人教版高中数学必修三教案：1.1《算法的概念》
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修三教案：1.1《算法的概念》 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 51.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-09-21 19:34:17 | ||
图片预览
文档简介
《算法的概念》教案
教学目标
初步了解算法的含义和概念，了解算法的概括性、逻辑性、有穷性、不惟一性和普遍性等特征。
初步了解消去法的思想。
体会算法的思想，能说明解决简单问题的算法步骤。
重点与难点
教学重点：算法的含义、概念及特征。
教学难点：把自然语言转化为算法语言。
教学过程
概念引入
一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法。
解：算法或步骤如下：
S1 人带两只狼过河；
S2 人自己返回；
S3 人带一只羚羊过河；
S4 人带两只狼返回；
S5 人带两只羚羊过河；
S6 人自己返回；
S7 人带两只狼过河；
S8 人自己返回；
S9 人带一只狼过河．
算法(algorithm)一词源于算术(arithmetic)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。
新知探究
处理方式
【问题1】
请同学们解二元一次方程组
x-2y=-1, ①
2x+y=1, ②
求解过程，我们可以归纳出以下步骤：
第一步：②-①×2，得
5y=3;
第二步：解③得y=3/5；
第三步：将y=3/5代入①，得x=1/5；
第四步：得到方程组的解为
从特殊到一半，若上式的数字用字母代替会如何？
【问题2】
对于一般的二元一次方程组
其中a1b2-a2b1≠0,设计一个算法。
第一步：④×b2-⑤×b1,得(a1b2-a2b1)x=b2c1- b1c2, ⑥
第二步：解⑥,得
第三步：，⑤×a1-④×a2,得(a1b2-a2b1)y=a1c2- a2c1. ⑦
第四步：解⑦，得.
第五步：得到方程组的解为
通过上面的例子我们可以总结出算法的概念：
总结：这一例子体现算法具有通用性。在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。
在数学中，现代意义的“算法”是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。
即时巩固
处理方式
四人小组合作完成，代表回答！
【问题3】
设计一个算法，判断7是否为质数；
设计一个算法，判断35是否为质数。
【算法分析】
根据质数的定义，可以这样判断：依次用2～6除7，如果它们中 有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数。
根据以上分析，可定出如下算法：
第一步，用2除7，得到余数1。因为余数不为0，所以2不能整除7。
第二步，用3除7，得到余数1。因为余数不为0，所以3不能整除7。
第三步，用4除7，得到余数3。因为余数不为0，所以4不能整除7。
第四步，用5除7，得到余数2。因为余数不为0，所以5不能整除7。
第五步，用6除7，得到余数1。因为余数不为0，所以6不能整除7。
类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法。
第一步，用2除35，得到余数1。因为余数不为0，所以2不能整除35。
第二步，用3除35，得到余数2。因为余数不为0，所以3不能整除35。
第三步，用4除35，得到余数3。因为余数不为0，所以4不能整除35。
第四步，用5除35，得到余数0。因为余数为0，所以5能整除35。
因此35不是质数。
【问题4】
用二分法设计一个求方程x2-2=0的近似根的算法。
【算法分析】
令,则方程的解就是函数的零点。
“二分法”的基本思想是：把函数的零点所在的区间[a,b]﹝满足﹞“一分为二”，得到[a,m]和[m,b].根据“”是否成立，取出零点所在的区间[a,m]或[m,b],仍记为[a,b]。对所得的区间[a,b]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a,b]“足够小”，则[a,b]内的数可以作为方程的近似解。
根据以上分析可以写出如下算法：
第一步，令，给定精确度d.
第二步，确定区间[a,b]，满足。
第三步，取区间中点.
第四步，若，则含零点的区间为[a,m]；否则，含零点的区间为[m,b]。将新得到的含零点的区间仍记为[a,b]。
第五步，判断[a,b]的长度是否小于d或是否等于0。若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步。
当d=0.005时，按照以上算法，可得到下图和下表。
a
b
︱a-b︱
1
2
1
1
1.5
0.5
1.25
1.5
0.25
1.375
1.5
0.125
1.375
1.437 5
0.062 5
1.406 25
1.437 5
0.031 25
1.406 25
1.421 875
0.015 625
1.414 062 5
1.421 875
0.007 812 5
1.414 062 5
1.417 968 75
0.003 906 25
于是，开区间（1.414 062 5，1.417 968 75）中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解。
实际上，上步骤也是求的近似值的一个算法。
计算机解决任何问题都要依赖于算法。只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题。
归纳提升
处理方式
引导学生归纳体课时的主要学习内容，交流成果，教师帮助完善。
算法的概念
对于一项任务，按照事先设计好的步骤，一理一步地执行，并在有限步内完成任务，则这些步骤称为完成该任务的一个算法。
算法的五个性质：
概括性：写出的算法必须能解决某一类问题，并且能够重复使用。
逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行后一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的步骤序列。
有穷性：一个算法必须保证在执行有限步之后结束。
不惟一性：求解某一个问题的算法不一定只有惟一的一个，也可以有不同的算法，这些算法有繁简、优劣之分。
普遍性：很多具体问题，都可以设计合理的算法去解决。
算法与一般意义上的数学问题的解法既有联系又有区别
联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系。比如：教材先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程（算法）出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤；并且指出，这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法；
