高中数学新人教B版必修5课件：第三章不等式3.4不等式的实际应用（24张）
文档属性
| 名称 | 高中数学新人教B版必修5课件：第三章不等式3.4不等式的实际应用（24张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 445.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-21 12:54:53 | ||
图片预览
文档简介
课件24张PPT。3.4 不等式的实际应用1.能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题,能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题(如比较大小,确定范围,求最值等).
2.了解如何建立数学模型,体会数学知识和客观实践之间的相互关系,培养良好的数学意识和情感态度.1.例题中的结论 2.利用不等式解决实际问题的步骤
(1)设未知数:用字母表示题中的未知量.
(2)列不等式(组):找出题中的不等关系,列出关于未知数的不等式(组).
(3)解不等式(组):运用不等式知识求解不等式,同时要注意未知数在实际问题中的取值范围.
(4)答:规范地写出答案.归纳总结在解决实际应用问题时,首先要学会正确地梳理数据,从而为寻找数据之间的关系奠定良好的基础,进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构,构建数学模型,再利用不等式求解,即解实际应用题的思路为:一二一、解应用题的流程
剖析:数学问题就是数学语言的理解问题,数学语言具有简洁、准确的特点,但同时也具有丰富的内涵,而数学应用题多使用自然语言进行叙述,所以,对文字的理解就显得非常重要,要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手:
(1)略读识大意.应用题实际上是一篇说明文,一般文字比较多,信息量比较大.这就需要快速浏览一遍,理解题目的大意:题目叙述的是什么事,是什么问题(比如不等式问题,是求最值还是要解不等式得出结论等).条件是什么,求解的是什么,涉及哪些基本概念,可以一边阅读一边写下主要内容,或者列表显示主要条件和要求的结论.
(2)细读抓关键.题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在,将其辨析出来是实现综合认知的出发点.因此,在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读,弄清具体含义及各量之间的关系.一二(3)精读巧转换.领会题意的关键是“内部转化”,即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容,把文字叙述转化为符号或图表,总之,大脑要有灵活的转化思维.一二二、常见的不等式实际应用类型
剖析:常见的不等式实际应用问题有以下几种:
(1)作差法解决实际问题
作差法的依据是a-b>0?a>b,其基本步骤是:
①理解题意,准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来.
②作差,分析差的符号.
③将作差后的结论转化为实际问题的结论.
(2)应用均值不等式解决实际问题一二②注意利用均值不等式必须有前提条件:“一正、二定、三相等”.为了创造利用均值不等式的条件,常用技巧有配凑因子、拆项或平方.
名师点拨在建立不等关系时,一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围,不可盲目使用.题型一题型二题型三一元二次不等式的实际应用
【例1】 某企业生产一种产品x(百件)的成本为(3x-3)万元,销售总收入为(2x2-5)万元,如果要保证该企业不亏本,那么至少生产该产品为 (百件).?
解析:要不亏本只需收入不小于成本,
即2x2-5-(3x-3)≥0,即2x2-3x-2≥0,
解得x≤- 或x≥2,而产品件数不能是负数,
所以x的最小值为2.
答案:2题型一题型二题型三反思利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤:
(1)理解题意,弄清量与量之间的关系;
(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为一元二次不等式问题;
(3)解这个一元二次不等式问题;
(4)给出实际问题的答案.题型一题型二题型三【变式训练1】 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件,问他将销售价每件定为多少元时,才能使得每天所赚的利润最大?销售价定为多少元时,才能保证每天所赚的利润在300元以上?
解:设每件提高x元(0≤x≤10),即每件获利润(2+x)元,则每天可销售(100-10x)件,每天获总利润为y元,由题意有y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200.
当x=4时,y取得最大值360.
即当售价定为14元时,每天所赚利润最大为360元.
要使每天所赚的利润在300元以上,则有-10x2+80x+200>300,题型一题型二题型三利用均值不等式解应用题
【例2】 某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?
