北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第23讲 二元一次方程（组）与一次函数(提高)

二元一次方程（组）与一次函数（提高）
【学习目标】
1.理解二元一次方程与一次函数的关系；
2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；
3.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
【要点梳理】
要点一、二元一次方程与一次函数的关系
1.任何一个二元一次方程都可以变形为即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.
2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程我们列举出它的几组整数解有，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y＝的图像上，反过来，在一次函数的图像上任取一点，它的坐标也适合方程.
要点诠释：
1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；
2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；
3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.
要点二、二元一次方程组与一次函数
1. 二元一次方程组与一次函数
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释：　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(2，3)，则就是二元一次方程组的解.
2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
2. 图像法解二元一次方程组
求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.
要点诠释：
利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.
要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式
待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
利用待定系数法解决问题的步骤：
1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.
【典型例题】
类型一、二元一次方程与一次函数
1、已知关系x，y的二元一次方程3ax+2by=0和5ax﹣3by=19化成的两个一次函数的图象的交点坐标为（1，﹣1），则a=　_________　，b=　_________　．
【答案】2；3；
【解析】解：两个一次函数的图象的交点坐标为（1，﹣1）
则x=1，y=﹣1同时满足两个方程，代入得：3a﹣2b=0，5a+3b=19；
联立两式则有：，
解得：；
所以a=2，b=3．
【总结升华】一般地，每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，也就是两条直线．从“数”的角度看，解方程组就是求使两个函数值相等的自变量的值以及此时的函数值．从“形”的角度看，解方程组就是相当于确定两条直线的交点坐标．
类型二、二元一次方程组与一次函数
2、用图象法解方程组：
【思路点拨】画出图象，两条直线的交点就是方程组的解.
【答案与解析】
解法一：将方程组化为
在坐标系中画出直线和．
列表：
…
0
2
…
…
0
…
…
0
0.5
…
…
0
…
由图象知，它们的交点坐标为（，），并进行验证；
可得原方程组的解为
解法二：令，即．
因为直线与轴（直线＝0）的交点为（，0），
所以方程组中，进而．
【总结升华】一般地，若两条直线和的交点坐标为（，），则方程组的解为 其中．
举一反三：
【变式】（2018?杭州模拟）已知P（x，y）是平面直角坐标系上的一个点，且它的横、纵坐标是一次方程组（a为任意实数）的解，则当a变化时，点P一定不会经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】解：解方程组得：，
∵当x=3a+2＜0时，解得：a＜﹣，
∴此时y=﹣2a+4＞0，
∴当x＜0时y＞0，
∴点P一定不会经过第三象限，
故选C．
3、（2019春?临清市期末）直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n的交点P的横坐标为1，则下列说法错误的是（　　）
A．点P的坐标为（1，2）
B．关于x、y的方程组的解为
C．直线l1中，y随x的增大而减小
D．直线y=nx+m也经过点P
【思路点拨】把x=1代入y=x+1，得出y的值，再判断即可．
【答案与解析】
解：把x=1代入y=x+1，y=2，
所以A、点P的坐标为（1，2），正确；
B、关于x、y的方程组的解为，正确；
C、直线l1中，y随x的增大而增大，错误；
D、直线y=nx+m也经过点P，正确；
故选C.
【总结升华】此题主要考查了两直线相交问题，解决本题的关键是求出直线经过的点的坐标．
类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式
4、（2018?荆门）在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（　　）
A．甲的速度随时间的增加而增大
B．乙的平均速度比甲的平均速度大
C．在起跑后第180秒时，两人相遇
D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
【思路点拨】
A、由于线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，由此可以确定甲的速度是没有变化的；
B、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快；
C、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；
D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面．
【答案与解析】
解：A、∵线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，∴甲的速度是没有变化的，故选项错误；
B、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选项错误；
C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故选项错误；
D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴乙是在甲的前面，故选项正确．
故选D．
【总结升华】本题主要考查函数图象的识图与一次函数图象关系式的解法，求函数关系式的一般方法是待定系数法，函数问题是中考的必考知识点，应引起足够重视．
举一反三：
【变式】甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）描述乙队在0～6（h）内所挖河渠的长度变化情况；
（2）请你求出：乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，甲队在施工过程中所挖河渠的长度y的值在30和50之间变化？
【答案】
解：（1）如图，乙队从挖河渠开始至2时，长度由0米增加到30米，从第2时至6时，长度由30米增加到60米．
（2）设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），
∴，解得，
∴y=5x+20；（7分）
（3）设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y=kx，
由图可知，函数图象过点（6，60），
∴6k=60，解得k=10，
∴y=10x．
当y=30时，x=3；
当y=50时，x=5．
∴当3≤x≤5时，甲队所挖河渠的长度y的值在30和50之间变化．
【巩固练习】
一.选择题
1.（2018春?泰山区期末）下列直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x﹣y=2的解的是（　　）
A． B． C． D．
2. 以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（ ）
A.有一个交点 B．有无数个交点 C．没有交点 D．以上都有可能
3.（2019春?乳山市期末）如图，直线l1：y=x﹣4与直线l2：y=﹣x+3相交于点（3，﹣1），则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
4. 一次函数和的图象都经过点A（－2，0），且与轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5. 在直角指标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设为整数，当直线与的交点为整数时，的值可以取（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
