高中数学新人教B版必修5课件：第三章不等式3.2均值不等式（34张）

课件34张PPT。3.2　均值不等式1.探索并理解均值不等式的证明过程,理解均值不等式成立的条件,等号成立的条件及几何意义.
2.会用均值不等式解决简单的问题.
3.掌握运用均值不等式 (a,b>0)求最值的常用方法及需注意的问题.1.重要不等式:对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
归纳总结1.重要不等式成立的条件是a,b∈R.它既可以是具体的数字,也可以是比较复杂的代数式,因此应用范围较广.
2.等号成立的条件是当且仅当a=b,即当a=b时,等号成立;反之,等号成立时有a=b.
【做一做1】 不等式a+1≥2 (a>0)中等号成立的条件是(　　)
A.a=2　　 B.a=1
C.a= D.a=0
答案:B2.(1)均值定理:如果a,b∈R+,那么 ,当且仅当a=b时,等号成立.这个不等式也叫基本不等式.做a,b的几何平均值,故均值定理用语言叙述是两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.【做一做2-1】 若x>0,则x+ 的最小值为　　　　.? 【做一做2-2】 已知若02.应用上述性质时,有时需先配凑成和或积为定值的情况,再应用.【做一做3】 已知x,y都是正数,
(1)若xy=15,则x+y的最小值是　　　　;?
(2)若x+y=15,则xy的最大值是　　　　.?一二一、使用均值不等式求最值的注意事项 一二一二因此在使用均值不等式求最值时,上面三个条件缺一不可,通常将这三个条件总结成口诀:一正、二定、三相等.一二二、教材中的“思考与讨论”
均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论.
剖析:(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥2 中,a,b>0.
(2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实质不同(范围不同).
(3)证明的方法都是作差比较法.
(4)都可以用来求最值.题型一题型二题型三题型四题型五利用均值不等式求最值 题型一题型二题型三题型四题型五反思1.求最值问题第一步就是“找”定值,观察、分析、构造定值是问题突破口.定值找到还要看“=”是否成立,不管题目是否要求指出等号成立的条件,都要验证“=”是否成立.
2.利用均值不等式求最值时,常用添项和拆项的方法,目的是使积(和)产生定值.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型四题型五题型三利用均值不等式比较大小 分析:这是一个有趣的不等式链,取特殊值可判断其大小关系.借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法.题型一题型二题型四题型五题型三反思均值不等式a+b≥2 (a,b>0)是综合证明不等式和利用重要不等式求最值的工具,要注意不等式成立的条件,它与两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数是等价命题.题型一题型二题型四题型五题型三【变式训练2】 若0C.2ab D.a+b解析:方法一(筛选法):∵0∴a+b>2 ,a2+b2>2ab.
∴四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.
而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).
又0∴a(a-1)<0,b(b-1)<0,
∴a2+b2-(a+b)<0,
即a2+b2∴a+b最大.题型一题型二题型四题型五题型三答案:D 题型一题型二题型三题型四题型五利用均值不等式证明不等式
【例3】 已知a,b,c都是正实数,且a+b+c=1,
求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
分析:注意到a+b+c=1,故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式.
证明:因为a+b+c=1,
所以(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b).
又a,b,c都是正实数,题型一题型二题型三题型四题型五反思这是一道条件不等式的证明题,充分利用条件是证题的关键,此题要注意“1”的整体代换及“=”取到的条件.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五利用均值不等式解参数范围问题
【例4】 已知不等式(x+y) ≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.分析:展开代数式(x+y) →使用均值不等式求展开式的最小值→由恒成立条件求得a的最小值题型一题型二题型三题型四题型五反思恒成立问题是数学问题中非常重要的问题,在此类问题的解法中,利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法,在高考中经常考查.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】 若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是　　　　　,a+b的取值范围是　　　　　.?题型一题型二题型三题型四题型五方法二:由已知,得a>0,b>0, ∴(a+b)2-4(a+b)-12≥0,
∴(a+b+2)(a+b-6)≥0.
∵a+b+2>0,
∴a+b-6≥0,
∴a+b≥6,
∴ab=a+b+3≥6+3=9.
答案:[9,+∞)　[6,+∞)题型四题型五题型一题型二题型三易错辨析
易错点1:忽视均值不等式对符号的要求而致误题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三易错点2:忽视不等式等号成立的条件而致误 错因分析:忽视了等号成立的条件,事实上方程 无解,所以等号不成立,正确的处理方法是:利用函数的单调性求最值.题型四题型五题型一题型二题型三1 2 3 4 51对于任意实数a,b,下列不等式一定成立的是(　　) 解析:均值不等式要考虑a,b的正负情况,如果a,b不能保证是正值,则选项A,B,D都不一定成立,只有选项C对任意实数恒成立.
答案:C1 2 3 4 52设x,y为正数,则(x+y) 的最小值为(　　)
A.6 B.9 C.12 D.15答案:B 1 2 3 4 53已知函数f(x)=4x+ (x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　　.?答案:36 1 2 3 4 54已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为　　　　.? 1 2 3 4 5