分析:每年的保险费、汽油费等是一个定数,关键是每年的维修费逐年递增,构成一个等差数列,只需求出x年的总费用(包括购车费)除以x年,即为平均费用y.列出函数关系式,再求解.
解:设汽车使用的年数为x.
由于“年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列.题型一题型二题型三答:汽车使用10年时年平均费用最少.
反思应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是:(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)写出正确答案.题型一题型二题型三【变式训练2】 经观测,某公路段在某时段内的车流量y(单位:千辆/时)与汽车的平均速度v(单位:km/h)之间有函数关系:
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?最大车流量为多少?
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?
分析:(1)实质上是求y的最大值,分子分母同除以v后利用均值不等式.(2)只需解不等式y≥10即可.题型一题型二题型三化简得v2-89v+1 600≤0,
即(v-25)(v-64)≤0,所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25,64](km/h)范围内.题型一题型二题型三易错辨析
易错点:忽视给定参数的大小比较而导致错误
【例3】 甲、乙两地水路相距s km,一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地,水流速度为常量p km/h,船在静水中的最大速度为q km/h(q>p).已知船每小时的燃料费用(单位:元)与船在静水中的速度v(单位:km/h)的平方成正比,比例系数为k.
(1)把全程燃料费用y(单位:元)表示为船在静水中的速度v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程燃料费用最少,船的实际前进速度应是多少?题型一题型二题型三题型一题型二题型三错因分析:错解中船在静水中的速度v=2p km/h应不超过q km/h,事实上2p与q的大小关系并不明确,因此需分2p≤q和2p>q两种情况进行讨论.
正解:(1)同错解(1).
(2)解题过程同错解(2).
若2p≤q,则当v=2p时,y取最小值,这时船的实际前进速度为p km/h.当且仅当v=q时等号成立,即当v=q时,y取得最小值.此时船的实际前进速度为(q-p) km/h.1 2 3 4 51某居民小区收取冬季供暖费,根据规定,住户可以从以下两种方案中任选其一:(1)按照使用面积缴纳,每平方米24元;(2)按照建筑面积缴纳,每平方米18元.李明家的使用面积是60 m2.如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费不多于按第(1)种方案缴纳的供暖费,那么他家的建筑面积最多不超过( )
A.70 m2 B.80 m2
C.90 m2 D.100 m2
解析:根据使用面积应该缴纳的费用为60×24=1 440元,设建筑面积为x m2,则根据他所选择的方案,知18x-1 440≤0,所以x≤80,即建筑面积不超过80 m2.
答案:B1 2 3 4 52某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )处.
A.5 km B.4 km
C.3 km D.2 km答案:A 1 2 3 4 53某单位的甲、乙、丙三人出差去A城办事,在安排住宿时,他们有三套住宿方案可供选择:(1)三人同住一个套间;(2)二人住标准间(双人间)、一人住单间;(3)三人各住一个单间.若宾馆方面对每个套间、每个标准间及每个单间的标价分别为300元、160元和60元,同时对客户实行打折优惠,但这三类房间的打折率各不相同,分别为50%,65%和85%,则这三套住宿方案中最经济的为( )
A.第一套方案 B.第二套方案
C.第三套方案 D.这三套方案都一样1 2 3 4 5解析:若选择方案(1),则需支付y1=300×50%=150(元);若选择方案(2),则需支付y2=160×65%+60×85%=155(元);若选择方案(3),则需支付y3=60×85%×3=153(元).
∵y1∴这三套住宿方案中最经济的为第一套方案.
故选A.
答案:A1 2 3 4 54用两种金属材料做一个矩形框架,按要求长(较长的边)和宽应选用的金属材料价格每1 m分别为3元和5元,且长和宽必须是整数,现预算花费不超过100元,则做成矩形框架围成的最大面积是 .?
解析:设长为x m,宽为y m,则根据条件知6x+10y≤100,即3x+5y≤50,且x≥y,再根据x,y都是整数的条件求xy的最大值,大为40 m2.
