人教A版高中数学选修2-3：1.2.1排列1教案

课题
1．2．1排列
（第一课时）
课型
新授课
教学
目标
知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题
情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.
重点
难点
教学重点：排列、排列数的概念．
教学难点：排列数公式的推导
教具
准备
多媒体，
课时
安排
1
教学过程与教学内容
教学方法、教学手段与学法、学情
教学过程：
一、复习引入：
1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法
分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事 应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制
二、讲解新课：
1问题：
问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素
解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种，如图 1.2一1 所示．
把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,
共有 3×2=6 种．
问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定右边的数，从余下的2个数中取，有2种方法
由分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法
显然，从 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：
第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；
第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；
第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法．
根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有
4×3×2=24
种不同的排法， 因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示．
由此可写出所有的三位数：
123，124, 132, 134, 142, 143， 213，214, 231, 234, 241, 243，
312，314, 321, 324, 341, 342， 412，413, 421, 423, 431, 432 。
同样，问题 2 可以归结为：
从4个不同的元素a, b, c，d中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同排列是
abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,
cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.
共有4×3×2=24种.
树形图如下

a b ｃ　　　　　ｄ
　　　ｂ　ｃ　ｄ　ａ　ｃ　ｄ　　ａ　ｂ　ｄ　　ａ　ｂ　ｃ
2．排列的概念：
从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
3．排列数的定义：
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列
4．排列数公式及其推导：
由的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数．由分步计数原理完成上述填空共有种填法，∴=
由此，求可以按依次填3个空位来考虑，∴=，
求以按依次填个空位来考虑，
排列数公式：

（）
说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个
少1，最后一个因数是，共有个因数；
（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列
全排列数：（叫做n的阶乘）
另外，我们规定 0! =1 .
例1．用计算器计算： (1）； (2）; (3）.
解：用计算器可得：
由（ 2 ) ( 3 ）我们看到，．那么，这个结果有没有一般性呢？即
.
排列数的另一个计算公式：

=.
即 =
例2．解方程：3．
解：由排列数公式得：，
∵，∴ ，即，
解得 或，∵，且，∴原方程的解为．
例3．解不等式：．
解：原不等式即，
也就是，化简得：，
解得或，又∵，且，
所以，原不等式的解集为．
例4．求证：（1）；（2）．
证明：（1），∴原式成立
（2）
右边
∴原式成立
说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数中，且这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；
（2）公式常用来求值，特别是均为已知时，公式=，常用来证明或化简
例5．化简：⑴；⑵
⑴解：原式
⑵提示：由，得，
原式
说明：．
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