高中数学新人教B版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量（26张）

课件26张PPT。3.2.3　直线与平面的夹角3.2.4　二面角及其度量1.理解斜线和平面所成角的定义,体会夹角定义的唯一性、合理性.
2.会求直线与平面所成的角.
3.掌握二面角的概念,二面角的平面角的定义,会找一些简单图形中的二面角的平面角.
4.掌握求二面角大小的基本方法.1.直线与平面的夹角
(1)如果一条直线与一个平面垂直,我们规定这条直线与平面的夹角为90°;
(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内,我们规定这条直线与平面的夹角为0°;
(3)斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角);
(4)直线与平面的夹角的范围是[0°,90°].
【做一做1】 已知直线l的一个方向向量与平面α的法向量的夹角为135°,则直线l与平面α的夹角为(　　)
A.135° B.45° C.75° D.以上均错
解析:因为直线与平面的夹角的范围是[0°,90°],所以直线l与平面α的夹角为180°-135°=45°,90°-45°=45°.
答案:B2.最小角定理
(1)线线角、线面角的关系式:
cos θ=cos θ1cos θ2,?
如图,θ是OA与OM所成的角,
θ1是OA与OB所成的角,
θ2是OB与OM所成的角.
(2)最小角定理:
斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内 所有直线所成角中最小的角.
【做一做2】 已知一条直线与平面的夹角为30°,则它和这个平面内所有直线所成角中最小的角为(　　)
A.30° B.60° C.90° D.150°
答案:A3.二面角的定义及表示方法
(1)平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面.
(2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为l,两个面分别为α,β的二面角,记作α - l - β.若A∈α,B∈β,二面角也可以记作 A - l - B.?
(3)二面角的平面角
在二面角α - l - β的棱上任取一点O,在两半平面内分别作射线OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB叫做二面角α - l - β的平面角.?
(4)二面角的范围是[0°,180°].
(5)平面角是直角的二面角叫做直二面角.名师点拨1.二面角是图形,它是由两个半平面和一条棱构成的图形.
2.符号α - l - β的含义是棱为l,两个面分别为α,β的二面角.
3.两个平面相交,构成四个二面角.【做一做3】 在正方体ABCD - A1B1C1D1中,二面角A - B1C - A1的平面角的正切值为(　　)4.设m1⊥α,m2⊥β,则角与二面角α - l - β相等或互补.
【做一做4】 若二面角的两个半平面的法向量分别为(4,2,0)和(3,-6,5),则这个二面角的余弦值是(　　)解析:4×3+2×(-6)+0×5=0,则二面角的两个半平面的法向量互相垂直.故这个二面角的余弦值是0.
答案:A1.如何理解直线与平面所成的角?
剖析:(1)直线与平面斜交时,直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面内的射影所成的锐角;
(2)直线与一个平面垂直时,直线与平面的夹角为90°;
(3)一条直线与一个平面平行或在平面内时,直线与平面的夹角为0°.
2.如何用向量求线面角?
剖析:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,直线与平面所成的角为θ,则sin θ=|cos剖析:二面角的平面角必须具备三个条件:
(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上;
(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内;
(3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直,且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关.
4.如何求二面角?
剖析:(1)作出二面角的平面角;
(2)利用法向量的夹角.题型一题型二题型三题型四用定义法求直线与平面所成的角 分析:解答本题可找出点A在平面内射影的位置,作出线面角,然后解三角形求出线面角.
解:∵OA=OB=OC=a,
∠AOB=∠AOC=60°,
∴AB=AC=a.
∵ 为等腰直角三角形.同理,△BOC也为等腰直角三角形.如图,过点A作AH⊥α于点H,连接OH,则OH为AO在平面α内的射影,∠AOH为OA与平面α所成的角.题型一题型二题型三题型四反思用定义法求直线与平面所成的角时,关键是找到斜线的射影,找射影有两种方法:(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上;(2)利用已知垂直关系得出线面垂直,确定射影.题型一题型二题型三题型四用向量法求直线与平面所成的角
【例2】 在直三棱柱ABC - A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=2BC,
A1B⊥B1C.求B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值.
分析:因为是直三棱柱,所以本题可建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思利用向量法求斜线与平面的夹角的优势在于不用找角,只需建立适当的坐标系,用待定系数法求出平面的法向量,再用公式求解即可.但要注意法向量的正确性以及线面角与向量夹角的关系.题型一题型二题型三题型四用定义法求二面角的大小 【例3】 如图,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,AD=DC=BC=a,(1)求证:平面ABC⊥平面ADC;
(2)求二面角C - AB - D的大小.
分析:(1)可利用面面垂直的判定定理证明;
(2)利用平面ABC垂直于平面ADC,作出所求二面角的平面角,然后解三角形求角.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思所谓定义法,就是作出二面角的平面角,然后通过解三角形求解.作出二面角的平面角常用的方法有:(1)找与二面角的棱垂直的平面与二面角两半平面的交线;(2)在二面角的一个面上取一点,利用三垂线定理作平面角;(3)在二面角的棱上取一点,分别在两个面内作出和棱垂直的射线.题型一题型二题型三题型四用向量法求二面角的大小
【例4】 在正方体ABCD - A1B1C1D1中,求二面角A1 - BD - C1的余弦值.
分析:本题可建立空间直角坐标系,分别求平面C1BD和平面A1BD的一个法向量,然后通过法向量的夹角的余弦值求得二面角的余弦值.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四123451.在正方体ABCD - A1B1C1D1中,O为侧面BCC1B1的中心,则AO与平面ABCD所成角的正弦值为(　　)解析:设BC的中点为E,则∠OAE就是AO与平面ABCD所成的角.
答案:C123452.若正三棱锥A-BCD的所有棱长都相等,则侧棱与底面所成的角的正切值是(　　)答案:B 123453.若BC在平面α内,斜线AB与平面α所成的角为γ,∠ABC=θ,AA'⊥平面α,垂足为A',∠A'BC=β,那么 (　　)
A.cos θ=cos γ·cos β B.sin θ=sin γ·sin β
C.cos γ=cos θ·cos β D.cos β=cos γ·cos θ
答案:A123454.已知正四面体ABCD,则二面角A - BC - D的余弦值为 (　　)123455.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面α,β的两个法向量,则锐二面角α - l - β的大小是(　　)
A.45° B.90°
C.60° D.120°