高中数学新人教B版必修5课件：第一章解三角形本章整合（34张）
文档属性
| 名称 | 高中数学新人教B版必修5课件：第一章解三角形本章整合（34张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-21 12:58:00 | ||
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文档简介
课件34张PPT。本章整合专题一专题二专题三专题四专题五判断三角形的形状特征,不仅要深入研究三角形边与边的大小关系,还要研究角与角的大小关系.解决这类问题的常用方法是:将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断.通常利用正弦定理的变形如a=2R·sin A将边化为角的正弦,利用余弦定理的推论如cos 然后利用三角形的有关知识,三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简,从而得出结论.专题一专题二专题三专题四专题五应用1 在△ABC中, 若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则该三角形是 三角形.?
提示:考虑到已知条件是三个角正弦的比值,可用正弦定理得出三边的关系,再利用余弦定理判断最大角的大小即可.
解析:因为sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,根据正弦定理,得a∶b∶c =2∶3∶4.
设a=2m,b=3m,c=4m(m>0),
因为c>b>a,所以∠C>∠B>∠A.所以∠C是钝角.所以△ABC是钝角三角形.
答案:钝角专题一专题二专题三专题四专题五应用2 在△ABC中,若∠B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.
提示:已知条件中等式只有边,故结合其特点,可选择利用正弦定理化边为角,再结合三角函数关系化简求解;本题也可利用∠B=60°这一条件,用余弦定理找出边之间的关系来判断.
解:方法一:由正弦定理,得2sin B=sin A+sin C.
因为∠B=60°,所以∠A+∠C=120°.
所以∠A=120°-∠C,代入上式,得
2sin 60°=sin(120°-∠C)+sin C,所以sin(∠C+30°)=1.所以∠C+30°=90°.
所以∠C=60°.所以∠A=60°.
故△ABC为等边三角形.专题一专题二专题三专题四专题五方法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B. 整理,得(a-c)2=0,
所以a=c.从而a=b=c.
所以△ABC为等边三角形.专题一专题二专题三专题四专题五专题二 解三角形
在解三角形时,常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用,要注意恰当地选取定理,简化运算过程,提高解题速度,同时,要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来,挖掘题目中的隐含条件.解题时,要综合、灵活地运用两个定理,认真分析已知条件,选择需要先(后)解的三角形和相关定理,并结合三角形的有关性质,如大边对大角,内角和定理等.注意数形结合,正确地求解三角形,防止出现漏解或增解的情况.专题一专题二专题三专题四专题五应用 在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,∠B=45°,(1)求边长a;
(2)设AB中点为D,求中线CD的长.
提示:(1)由cos C求sin C,再利用两角和的正弦公式求sin A,然后利用正弦定理求出边长a;(2)在△ABC中利用余弦定理求边AB的长,然后在△BCD中求出边CD的长.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五(2)在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C
=b2+a2-2abcos C=4.
所以AB=2,BD=1.
在△BCD中,CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos B专题一专题二专题三专题四专题五专题三 三角形的面积问题
求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起,是高考中的常见题型.
常用三角形面积公式:专题一专题二专题三专题四专题五应用 在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+ bc.
(1)求∠A;
(2)设a= ,S为△ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此时∠B的值.
提示:(1)利用余弦定理求∠A;(2)利用正弦定理及面积公式将面积S表示出来,再用三角变换的知识求出最值.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五专题四 正、余弦定理的综合应用
以三角形为载体,以正、余弦定理为工具,以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型.在具体解题中,除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外,也要根据条件,合理选用三角函数公式,达到简化解题的目的.专题一专题二专题三专题四专题五应用1 在△ABC中, ∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且
(1)求cos B的值;
(2)若b= ,a+c=4,求△ABC的面积.
提示:(1)先利用正弦定理化简,再用三角变换整理即得.(2)利用余弦定理及面积公式,再注意整体求ac的技巧.cos C·sin B=2sin A·cos B-cos B·sin C.
∴2sin A·cos B=sin B·cos C+cos B·sin C
=sin(B+C)=sin(π-A)=sin A.
∵sin A≠0,∴cos B= .
(2)∵b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=7,
又a+c=4,∴(a+c)2-3ac=7.∴ac=3.专题一专题二专题三专题四专题五应用2 在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).
(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;
(2)若m⊥p,c=2,∠C= ,求△ABC的面积.
提示:先利用向量的坐标运算将条件转化为边角关系,再由正弦定理或余弦定理求解.专题一专题二专题三专题四专题五(1)证明:∵m∥n,∴asin A=bsin B,∴a=b,∴△ABC为等腰三角形.
(2)解:由题意m⊥p,得m·p=0,
即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.
