北师大版高中数学必修第一册-2.1 必要条件与充分条件 36张

(共36张PPT)
北师2019版必修上册
第一章 预备知识

2.1 必要条件与充分条件（一）
第2节 常用逻辑用语
可以判断真假、用文字或符号表述的陈述句叫作命题。
初中知识回顾
命题的一般形式是“若，则”或“如果，那么”
是命题的条件，是命题的结论，
如果“若，则”是真命题，就说由推出，记作
什么叫命题？
如：平面上两条直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么同位角相等。
该命题为真命题，
其中“平面上两条直线被第三条直线所截”是命题的前提，“如果两直线平行”是命题的条件，“那么同位角相等”是命题的结论。
思考讨论：
定理1：菱形的对角线互相垂直.
定理2：对顶角相等.
定理3：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等.
①将定理1、2改成“若，则”的形式。
②请问“对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必有的条件吗？
定理1：如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直.
定理2：如果两个角是对顶角，那么它们相等.
“对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必有的条件
如果对角线不垂直，那么肯定不是菱形
1、必要条件
一般的，当命题“若，则”是真命题时，称是的必要条件.
，是的必要条件，
因为如果不成立，则肯定不成立
如：
①如果集合，那么。

②若实数，那么|。


①如果集合，那么。
“”，
所以“”是“”的必要条件
②若实数，那么|。
“”，
所以“”是“”的必要条件，
如果，肯定.

思考讨论：
定理4：若，则.
定理5：对角线互相平分的四边形是平行四边形
定理6：平行于三角形一边的直线，截其他两边所得三角形
与原三角形相似.
以上定理，要得到结论，所给的条件充分吗？又是不是必要的呢？
提示：都是充分的，定理5，是必要的， 其它不是
2、充分条件
一般的，当命题“若，则”是真命题时，称是的充分条件.
，是充分条件，
①如果集合，那么。
“”，
“”是“”成立的充分条件.
②若实数，那么|。
，
所以“”是“”的充分条件.
上面的例子：
注意：


①对于一个命题“若，则”，我们固定将称为命题的条件，称为命题的结论，所以如果，就称“是的充分条件”，如果；就称“是的必要条件”
如上例
若实数，则|。
，所以“”是“”的充分条件，
但，所以“”不是“”的必要条件.
注意：


②对于充分条件和必要条件的判断问题，最常有的两种形式为“”和“”，

两种叙述方式都是“是结论”，
然后只需判断“”和“”哪个是真命题即可.


试一试


例1：将下列性质定理写成“若，则”的形式，并用必要条件的语言表述：
(1)平面四边形的外角和为；
(2)在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等.
解：(1)若平面多边形是四边形，则它的外角和为，
“外角和为”是“平面多边形是四边形”的必要条件；
(2)在平面直角坐标系中，若两个点关于轴对称，则两个点的横坐标相等，
“两个点的横坐标相等”是“两个点关于轴对称”的必要条件.



例2：用充分条件的语言表述下列命题：
(1)若，则；
(2)若点是线段的中点，则；
(3)当，一元二次方程有两个不相等的实数根.
解：(1)““”的充分条件；
(2)“点是线段的中点”是“”的充分条件；
(3)“”是“一元二次方程有两个不相等的实数根”的充分条件.
思考讨论（综合练习）：
(1)：，：，请判断是的什么条件；
(2)：，：，则的 的条件是.
提示：(1)由，但，所以是的充分条件的，但不是必要条件；
(2)由问题的表述可知：是条件，是结论，：：，但：：，所以是的必要条件，但不是充分条件
方法点拨：


对于一个命题“若，则”，判断条件的必要性还是充分性，首先要根据原命题的语言表述形式，判断出哪句是条件、哪句是结论，然后判断推倒的正确性。如果是条件，是结论，那么，就称“是的充分条件”；，就称“是的必要条件”。

练习
教材P15，练习1、2.
教材P16，练习1、2.

作业
教材P22，习题1—2：

A组第1题
北师2019版必修上册
2.1 必要条件与充分条件（二）
读书使人充实，讨论使人机智，笔记使人准确，读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理使人庄重，逻辑修辞使人善辩。——（英国）培根
知识回顾：
一个命题中，其中是条件，是结论，
如果(条件结论)，就称“是的充分条件”；
如果(结论条件)，就称“是的必要条件”。
思考讨论：
勾股定理：如果一个三角形是直角三角形，那么它的
两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等
于第三边的平方.那么这个三角形是直角三角形.
根据上面两个定理，条件“三角形是直角三角形”是
结论“两边的平方和等于第三边的平方”的什么条件？
由原定理：“三角形是直角三角形”?“两边的平方和等于第三边的平方”
所以条件“三角形是直角三角形”是结论“两边的平方和等于第三边的平方”的充分条件；

又由逆定理：“两边的平方和等于第三边的平方”?“三角形是直角三角形”
所以条件“三角形是直角三角形”是结论“两边的平方和等于第三边的平方”的必要条件.
一般的，如果，且，那么称是的充分且必要条件，简称充要条件.
①命题中是条件，是结论，
如果（条件结论），并且（结论条件），就称“是的充要条件”
这时可以记作，即与等价.
如：“实数”是“实数”的充要条件，即.
②一个命题的条件分为：“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”四种，大家在判断时，力争准确表述。
如：“三角形是直角三角形”是“一边的中线等于该边
长的一半”的什么条件？
“”是“”的什么条件？
“三角形是直角三角形”是“一边的中线等于该边长的一半”的充要条件；
“”是“”的充分不必要条件.

例3：


在下列命题中，试判断是的什么条件.
(1)：，：；
(2)：，：；
(3)：四边形的对角线相等，
：四边形是平行四边形.
解：(1)因为“”是真命题，“”也是真命题，所以是的充要条件；
(2)因为“ ”是真命题，“”是假命题，所以是的充分不必要条件；
(3)因为“四边形的对角线相等四边形是平行四边形”是假命题，“四边形是平行四边形”也是假命题，所以是的既不充分也不必要条件.
思考讨论（综合练习）：
1、在下列命题中，试判断是的什么条件.
(1)：，
：一元二次方程有两个实数根；
(2)已知的三边为，
：，
：是等边三角形.
提示：1(1)由：一元二次方程有两个实数根，得，即：
则：：，但：：
所以是的充分不是必要条件；
(2)由：，
即

，：是等边三角形，所以，，是的充要条件.
思考讨论（综合练习）：
2、求方程至少有一个负数解的充要条件.
解：方程至少有一个负数解
当时，方程的解为，符合条件
当时，设方程的两解为，显然方程的解不为0，所以方程至少有一个负数解
则或解得或
综上：，即方程至少有一个负数解的充要条件是.
方法小结：


(1)对于一个命题“若，则”，利用“”和“”真假性，判断是的什么条件，一般注意先将和分别进行运算、化简，再做判断；
(2)以往我们解答数学问题，都是找问题成立的充要条件.
练习
教材P18，练习1、2、3.
作业
教材P12，习题1—1：
A组第2题、B组第1题