区别：算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程。
【课后作业】
回顾本课的学习过程，整理学习笔记。
完成书面作业：练习1、2
教学目标
初步了解算法的含义和概念，了解算法的概括性、逻辑性、有穷性、不惟一性和普遍性等特征。
初步了解消去法的思想。
体会算法的思想，能说明解决简单问题的算法步骤。
重点与难点
教学重点：算法的含义、概念及特征。
教学难点：把自然语言转化为算法语言。
教学过程
概念引入
一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法。
解：算法或步骤如下：
S1 人带两只狼过河；
S2 人自己返回；
S3 人带一只羚羊过河；
S4 人带两只狼返回；
S5 人带两只羚羊过河；
S6 人自己返回；
S7 人带两只狼过河；
S8 人自己返回；
S9 人带一只狼过河．
算法(algorithm)一词源于算术(arithmetic)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。
新知探究
处理方式
【问题1】
请同学们解二元一次方程组
x-2y=-1, ①
2x+y=1, ②
求解过程，我们可以归纳出以下步骤：
第一步：②-①×2，得
5y=3;
第二步：解③得y=3/5；
第三步：将y=3/5代入①，得x=1/5；
第四步：得到方程组的解为
从特殊到一半，若上式的数字用字母代替会如何？
【问题2】
对于一般的二元一次方程组
其中a1b2-a2b1≠0,设计一个算法。
第一步：④×b2-⑤×b1,得(a1b2-a2b1)x=b2c1- b1c2, ⑥
第二步：解⑥,得
第三步：，⑤×a1-④×a2,得(a1b2-a2b1)y=a1c2- a2c1. ⑦
第四步：解⑦，得.
第五步：得到方程组的解为
通过上面的例子我们可以总结出算法的概念：
总结：这一例子体现算法具有通用性。在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。
在数学中，现代意义的“算法”是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。
即时巩固
处理方式
四人小组合作完成，代表回答！
【问题3】
设计一个算法，判断7是否为质数；
设计一个算法，判断35是否为质数。
【算法分析】
根据质数的定义，可以这样判断：依次用2～6除7，如果它们中 有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数。
根据以上分析，可定出如下算法：
第一步，用2除7，得到余数1。因为余数不为0，所以2不能整除7。
第二步，用3除7，得到余数1。因为余数不为0，所以3不能整除7。
第三步，用4除7，得到余数3。因为余数不为0，所以4不能整除7。
第四步，用5除7，得到余数2。因为余数不为0，所以5不能整除7。
第五步，用6除7，得到余数1。因为余数不为0，所以6不能整除7。
类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法。
第一步，用2除35，得到余数1。因为余数不为0，所以2不能整除35。
第二步，用3除35，得到余数2。因为余数不为0，所以3不能整除35。
第三步，用4除35，得到余数3。因为余数不为0，所以4不能整除35。
第四步，用5除35，得到余数0。因为余数为0，所以5能整除35。
因此35不是质数。
【问题4】
用二分法设计一个求方程x2-2=0的近似根的算法。
【算法分析】
令,则方程的解就是函数的零点。
“二分法”的基本思想是：把函数的零点所在的区间[a,b]﹝满足﹞“一分为二”，得到[a,m]和[m,b].根据“”是否成立，取出零点所在的区间[a,m]或[m,b],仍记为[a,b]。对所得的区间[a,b]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a,b]“足够小”，则[a,b]内的数可以作为方程的近似解。
根据以上分析可以写出如下算法：
第一步，令，给定精确度d.
第二步，确定区间[a,b]，满足。
第三步，取区间中点.
第四步，若，则含零点的区间为[a,m]；否则，含零点的区间为[m,b]。将新得到的含零点的区间仍记为[a,b]。
第五步，判断[a,b]的长度是否小于d或是否等于0。若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步。
当d=0.005时，按照以上算法，可得到下图和下表。
a
b
︱a-b︱
1
2
1
1
1.5
0.5
1.25
1.5
0.25
1.375
1.5
0.125
1.375
1.437 5
0.062 5
1.406 25
1.437 5
0.031 25
1.406 25
1.421 875
0.015 625
1.414 062 5
1.421 875
0.007 812 5
1.414 062 5
1.417 968 75
0.003 906 25
于是，开区间（1.414 062 5，1.417 968 75）中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解。
实际上，上步骤也是求的近似值的一个算法。
计算机解决任何问题都要依赖于算法。只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题。
归纳提升
处理方式
引导学生归纳体课时的主要学习内容，交流成果，教师帮助完善。
算法的概念
对于一项任务，按照事先设计好的步骤，一理一步地执行，并在有限步内完成任务，则这些步骤称为完成该任务的一个算法。
算法的五个性质：
概括性：写出的算法必须能解决某一类问题，并且能够重复使用。
逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行后一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的步骤序列。
有穷性：一个算法必须保证在执行有限步之后结束。
不惟一性：求解某一个问题的算法不一定只有惟一的一个，也可以有不同的算法，这些算法有繁简、优劣之分。
普遍性：很多具体问题，都可以设计合理的算法去解决。
算法与一般意义上的数学问题的解法既有联系又有区别
联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系。比如：教材先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程（算法）出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤；并且指出，这样的求解步骤也适合有限制条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法；
区别：算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程。
【课后作业】
回顾本课的学习过程，整理学习笔记。
完成书面作业：练习1、2