高中数学新人教B版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例（45张）

课件45张PPT。1.2　应用举例1.了解实际问题中所涉及的名词和一些术语.
2.会建立实际应用题的三角形模型,画出示意图.
3.能运用正弦定理或余弦定理解有关距离、高度及角度等实际问题.1.实际应用问题中的有关术语
(1)铅直平面:与水平面垂直的平面.
(2)仰角和俯角:在同一铅直平面内,目标视线与水平线的夹角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图①所示.
(3)方位角:从某点的指北方向线起,顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角.如图②所示.(3)方位角:从某点的指北方向线起,顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角.如图②所示.
(4)坡角与坡度:坡面与水平面的夹角叫坡角,坡面的铅直高度h与水平距离l的比叫做坡度(或坡比).
设坡角为α,坡度为i,则i= =tan α,如图③所示.?【做一做1】 已知两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等,灯塔A在观测站C的北偏东40°,灯塔B在观测站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(　　)
A.北偏东40° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°解析:如图所示,∠ECA=40°,∠FCB=60°,
∴∠ACB=180°-40°-60°=80°.
∵AC=BC,∴∠ABG=180°-∠CBH-∠CBA=180°-120°-50°=10°.故选B.
答案:B2.三角形中的有关公式和结论
(1)直角三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,则有:
①锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;
②三边之间的关系:a2+b2=c2;
③边角之间的关系:(锐角三角函数的定义)(2)斜三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠A,∠B,∠C为其内角,a,b,c分别表示∠A, ∠B, ∠C的对边,则有:
①角与角之间的关系:∠A+∠B+∠C=π;sin Acos B,sin B>cos C,sin C>cos A;
②边与边之间的关系:a+b>c,b+c>a,c+a>b,a-b③边角之间的关系:
余弦定理:c2=a2+b2-2abcos C ,b2=a2+c2-2accos B,a2=b2+c2-2bccos A;?(3)三角形中的角的变换及面积公式.
①角的变换.
因为在△ABC中,∠A+∠B+∠C=π,所以sin(A+B)=sin C;②面积公式的有关变换. 【做一做2-1】已知一树干被台风吹断,折断部分与残存树干成30°角,树干底部与树尖着地处相距10 m,则树干原来的高度是(　　)答案:A 答案:3 【做一做2-3】 在△ABC中,∠A=120°,AB=5,BC=7,则 的值为　　　　.?
解析:由余弦定理,得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A,
即72=52+AC2-2×5×ACcos 120°,
所以AC2+5AC-24=0.
解得AC=3,AC=-8(舍去).3.解应用题的一般思路
(1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系.
(2)根据题意画出示意图,把已知和要求的量尽量集中到有关三角形中,将实际问题抽象成解三角形模型.
(3)选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形的解还原为实际问题的解,注意实际问题中单位、近似计算的要求.这一思路描述如下:【做一做3-1】如图,为了测量隧道口AB的长度,给定下列四组数据,测量时应当用第　　　　组数据.?
①α,a,b;②α,β,a;
③a,b,γ;④α,β,b.
解析:根据实际情况α,β都是不易测量的数据,而③中的a,b,γ很容易测量,并且根据余弦定理能直接求出AB的长,故选③.
答案:③【做一做3-2】 在200 m的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为　　　 m.?解析:如图, 在Rt△CDB中,
CD=200 m,∠BCD=90°-60°=30°,实际问题中度量A,B两点的长度(高度)的方法
剖析:(1)求距离问题.
如图,当AB的长度不可直接测量时,求AB的距离.①当A,B两点之间不可达又不可视时,测出两边及其夹角,运用余弦定理求解,②当A,B两点之间可视但有一点不可达时,测出两角及其夹边,先用内角和定理求第三个角,再运用正弦定理求解.
∵∠A=π-(∠B+∠C),∴根据正弦定理,③当A,B两点都不可达时,先在△ADC和△BDC中分别求出AC, BC或AD,BD,再在△ABC或△ABD中运用余弦定理求解.名师点拨将所求距离或方向的问题转化为求一个三角形的边或角的问题时,我们选择的三角形往往条件不够,这时需要我们寻找其他的三角形作为解这个三角形的支持,为解这个三角形提供必要的条件.(2)求高度问题.
