高中数学新人教B版必修5课件：第一章解三角形1.1.2余弦定理（32张）

课件32张PPT。1.1.2　余弦定理1.理解用向量的工具推导余弦定理的过程.
2.掌握余弦定理及其常用几种变形,并学会运用余弦定理解三角形.
3.能够运用正弦定理、余弦定理、面积公式等知识和方法解决一些与测量及几何计算有关的三角形问题.1.余弦定理 归纳总结1.余弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律,是解三角形的重要工具.
2.余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
3.在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以知三求一.
4.运用余弦定理时,已知三边求角,或已知两边及夹角求另一边,由三角形全等的判定定理知,三角形是确定的,所以解也是唯一的.【做一做1】已知在△ABC中,AB=1,BC=2,∠B=60°,则AC的长为　　　　.?
解析:由余弦定理,得AC2=12+22-2×1×2×cos 60°=3,
则AC= .
答案:
【做一做2】已知在△ABC中,a2-c2+b2=ab,则∠C=　　　　.?
答案:60°2.余弦定理的应用
(1)利用余弦定理判断三角形的形状
由余弦定理知,当边c为最大边时,
若c2=a2+b2,则△ABC为直角三角形;
若c2若c2>a2+b2,则△ABC为钝角三角形.
(2)利用余弦定理可以解决有关斜三角形的问题
①已知三边,求三个角;
②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;
③已知三角形的两边和其中一边的对角解斜三角形时,也可用余弦定理,如已知a,b,∠A,可先用余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,求出c,此时c的个数即为三角形解的个数.?
名师点拨使用余弦定理求角时,一般在判断三条边的大小后,可先求最大角,也可先求最小角,若最大角小于60°或最小角大于60°,则可知三角形无解.一二一、三角形中的四类基本问题
剖析:解三角形的问题可以分为以下四类:
(1)已知三角形的两边和其中一边的对角,解三角形.
此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角,用三角形的内角和定理求出第三个角,再用正弦定理求出第三边,注意判断解的个数.
(2)已知三角形的两角和任一边,解三角形.
此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求第三边.若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.一二(3)已知两边和它们的夹角,解三角形.
此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边,再用正弦定理或余弦定理求另一角,最后用三角形内角和定理求第三个角.
(4)已知三角形的三边,解三角形.
此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角,再用正弦定理或余弦定理求出另一个角,最后用三角形内角和定理求出第三个角.一二二、教材中的“?”
在△ABC中,令 ,你能通过计算|a|2=a·a证明余弦定理吗?即a2=b2+c2-2bccos A.
同理可证b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.一二知识拓展除了用向量法和几何法来证明余弦定理外,我们还可以用坐标法或正弦定理来解决.(1)(坐标法)如图所示,以A为坐标原点,AC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则点A,B,C的坐标分别为A(0,0),B(ccos A,csin A),C(b,0),根据两点间的距离公式,得一二∴a2=c2cos2A-2bccos A+b2+c2sin2A,
即a2=b2+c2-2bccos A.
同理可得b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.
(2)(用正弦定理证明)∵a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,
∴b2+c2-2bccos A
=4R2(sin2B+sin2C-2sin Bsin Ccos A)
=4R2[sin2B+sin2C+2sin Bsin Ccos(B+C)]
=4R2(sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sin Bsin Ccos Bcos C)
=4R2[sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sin B·sin Ccos Bcos C]
=4R2(sin2Bcos2C+2sin Bsin Ccos Bcos C+sin2Ccos2B)
=4R2sin2(B+C)=4R2sin2A=a2.
同理可证b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.题型一题型二题型三题型四题型五用余弦定理解三角形
【例1】 在△ABC中:
(1)a=1,b=1,∠C=120°,求c;
(2)a∶b∶c=1∶ ∶2,求∠A,∠B,∠C.
分析:(1)直接利用余弦定理即可;
(2)可设三边为x, x,2x.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思利用余弦定理解三角形时,要熟练掌握余弦定理的结构特征,根据条件恰当选取公式.
对于第(2)小题,根据已知条件,设出三边长,由余弦定理求出∠A,进而求出其余两角.另外也可由边长关系,判断出∠C为直角,再求角.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】在△ABC中,a=3,b=4,c= ,求最大角.
解:显然∠C最大.∴∠C=120°. 题型一题型二题型四题型五题型三判断三角形的形状
【例2】 在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin A=2sin B·cos C,试确定△ABC的形状.