6.体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（　　）
进球数
0
1
2
3
4
5
人数
1
5
x
y
3
2
A. B.
C. D.
二.填空题
7．（2019?莘县二模）如图，一次函数y=kx1+b1的图象l1与y=kx2+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是　 　．
8．（2018春?成武）直线y=kx+3与y=﹣x+3的图象如图所示，则方程组的解为　　 ．
9．在同一坐标系中，对于函数①，②，③，④ 的图象，通过点（－1，0）的是________，相互平行的是_______，交点在轴上的是_____．（填写序号）
10. 一次函数的图象上一部分点的坐标见下表：
…
－1
0
1
2
3
…
…
－7
－4
－1
2
5
…
正比例函数的关系式为，则方程组的解为＝________.
11.若、为全体实数，那么任意给定、，两个一次函数和（≠）的图象的交点组成的图象方程是_________.
12.某二元一次方程的解是（m为常数）．若把x看做平面直角坐标系中一个点P的横坐标，y看做点P的纵坐标，下列4种说法：
①点P（x，y）一定不在第三象限；
②点P（x，y）可能是坐标原点；
③点P（x，y）的纵坐标y随横坐标x增大而增大；
④点P（x，y）的纵坐标y随横坐标x增大而减小．
其中正确的是　　．（写出序号）
三.解答题
13.如图，直线：与直线：相交于点P（1，）． （1）求的值；
（2）不解关于，的方程组，，请你直接写出它的解；（3）直线：是否也经过点P？请说明理由．
14. 在直角坐标系中直接画出函数y=|x|的图象；若一次函数y=kx+b的图象分别过点A（﹣1，1），B（2，2），请你依据这两个函数的图象写出方程组的解．
15.（2018?义乌市）小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程y（米）和所经过的时间x（分）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少时间？
（2）小敏几点几分返回到家？
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】∵2x﹣y=2，∴y=2x﹣2，∴当x=0，y=﹣2；当y=0，x=1，
∴一次函数y=2x﹣2，与y轴交于点（0，﹣2），与x轴交于点（1，0），
即可得出选项C符合要求，故选：C．
2. 【答案】D；
【解析】二元一次方程组中的两个方程的解的个数可能有一个，或无数个解，或无解，因而以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线有一个交点或有无数个交点或没有交点．
3. 【答案】A；
【解析】解：因为直线l1：y=x﹣4与直线l2：y=﹣x+3相交于点（3，﹣1），则方程组的解是，故选A.
4. 【答案】B；
【解析】由题意解得＝6，＝2，则函数的解析式是，，这两个函数与轴的交点是B（0，6），C（0，2）．因而CB＝4，因而△ABC的面积是×2×4＝4．
5. 【答案】C；
【解析】解方程组得，，∵交点为整数，∴可取的整数解有0，2，3，5，－1，－3共6个．
6.【答案】C；
【解析】根据进球总数为49个得：2x+3y=49﹣5﹣3×4﹣2×5=22，整理得：y=﹣x+，
∵20人一组进行足球比赛，∴1+5+x+y+3+2=20，整理得：y=﹣x+9．
二.填空题
7. 【答案】 ；
【解析】解：由图可知，方程组的解是．
8. 【答案】．
【解析】二元一次方程组的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解，即两条直线的交点坐.
9. 【答案】①②④； ①③； ②③；
10.【答案】2；
【解析】横纵坐标相等的只有（2，2），这个点为方程组的解，所以＝2.
11.【答案】；
【解析】当两个一次函数和（≠）的图象的有交点时，，，∵≠，∴＝1.
12.【答案】①④；
【解析】由x=m，得m=x，将m=x代入y=﹣2m+1，得y=﹣2x+1．y=﹣2x+1是一次函数，且经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故①正确；一次函数y=﹣2x+1不经过原点，故②错误；由k=﹣2＜0，可知y随x的增大而减小，故③错误，④正确．
三.解答题
13.【解析】
解：（1）将P（1，）代入，得＝1＋1＝2；
（2）由于P点坐标为（1，2），所以．
（3）将P（1，2）代入解析式得，；
将＝1代入得，
由于，所以＝2，
故P（1，2）也在上．
14.【解析】
解：如图；由图象可知，两个函数的交点坐标为（2，2）和（﹣1，1）；
∴方程组的解为或．
15.【解析】
解：（1）小敏去超市途中的速度是：3000÷10=300（米/分），
在超市逗留了的时间为：40﹣10=30（分）．
（2）设返回家时，y与x的函数解析式为y=kx+b，
把（40，3000），（45，2000）代入得：
，
解得：，
∴函数解析式为y=﹣200x+11000，
当y=0时，x=55，
∴返回到家的时间为：8：55．