如图,当AB的高度不可直接测量时,求AB的高度,有如下情况.①当BC底部可达时,利用直角三角形的边角关系求解,则AB=atan C.
②当BD不可达时,名师点拨在测量某物体高度的问题中,很多被测量的物体是一个立体的图形,而在测量过程中,我们测量的角度也不一定在同一平面内,因此还需要我们有一定的空间想象能力,关键是画出图形,把已知量和未知量归结到三角形中来求解.题型一题型二题型三题型四题型五测量距离问题
【例1】如图,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距 km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.
分析:要求出A,B之间的距离,可在△ABC(或△ADB)中去找关系,但不管在哪个三角形中,AC,BC这些量都是未知的,需要在三角形中找出合适的关系式,求出它们的值,然后解斜三角形即可.题型一题型二题型三题型四题型五解:在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=75°+45°=120°,
所以∠CAD=30°.
所以AC=CD= km.
在△BDC中,∠CBD=180°-(45°+75°)=60°.题型一题型二题型三题型四题型五反思测量长度(距离)是解三角形应用题的一种基本题型.在解这类问题时,首先要分析题意,确定已知与所求,然后画好示意图,通过解三角形确定实际问题的解;测量两个不可达的点之间的距离问题,一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】 为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测算A,B两点的距离,测量人员在岸边定出线段BC,测得BC=50 m,∠ABC=105°,∠BCA=45°,则A,B两点间的距离为(　　)答案:A 题型一题型二题型四题型五题型三测量高度问题
【例2】如图所示,在地面上有一旗杆OP,为测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB=20 m,在A处测得P点的仰角∠OAP=30°,在B处测得P点的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,求旗杆的高度h.(精确到0.1 m)
分析:先在Rt△PAO和Rt△PBO中求出AO,BO,再在△AOB中由余弦定理求出h.题型一题型二题型四题型五题型三反思解三角形时,一定要选择合适的三角形,这样可以简化计算过程,还要注意立体几何图形中的边角关系,并选择好三角形的使用顺序.题型一题型二题型四题型五题型三【变式训练2】 在某一山顶观测山下两村庄A,B,测得A的俯角为30°,B的俯角为40°,观测A,B两村庄的视角为50°,已知A,B在同一海平面上且相距1 000 m,求山的高度.(精确到1 m,sin 40°≈0.643)解:设山顶为C,山高CD=x m,
由题意得∠CAD=30°,∠CBD=40°,∠ACB=50°.∴x=1 000·sin 40°≈643.
答:山高约为643 m.题型一题型二题型三题型四题型五测量角度问题
【例3】如图,甲船在A处,乙船在甲船的南偏东45°方向,距A处9海里的B处,并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶,若甲船以28海里/时的速度行驶,应沿什么方向,用多长时间能最快追上乙船?(精确到1°)
分析:假设甲船用t小时在C处追上乙船,则在△ABC中,AC,BC可用t来表示,进而利用余弦定理求得t,解此三角形即可.题型一题型二题型三题型四题型五解:假设甲船用t小时在C处追上乙船.
在△ABC中,AC=28t海里,BC=20t海里,∠ABC=180°-45°-15°=120°.
由余弦定理,得
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,题型一题型二题型三题型四题型五又∠ABC=120°,所以∠BAC为锐角,
所以∠BAC≈38°.所以45°-38°=7°.
所以甲船应沿南偏东7°方向用 小时可最快追上乙船.
反思航海问题常利用解三角形的知识解决,在具体解题时,应画出示意图,找出已知量及所求的量,转化为三角形的边角关系,利用正、余弦定理求解.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】 如图,某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击,发出求救信号,我海军护航舰在A处获悉后,立即测出该货船在北偏东45°,距离为10海里的C处,并测得货船正沿南偏东75°的方向,以10海里/时的速度向前行驶,我海军护航舰立即以10 海里/时的速度前去营救,求护航舰的航向和靠近货船所需的时间.解:设所需时间为t小时,
则AB=10 t海里,CB=10t海里.
由题意知,∠ACB=120°.