答案:40 m21 2 3 4 55某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台,每批都购入x(x∈N+)台,且每批均需运费400元,贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比,若每批购入400台,则全年需用去运输和保管费用总计43 600元,现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用.请问:能否恰当安排每批进货的数量,使资金够用?求出结论,并说明理由.
2.了解如何建立数学模型,体会数学知识和客观实践之间的相互关系,培养良好的数学意识和情感态度.1.例题中的结论 2.利用不等式解决实际问题的步骤
(1)设未知数:用字母表示题中的未知量.
(2)列不等式(组):找出题中的不等关系,列出关于未知数的不等式(组).
(3)解不等式(组):运用不等式知识求解不等式,同时要注意未知数在实际问题中的取值范围.
(4)答:规范地写出答案.归纳总结在解决实际应用问题时,首先要学会正确地梳理数据,从而为寻找数据之间的关系奠定良好的基础,进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构,构建数学模型,再利用不等式求解,即解实际应用题的思路为:一二一、解应用题的流程
剖析:数学问题就是数学语言的理解问题,数学语言具有简洁、准确的特点,但同时也具有丰富的内涵,而数学应用题多使用自然语言进行叙述,所以,对文字的理解就显得非常重要,要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手:
(1)略读识大意.应用题实际上是一篇说明文,一般文字比较多,信息量比较大.这就需要快速浏览一遍,理解题目的大意:题目叙述的是什么事,是什么问题(比如不等式问题,是求最值还是要解不等式得出结论等).条件是什么,求解的是什么,涉及哪些基本概念,可以一边阅读一边写下主要内容,或者列表显示主要条件和要求的结论.
(2)细读抓关键.题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在,将其辨析出来是实现综合认知的出发点.因此,在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读,弄清具体含义及各量之间的关系.一二(3)精读巧转换.领会题意的关键是“内部转化”,即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容,把文字叙述转化为符号或图表,总之,大脑要有灵活的转化思维.一二二、常见的不等式实际应用类型
剖析:常见的不等式实际应用问题有以下几种:
(1)作差法解决实际问题
作差法的依据是a-b>0?a>b,其基本步骤是:
①理解题意,准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来.
②作差,分析差的符号.
③将作差后的结论转化为实际问题的结论.
(2)应用均值不等式解决实际问题一二②注意利用均值不等式必须有前提条件:“一正、二定、三相等”.为了创造利用均值不等式的条件,常用技巧有配凑因子、拆项或平方.
名师点拨在建立不等关系时,一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围,不可盲目使用.题型一题型二题型三一元二次不等式的实际应用
【例1】 某企业生产一种产品x(百件)的成本为(3x-3)万元,销售总收入为(2x2-5)万元,如果要保证该企业不亏本,那么至少生产该产品为 (百件).?
解析:要不亏本只需收入不小于成本,
即2x2-5-(3x-3)≥0,即2x2-3x-2≥0,
解得x≤- 或x≥2,而产品件数不能是负数,
所以x的最小值为2.
答案:2题型一题型二题型三反思利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤:
(1)理解题意,弄清量与量之间的关系;
(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为一元二次不等式问题;
(3)解这个一元二次不等式问题;
(4)给出实际问题的答案.题型一题型二题型三【变式训练1】 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件,问他将销售价每件定为多少元时,才能使得每天所赚的利润最大?销售价定为多少元时,才能保证每天所赚的利润在300元以上?
解:设每件提高x元(0≤x≤10),即每件获利润(2+x)元,则每天可销售(100-10x)件,每天获总利润为y元,由题意有y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200.
当x=4时,y取得最大值360.
即当售价定为14元时,每天所赚利润最大为360元.
要使每天所赚的利润在300元以上,则有-10x2+80x+200>300,题型一题型二题型三利用均值不等式解应用题
【例2】 某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?
分析:每年的保险费、汽油费等是一个定数,关键是每年的维修费逐年递增,构成一个等差数列,只需求出x年的总费用(包括购车费)除以x年,即为平均费用y.列出函数关系式,再求解.