分析:利用余弦定理先求出∠A=60°,再根据三角变换公式求得∠B=∠C.
解:∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc,
∴a2=b2+c2-bc.
而a2=b2+c2-2bccos A,
∴2cos A=1.
∴cos A= .
∴∠A=60°.
又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos B sin C,sin A=2sin B·cos C,
∴sin Bcos C-cos Bsin C=0,题型一题型二题型四题型五题型三即sin(B-C)=0,
∴∠B=∠C.
又∠B+∠C=120°,
∴∠A=∠B=∠C=60°.
故△ABC为等边三角形.题型一题型二题型四题型五题型三反思1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某特殊的三角形(如直角三角形、等腰三角形、等边三角形等).
2.对于给出条件是边角关系混合在一起的问题,一般地,先应运用正弦定理和余弦定理,统一为边的关系或统一为角的关系.再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简,从而得出结论.
3.常见结论:设a,b,c分别是△ABC的∠A, ∠B, ∠C的对边,
(1)若a2+b2=c2,则∠C=90°;
(2)若a2+b2>c2,则∠C<90°;
(3)若a2+b290°;
(4)若sin 2A=sin 2B,则∠A=∠B或∠A+∠B=90°.题型一题型二题型四题型五题型三【变式训练2】 在△ABC中,如果 ,试判断△ABC的形状.∴a-b+c=b-a+c,
∴a=b,
即△ABC为等腰三角形.题型一题型二题型三题型四题型五与三角形面积有关的问题
【例3】 在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且
(1)求∠B的大小;
(2)若b= ,a+c=4,求△ABC的面积.
分析:先由余弦定理求出∠B,再结合条件列方程求出ac,利用面积公式求出△ABC的面积.题型一题型二题型三题型四题型五反思求三角形的面积,要充分挖掘题目中的条件,转化为求两边及夹角的正弦问题,要注意方程思想在解题中的应用.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】 △ABC的面积是30,内角∠A, ∠B, ∠C所对边长分别为a,b,c,cos A= .
(2)若c-b=1,求a的值.题型一题型二题型三题型四题型五正、余弦定理的综合应用
【例4】 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.
(1)若PB= ,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.
分析:(1)在△PBA中,利用余弦定理求得PA;(2)在△PBA中,利用正弦定理列出与∠PBA和∠APB有关的方程即可.题型一题型二题型三题型四题型五反思正、余弦定理在解三角形中的应用关键要明确已知的边和角及所要求的量,正弦定理在边角转化方面比较方便.余弦定理的使用要注意选择好“第三边”,这样才能列出有效的方程,再者要熟练掌握三角变换公式,这在解三角形中经常用到.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】 在△ABC中,已知BC=15,AB∶AC=7∶8,sin B= ,求BC边上的高AD的长.分析:由已知设AB=7x,AC=8x,又已知sin B,因此要求AD的长只需求出x,在△ABC中已知三边只需再有一个角,根据余弦定理便可求出x,而用正弦定理恰好可求出∠C.题型一题型二题型三题型四题型五解:在△ABC中,设AB=7x,AC=8x, ∴∠C=60°(∠C=120°不合题意,舍去).
由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C,
即(7x)2=(8x)2+152-2×8x×15cos 60°,
∴x2-8x+15=0,
∴x=3或x=5,
∴AB=21或AB=35.题型四题型五题型一题型二题型三易错辨析
易错点:忽视三角形三个内角的关系而致误
【例5】已知在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的取值范围是(　)错因分析:上述解法忽视了三角形三个内角的关系,即∠A+∠B+∠C=180°,cos A>0只能推出∠A为锐角,而不能推出△ABC一定为锐角三角形,因为∠A+∠B+∠C=180°,所以当△ABC为锐角三角形时,不仅cos A>0,还必须满足cos B>0,cos C>0.题型四题型五题型一题型二题型三答案:C 1 2 3 41已知在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为(　　) 答案:A 1 2 3 42在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,如果b+c=2 ,∠A=60°,△ABC的面积为 ,那么a为 (　　)答案:B 1 2 3 43已知在△ABC中,AB=5,BC= ,AC=4,则sin A=　　　　.? 1 2 3 44设△ABC的内角∠A, ∠B, ∠C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.
(1)求∠B;解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2-b2=-ac.所以∠B=120°.
(2)由(1)知∠A+∠C=60°,
所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C
=cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C=cos(A+C)+2sin Asin C所以∠A-∠C=30°或∠A-∠C=-30°,
所以∠C=15°或∠C=45°.