在△ABC中,根据余弦定理,
则有AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 120°,
可得(10 t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos 120°,
整理得2t2-t-1=0,题型一题型二题型三题型四题型五答:护航舰航行方向为北偏东75°,靠近货船所需的时间为1小时.题型一题型二题型三题型四题型五面积问题
【例4】 在半径为R的扇形OAB中,圆心角∠AOB=60°,在扇形内有一个内接矩形,求内接矩形的最大面积.
分析:扇形的内接矩形有且仅有两种类型:一种是矩形的一边与扇形的一条半径重合;另一种是以扇形的对称轴为对称轴的矩形.我们分别求出这两种类型的矩形的最大面积,再取两者中较大的,就是符合条件的最大面积.题型一题型二题型三题型四题型五解:如图①所示,设PQ=x,MP=y,则矩形的面积S=xy.
连接ON,令∠AON=θ,则y=Rsin θ.
在△OMN中,利用正弦定理,得如图②所示,设PN=x,MN=y,
则矩形的面积为S=xy,连接ON,令∠AON=θ.在△OPN中,利用正弦定理,题型一题型二题型三题型四题型五反思关于求面积最值问题,关键是将面积函数表达出来,根据已知条件利用正弦定理将与矩形面积有关的量求出,再转化为求三角函数最值问题,这是这一类问题常用的解题思路.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】 如图所示,半圆O的直径为2,A为直径延长线上一点,OA=2,B为半圆上任意一点,以AB为一边作等边三角形ABC.问点B在什么位置时,四边形OACB的面积最大?解:设∠AOB=α.
在△AOB中,由余弦定理,得AB2=12+22-2×1×2cos α=5-4cos α.
于是四边形OACB的面积为题型四题型五题型一题型二题型三易错辨析
易错点:用正、余弦定理解决实际问题出现增解而致误
【例5】 某观测站C在城A的南偏西20°的方向上,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处,测得公路上距C处31 km的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20 km后到达D处,此时C,D间的距离为21 km,这人还要走多远才能到达城A?题型四题型五题型一题型二题型三在△ACD中,由余弦定理,得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD,
即212=242+AD2-24AD,所以AD=15km或AD=9km,
所以这人还要走15 km或9 km才能到达城A.
错因分析:没有及时检验,题目中△ACD为锐角三角形,故应舍去AD=9的情况.题型四题型五题型一题型二题型三正解:设∠ACD=α,∠CDB=β,
在△CBD中,由余弦定理,得1 2 3 4 51已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与B的距离为(　　)答案:B 1 2 3 4 52已知轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25海里/时,15海里/时,则下午14时两船之间的距离是(　　)
A.50海里 B.70海里
C.90海里 D.110海里
解析:根据题意,可知A,B两轮船在下午14时分别到达距海港50海里和30海里的位置.由余弦定理,得AB2=502+302-2×50×30cos 120°=4 900.
故AB=70海里.
答案:B1 2 3 4 53已知某人向正东方向走了x km后向右转了150°,然后沿新方向走了3 km,结果离出发点恰好 km,那么 x=　　　　.?解析:方法一:如图所示,由题意,可知AB=x km,AC= km,BC=3 km,∠B=30°.
由余弦定理,知AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,即3=x2+9-2×3xcos 30°.1 2 3 4 5方法二:由正弦定理,得 ∵BC>AC,∴∠A>∠B.
∵∠B=30°,∴∠A=60°或∠A120°.1 2 3 4 54已知A,B是海平面上的两个点,相距800 m,在点A测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在点B测得∠ABD=45°,其中D是点C在海平面上的射影,则山高CD为　　　　.?
解析:如图, ∵CD⊥AD,∠CAD=45°,
∴CD=AD.
因此,只需在△ABD中求出AD即可.
在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,1 2 3 4 55为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如图所示).飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案:包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.1 2 3 4 5解:方案1:①需要测量的数据有:在点A观测点M,N的俯角α1,β1;在点B观测点M,N的俯角α2,β2;A,B两点间的距离d(如图所示).1 2 3 4 5方案2:①需要测量的数据有:
在点A观测点M,N的俯角α1,β1;在点B观测点M,N的俯角α2,β2;A,B两点间的距离d(如图所示).