解:设汽车使用的年数为x.
由于“年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列.题型一题型二题型三答:汽车使用10年时年平均费用最少.
反思应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是:(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)写出正确答案.题型一题型二题型三【变式训练2】 经观测,某公路段在某时段内的车流量y(单位:千辆/时)与汽车的平均速度v(单位:km/h)之间有函数关系:
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?最大车流量为多少?
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?
分析:(1)实质上是求y的最大值,分子分母同除以v后利用均值不等式.(2)只需解不等式y≥10即可.题型一题型二题型三化简得v2-89v+1 600≤0,
即(v-25)(v-64)≤0,所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25,64](km/h)范围内.题型一题型二题型三易错辨析
易错点:忽视给定参数的大小比较而导致错误
【例3】 甲、乙两地水路相距s km,一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地,水流速度为常量p km/h,船在静水中的最大速度为q km/h(q>p).已知船每小时的燃料费用(单位:元)与船在静水中的速度v(单位:km/h)的平方成正比,比例系数为k.
(1)把全程燃料费用y(单位:元)表示为船在静水中的速度v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程燃料费用最少,船的实际前进速度应是多少?题型一题型二题型三题型一题型二题型三错因分析:错解中船在静水中的速度v=2p km/h应不超过q km/h,事实上2p与q的大小关系并不明确,因此需分2p≤q和2p>q两种情况进行讨论.
正解:(1)同错解(1).
(2)解题过程同错解(2).
若2p≤q,则当v=2p时,y取最小值,这时船的实际前进速度为p km/h.当且仅当v=q时等号成立,即当v=q时,y取得最小值.此时船的实际前进速度为(q-p) km/h.1 2 3 4 51某居民小区收取冬季供暖费,根据规定,住户可以从以下两种方案中任选其一:(1)按照使用面积缴纳,每平方米24元;(2)按照建筑面积缴纳,每平方米18元.李明家的使用面积是60 m2.如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费不多于按第(1)种方案缴纳的供暖费,那么他家的建筑面积最多不超过( )
A.70 m2 B.80 m2
C.90 m2 D.100 m2
解析:根据使用面积应该缴纳的费用为60×24=1 440元,设建筑面积为x m2,则根据他所选择的方案,知18x-1 440≤0,所以x≤80,即建筑面积不超过80 m2.
答案:B1 2 3 4 52某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )处.
A.5 km B.4 km
C.3 km D.2 km答案:A 1 2 3 4 53某单位的甲、乙、丙三人出差去A城办事,在安排住宿时,他们有三套住宿方案可供选择:(1)三人同住一个套间;(2)二人住标准间(双人间)、一人住单间;(3)三人各住一个单间.若宾馆方面对每个套间、每个标准间及每个单间的标价分别为300元、160元和60元,同时对客户实行打折优惠,但这三类房间的打折率各不相同,分别为50%,65%和85%,则这三套住宿方案中最经济的为( )
A.第一套方案 B.第二套方案
C.第三套方案 D.这三套方案都一样1 2 3 4 5解析:若选择方案(1),则需支付y1=300×50%=150(元);若选择方案(2),则需支付y2=160×65%+60×85%=155(元);若选择方案(3),则需支付y3=60×85%×3=153(元).
∵y1
故选A.
答案:A1 2 3 4 54用两种金属材料做一个矩形框架,按要求长(较长的边)和宽应选用的金属材料价格每1 m分别为3元和5元,且长和宽必须是整数,现预算花费不超过100元,则做成矩形框架围成的最大面积是 .?
解析:设长为x m,宽为y m,则根据条件知6x+10y≤100,即3x+5y≤50,且x≥y,再根据x,y都是整数的条件求xy的最大值,大为40 m2.
答案:40 m21 2 3 4 55某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台,每批都购入x(x∈N+)台,且每批均需运费400元,贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比,若每批购入400台,则全年需用去运输和保管费用总计43 600元,现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用.请问:能否恰当安排每批进货的数量,使资金够用?求出结论,并说明理由.