 4 51 2 3 4 55设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N+.
(1)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{nan}的前n项和.因为a1≠0,所以a1=1.
令n=2,得2a2-1=S2=1+a2.
解得a2=2.
当n≥2时,由2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1两式相减得2an-2an-1=an.
即an=2an-1.
于是数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列.
因此,an=2n-1.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.1 2 3 4 5(2)由(1)知,nan=n·2n-1.
记数列{n·2n-1}的前n项和为Bn,于是
Bn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①
2Bn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②
由①-②,得
-Bn=1+2+22+…+2n-1-n·2n
=2n-1-n·2n.
从而Bn=1+(n-1)·2n.