根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,
∴ab=4(ab=-1不合题意,舍去),专题一专题二专题三专题四专题五专题五 正、余弦定理在实际问题中的应用
解决有关三角形的应用问题时,首先要认真分析题意,找出各量之间的关系,根据题意画出示意图,将要求的问题抽象为三角形模型,然后利用正弦定理、余弦定理求解,最后将结果还原为实际问题,这一程序可用框图表示为:专题一专题二专题三专题四专题五应用1 如图所示,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此山顶在西偏北25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD.
提示:要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可.根据已知条件,可以计算出BC的长.专题一专题二专题三专题四专题五解:在△ABC中,∠BAC=15°,∠ACB=25°-15°=10°.
根据正弦定理,CD=BCtan∠DBC=BCtan 8°≈1.047(km).
答:山的高度约为1.047 km.专题一专题二专题三专题四专题五应用2 如图,某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才能追赶上该走私船?
提示:在求解三角形中,可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生活的应用题,必须检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.专题一专题二专题三专题四专题五解:设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船,则CB=10x海里,AB=14x海里,AC=9海里,∠ACB=75°+45°=120°,
所以(14x)2= 92+ (10x)2 -2×9×10xcos 120°,
化简,得32x2-30x-27=0.所以BC =15,AB =21. 所以∠BAC =38°13'或∠BAC =141°47'(钝角不合题意,舍去).
所以38°13'+45°=83°13'.
答:巡逻艇应该沿北偏东83°13'方向去追,经过1.5小时才能追赶上该走私船.1234567891(江西高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则 的值为( )答案:D 1234567892(课标全国Ⅱ高考)钝角三角形ABC的面积是 ,AB=1,BC= ,则AC=( )
A.5 B.
C.2 D.1答案:B 1234567893(课标全国Ⅰ高考)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为 .?
解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.
∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,
即b2+c2-a2=bc.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.
∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.1234567894(天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c= a,2sin B=3sin C,则cos A的值为 .?1234567895(广东高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则 = .?
解析:因为bcos C+ccos B=2b,所以由正弦定理,可得
sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,
即sin(B+C)=2sin B,
所以sin(π-A)=2sin B,即sin A=2sin B.
于是a=2b,即 =2.
答案:21234567896(四川高考)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于
m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80, ≈1.73)?123456789解析:如图所示,过A作AD⊥CB且交CB的延长线于点D.
在Rt△ADC中,由AD=46 m,∠ACB=30°得AC=92 m.
在△ABC中,∠BAC=67°-30°=37°,∠ABC=180°-67°=113°,AC=92 m,答案:60 1234567897(辽宁高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.1234567891234567898(湖南高考)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= .
(1)求cos∠CAD的值;1234567891234567899(安徽高考)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,∠A=2∠B.
(1)求a值;
提示:考虑到已知条件是三个角正弦的比值,可用正弦定理得出三边的关系,再利用余弦定理判断最大角的大小即可.
解析:因为sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,根据正弦定理,得a∶b∶c =2∶3∶4.
设a=2m,b=3m,c=4m(m>0),
因为c>b>a,所以∠C>∠B>∠A.所以∠C是钝角.所以△ABC是钝角三角形.
答案:钝角专题一专题二专题三专题四专题五应用2 在△ABC中,若∠B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.
提示:已知条件中等式只有边,故结合其特点,可选择利用正弦定理化边为角,再结合三角函数关系化简求解;本题也可利用∠B=60°这一条件,用余弦定理找出边之间的关系来判断.
解:方法一:由正弦定理,得2sin B=sin A+sin C.
因为∠B=60°,所以∠A+∠C=120°.
所以∠A=120°-∠C,代入上式,得
2sin 60°=sin(120°-∠C)+sin C,所以sin(∠C+30°)=1.所以∠C+30°=90°.
所以∠C=60°.所以∠A=60°.
故△ABC为等边三角形.专题一专题二专题三专题四专题五方法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B. 整理,得(a-c)2=0,
所以a=c.从而a=b=c.
所以△ABC为等边三角形.专题一专题二专题三专题四专题五专题二 解三角形
在解三角形时,常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用,要注意恰当地选取定理,简化运算过程,提高解题速度,同时,要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来,挖掘题目中的隐含条件.解题时,要综合、灵活地运用两个定理,认真分析已知条件,选择需要先(后)解的三角形和相关定理,并结合三角形的有关性质,如大边对大角,内角和定理等.注意数形结合,正确地求解三角形,防止出现漏解或增解的情况.专题一专题二专题三专题四专题五应用 在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,∠B=45°,(1)求边长a;
(2)设AB中点为D,求中线CD的长.
提示:(1)由cos C求sin C,再利用两角和的正弦公式求sin A,然后利用正弦定理求出边长a;(2)在△ABC中利用余弦定理求边AB的长,然后在△BCD中求出边CD的长.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五(2)在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C
=b2+a2-2abcos C=4.
