高中数学新人教B版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积（20张）

课件20张PPT。3.1.3　两个向量的数量积1.理解空间向量夹角的概念及表示方法.
2.理解两个向量的数量积的概念.
3.会利用数量积的定义及运算律,计算两个向量的数量积及向量的模.1.两个向量的夹角
(1)定义及表示:
已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,
则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作;
(2)范围和性质:
规定0≤≤π,显然有=;
如果=90°,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.
【做一做1】已知向量a,b不共线且模相等,m=a+b,n=a-b,则=　　　　　.?2.异面直线
(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线;
(2)两条异面直线所成的角:把异面直线平移到一个平面内,这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角.如果所成的角是直角,则称两条异面直线互相垂直.
【做一做2】 在正四面体ABCD中,AB与CD的位置关系是(　　)
A.平行 B.垂直但不相交
C.相交但不垂直 D.相交且垂直
答案:B
名师点拨对异面直线定义的理解需注意的问题:(1)“不在同一平面内的两条直线”是指不在任意一个平面内的两条直线,异面直线既不相交,也不平行,要注意把握异面直线的不共面性.(2)不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直线为异面直线.3.两个向量的数量积
已知空间两个向量a,b,则|a||b|cos叫做两个空间向量a,b的数量积(或内积),记作a·b,即,a·b=|a||b|cos.
【做一做3】已知|a|=2,|b|=3,=60°,则a·b=　　　　　.?
答案:34.空间向量数量积的性质
(1)a·e=|a|cos(e为单位向量);
(2)a⊥b?a·b=0;
(3)|a|2=a·a;
(4)|a·b|≤|a||b|.
名师点拨两个向量的数量积的性质的作用:
性质(1)可以帮助我们求两个向量的夹角.
性质(2)用于判断空间两个向量是否垂直.
性质(3)主要用于计算向量的模.
性质(4)主要用于不等式的证明.5.两个空间向量的数量积满足的运算律
(1)(λa)·b=λ(a·b);
(2)a·b=b·a(交换律);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
【做一做4】下列各式不正确的是　　　.(填序号)?②a·b=0?a=0或b=0;
③|a·b|=|a||b|;
④a·(b+c)=(b+c)·a.解析:①
②∵a·b=0?a⊥b,∴命题错误;
③∵|a·b|=|a||b||cos|,∴命题错误;
④正确.
答案:①②③1.如何理解空间向量的夹角?
剖析:(1)只有两个非零向量才可以定义夹角,求向量的夹角注意把向量平移到同一起点;
(2)向量夹角的范围是[0,π],向量同向时夹角为0,向量反向时夹角为π;
(3)注意零向量与任意向量平行,零向量与任意向量垂直.
2.如何理解异面直线?
剖析:(1)两直线不同在某一个平面不一定是异面直线,异面直线是不同在任何一个平面内,异面直线既不平行也不相交;(3)在空间中两直线垂直但未必相交. 3.如何理解空间向量的数量积?
剖析:(1)空间向量的数量积是平面向量数量积的推广;
(2)空间向量的数量积的运算符号是“·”,不能省略,更不能写成“×”;
(3)空间向量的数量积(内积)是一个实数而不是一个向量,它有别于数乘向量;
(4)空间向量的数量积不满足结合律,即a·(b·c)≠(a·b)·c;(6)a⊥b的充要条件是a·b=0,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法.题型一题型二题型三求空间向量的夹角
【例1】 如图,在正方体ABCD - A'B'C'D'中,求下列各向量的夹角:题型一题型二题型三题型一题型二题型三求空间向量的数量积 题型一题型二题型三反思求两个向量m,n的数量积一般分为两个层次:一是结合图形确定向量m,n的模及的大小,直接利用空间向量数量积的定义来求,此种情况下要注意向量夹角的正确性;二是选定一组基向量表示向量m,n,从而把m,n的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求.题型一题型二题型三空间向量的数量积的应用
【例3】 如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.题型一题型二题型三反思通过向量数量积的性质,可证明空间中的垂直关系,求空间中两点间的距离,求空间中角的度数.12345解析:利用|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)可得|a-b|2=484,故|a-b|=22.
答案:A12345A.60° B.30°
C.45° D.90°
答案:A1234512345123455.根据下列等式,求.
(1)cos=1;
(2)cos=0;
(3)a·b=-|a||b|.
解:(1)∵cos=1,∴=0°;
(2)∵cos=0,∴=90°;
(3)∵a·b=-|a||b|,∴=180°.