人教A版高中数学必修五：2.2《等差数列》教案
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修五：2.2《等差数列》教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 66.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-21 19:14:52 | ||
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文档简介
《等差数列》教案
教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系.
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究.
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.
教学重、难点
重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系.
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.
教学过程
[创设情景]
上节课我们学习了数列.在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习一类特殊的数列.
[探索研究]
由学生观察分析并得出答案：
（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____，____，____，____，……
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目.该项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63.
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼.如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5
思考：同学们观察一下上面的这三个数列：
0，5，10，15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
看这些数列有什么共同特点呢？
（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）.
[等差数列的概念]
对于以上几组数列我们称它们为等差数列.请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.那么对于以上三组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5.
提问：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：
A-a=b-A
所以就有
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项.
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项.
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.
看来，
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则
[等差数列的通项公式]
已知等差数列的首项是，公差是d，求．
由等差数列的定义：，，，……
∴，，，……
所以，该等差数列的通项公式：．
另解：∵是等差数列，∴当时，有，，……
，将上面个等式的两边分别相加，得：
∴，当时，上面的等式也成立.
说明：等差数列的单调性：d>0为递增数列，d=0为常数列，d<0为递减数列.
[例题分析]
例1、
（1）求等差数列8，5，2，…的第20项.
（2）-401是不是等差数列-5，-9， -13，…的项？如果是，是第几项？
分析：
（1）要求出第20项，可以利用通项公式求出来.首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；
（2）这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题.要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义.
解：（1）由=8，d=5-8=-3，n=20，得
（2）由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-4n-1成立.
解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.
例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项.
例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.
令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2.那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费
答：需要支付车费23.2元.
例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题.
思考例题：例3 已知数列的通项公式为其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n＞1）是不是一个与n无关的常数.
解：取数列中的任意相邻两项（n＞1），
求差得
它是一个与n无关的数.
所以是等差数列.
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项.由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.
例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列.
[课堂小结]
1．等差数列的定义：；
2．等差数列的通项公式及其推导方法.
教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系.
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究.
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.
教学重、难点
重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系.
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.
教学过程
[创设情景]
上节课我们学习了数列.在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习一类特殊的数列.
[探索研究]
由学生观察分析并得出答案：
（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____，____，____，____，……
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目.该项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63.
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼.如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5
思考：同学们观察一下上面的这三个数列：
0，5，10，15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
看这些数列有什么共同特点呢？
（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）.
[等差数列的概念]
对于以上几组数列我们称它们为等差数列.请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.那么对于以上三组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5.
提问：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：
A-a=b-A
所以就有
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项.
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项.
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.
看来，
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q
则
[等差数列的通项公式]
已知等差数列的首项是，公差是d，求．
由等差数列的定义：，，，……
∴，，，……
所以，该等差数列的通项公式：．
另解：∵是等差数列，∴当时，有，，……
，将上面个等式的两边分别相加，得：
∴，当时，上面的等式也成立.
说明：等差数列的单调性：d>0为递增数列，d=0为常数列，d<0为递减数列.
[例题分析]
例1、
（1）求等差数列8，5，2，…的第20项.
（2）-401是不是等差数列-5，-9， -13，…的项？如果是，是第几项？
分析：
（1）要求出第20项，可以利用通项公式求出来.首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；
（2）这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题.要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义.
解：（1）由=8，d=5-8=-3，n=20，得
（2）由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-4n-1成立.
解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.
例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项.
例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费.
令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2.那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费
答：需要支付车费23.2元.
例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题.
思考例题：例3 已知数列的通项公式为其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n＞1）是不是一个与n无关的常数.
解：取数列中的任意相邻两项（n＞1），
求差得
它是一个与n无关的数.
所以是等差数列.
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项.由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.
例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列.
[课堂小结]
1．等差数列的定义：；
2．等差数列的通项公式及其推导方法.