所以AB=2,BD=1.
在△BCD中,CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos B专题一专题二专题三专题四专题五专题三 三角形的面积问题
求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起,是高考中的常见题型.
常用三角形面积公式:专题一专题二专题三专题四专题五应用 在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+ bc.
(1)求∠A;
(2)设a= ,S为△ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此时∠B的值.
提示:(1)利用余弦定理求∠A;(2)利用正弦定理及面积公式将面积S表示出来,再用三角变换的知识求出最值.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五专题四 正、余弦定理的综合应用
以三角形为载体,以正、余弦定理为工具,以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型.在具体解题中,除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外,也要根据条件,合理选用三角函数公式,达到简化解题的目的.专题一专题二专题三专题四专题五应用1 在△ABC中, ∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且
(1)求cos B的值;
(2)若b= ,a+c=4,求△ABC的面积.
提示:(1)先利用正弦定理化简,再用三角变换整理即得.(2)利用余弦定理及面积公式,再注意整体求ac的技巧.cos C·sin B=2sin A·cos B-cos B·sin C.
∴2sin A·cos B=sin B·cos C+cos B·sin C
=sin(B+C)=sin(π-A)=sin A.
∵sin A≠0,∴cos B= .
(2)∵b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=7,
又a+c=4,∴(a+c)2-3ac=7.∴ac=3.专题一专题二专题三专题四专题五应用2 在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).
(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;
(2)若m⊥p,c=2,∠C= ,求△ABC的面积.
提示:先利用向量的坐标运算将条件转化为边角关系,再由正弦定理或余弦定理求解.专题一专题二专题三专题四专题五(1)证明:∵m∥n,∴asin A=bsin B,∴a=b,∴△ABC为等腰三角形.
(2)解:由题意m⊥p,得m·p=0,
即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.
根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,
∴ab=4(ab=-1不合题意,舍去),专题一专题二专题三专题四专题五专题五 正、余弦定理在实际问题中的应用
解决有关三角形的应用问题时,首先要认真分析题意,找出各量之间的关系,根据题意画出示意图,将要求的问题抽象为三角形模型,然后利用正弦定理、余弦定理求解,最后将结果还原为实际问题,这一程序可用框图表示为:专题一专题二专题三专题四专题五应用1 如图所示,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此山顶在西偏北25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD.
提示:要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可.根据已知条件,可以计算出BC的长.专题一专题二专题三专题四专题五解:在△ABC中,∠BAC=15°,∠ACB=25°-15°=10°.
根据正弦定理,CD=BCtan∠DBC=BCtan 8°≈1.047(km).
答:山的高度约为1.047 km.专题一专题二专题三专题四专题五应用2 如图,某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才能追赶上该走私船?
提示:在求解三角形中,可以根据正弦函数的定义得到两个解,但作为有关现实生活的应用题,必须检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.专题一专题二专题三专题四专题五解:设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船,则CB=10x海里,AB=14x海里,AC=9海里,∠ACB=75°+45°=120°,
所以(14x)2= 92+ (10x)2 -2×9×10xcos 120°,
化简,得32x2-30x-27=0.所以BC =15,AB =21. 所以∠BAC =38°13'或∠BAC =141°47'(钝角不合题意,舍去).
所以38°13'+45°=83°13'.
答:巡逻艇应该沿北偏东83°13'方向去追,经过1.5小时才能追赶上该走私船.1234567891(江西高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则 的值为( )答案:D 1234567892(课标全国Ⅱ高考)钝角三角形ABC的面积是 ,AB=1,BC= ,则AC=( )
A.5 B.
C.2 D.1答案:B 1234567893(课标全国Ⅰ高考)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为 .?
解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.
∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,
即b2+c2-a2=bc.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.
∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.1234567894(天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c= a,2sin B=3sin C,则cos A的值为 .?1234567895(广东高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则 = .?
解析:因为bcos C+ccos B=2b,所以由正弦定理,可得
sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,
即sin(B+C)=2sin B,
所以sin(π-A)=2sin B,即sin A=2sin B.
于是a=2b,即 =2.
答案:21234567896(四川高考)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于
m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80, ≈1.73)?123456789解析:如图所示,过A作AD⊥CB且交CB的延长线于点D.
在Rt△ADC中,由AD=46 m,∠ACB=30°得AC=92 m.
在△ABC中,∠BAC=67°-30°=37°,∠ABC=180°-67°=113°,AC=92 m,答案:60 1234567897(辽宁高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.1234567891234567898(湖南高考)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= .
(1)求cos∠CAD的值;1234567891234567899(安徽高考)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,∠A=2∠B.
(1)求a值;