北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第27讲 命题、证明及平行线的判定定理(提高)

命题、证明及平行线的判定定理（提高）知识讲解
【学习目标】
1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；
2. 体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；
4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；
5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.
【要点梳理】
要点一、定义与命题
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
要点诠释：
（1）定义实际上就是一种规定.
（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.
真命题：正确的命题叫做真命题.
假命题：不正确的命题叫做假命题.
要点诠释：
（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.
（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.
要点二、证明的必要性
要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.
要点三、公理与定理
1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.
要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.
2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.
要点诠释：
证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.
要点四、平行公理及平行线的判定定理
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
2．平行线的判定定理
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠3＝∠2
∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠1＝∠2
∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠4＋∠2＝180°
∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【典型例题】
类型一、定义与命题
1．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：
（1）在同一个三角形中，等角对等边；
（2）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
（3）有两边对应成比例,且有任意一角对应相等的两个三角形相似.
【答案与解析】
解：（1）先把这个命题写成“如果……那么……”的形式：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
条件：同一个三角形中的两个角相等；结论：这两个角所对的两条边相等.它是真命题.
（2）原命题可以写成：如果两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.
条件：两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等；结论：这两个三角形全等.它是真命题.
（3）原命题可以写成：如果两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等，那么这两个三角形相似.
条件：两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等；结论：这两个三角形相似.
它是假命题，反例：如下图：
【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.
举一反三：
【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题的话，请指出是真命题还是假命题?
(1)三角形的三条高交于一点；(2)解方程； (3)1＋2≠3.
【答案】（2）不是命题；（1）（3）是命题，其中（1）是真命题，（3）是假命题.
【变式2】下列真命题的个数是 ( )
（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.
（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.
（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．
A．1个 B .2个 C．3个 D．4个
【答案】B
类型二、公理、定理及证明
2．证明：对顶角相等.
【思路点拨】如果题目中没有明确出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.
【答案与解析】
已知：如图，直线AB，CD相交于点O，∠1和∠2是对顶角.
求证：∠1＝∠2.
证明：∵∠1和∠2是对顶角（已知），
∴OA与OB互为反向延长线（对顶角的意义）.
∴∠AOB是平角（平角的定义）.
同理，∠COD也是平角.
∴∠1和∠2都是∠AOC的补角（补角的定义）.
∴∠1＝∠2（等角的补角相等）.
【总结升华】“对顶角相等”是一个定理,而不是公理.
举一反三：
【变式】证明：相似三角形的周长比等于相似比．
【答案】
已知：如图，△ADE∽△ABC, AE∶AC=k
求证：C△ADE :C△ABC＝k
证明：∵△ADE∽△ABC
∴AE:AC＝AD:AB＝DE:BC＝ k
∴(AE+AD+DE):(AC+AB+BC)＝k
∴C△ADE :C△ABC＝k
类型三、平行公理及平行线的判定
3.（2018春?无锡）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组边平行．
（1）如图①，α=　 　°时，BC∥DE；
（2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：图②中α=　 　°时，　 　∥　 　；图③中α=　 　°时，　 　∥　　 ．
【思路点拨】（1）利用两直线平行同位角相等，并求得α=45°﹣30°=15°；
（2）利用平行线的性质及旋转不变量求得旋转角即可．
【答案与解析】解：（1）图①中α=15°时，BC∥DE，
∵BC∥DE，
∴∠1=∠B=60°，
∵∠1=∠D+∠α，∠D=45°，
∴∠α=15°
α=∠CAD﹣∠CAB=45°﹣30°=15°．
（2）图②中α=60°时，BC∥DA，
∵∠BAC=30°，∠α=60°，
∴∠DAC=90°=∠C，
∴∠DAC+∠C=180°，
∴BC∥DA；
图③中α=105°时，BC∥EA．
∵∠α=105°，∠DAE=45°，
∴∠EAB=60°，
∵∠B=60°，
∴∠EAB=∠B，
∴BC∥EA．
故答案为：（1）15；（2）60；BC；DA；105；BC；AE．
【总结升华】本题考查了图形的旋转变化，学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转，并判断旋转角为多少度，难度不大，但易错．
举一反三：
【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) ．
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
【答案】A
提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图．
图B显然不同向，因为路线不平行．
图C中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．
图D中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．
只有图A路线平行且同向，故应选A．
4.（2019春?太仓市期末）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
【思路点拨】根据四边形的内角和定理和∠A=∠C=90°，得∠ABC+∠ADC=180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．
【答案与解析】
解：BE∥DF．理由如下：
∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠ADC，
∴∠1+∠3=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°，
又∠1+∠AEB=90°，
∴∠3=∠AEB
∴BE∥DF
【总结升华】此题运用了四边形的内角和是360°、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，考察的知识点较多，只有熟练掌握，才能运用自如.
举一反三：
【变式1】已知，如图，BE平分(ABD，DE平分(CDB，且(1与(2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．
【答案】
解：AB∥CD，理由如下：
∵ BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴ ∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．
又∵ ∠1+∠2＝90°，
∴ ∠ABD+∠CDB＝180°．
∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【变式2】（2018?长春一模）如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为点A，∠1=70°．若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针旋转（　　 ）
A．70° B．50° C．30° D．20°
【答案】
解：∵b⊥c，
∴∠2=90°．
∵∠1=70°，a∥b，
∴直线b绕着点A顺时针旋转的度数=90°﹣70°=20°．
故选D．
命题、证明及平行线的判定定理（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1.下列说法中是真命题的有( ) ．
①一条直线的平行线只有一条．
②过一点与已知直线平行的直线只有一条．
③因为a∥b，c∥d，所以a∥d．
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角( ) ．
A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补
3．（2018?黔南州）如图，下列说法错误的是（　　）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1=∠2，则a∥c
C．若∠3=∠2，则b∥c D．若∠3+∠5=180°，则a∥c
4．一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是 ( ) ．
A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．
B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．
D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．
5．（2019春?莒县期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是 ( ) ．
A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠5 C．∠1+∠4=180° D．∠3＝∠5
6.( 绍兴)学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，(1)—(4)）:
从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）．
①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．
④内错角相等，两直线平行．
A.①② B. ②③ C. ③④ D. ④①
二、填空题
7. 在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________．
8．（2018春?高密市）如图，在下列条件中：①∠DAC=∠ACB；②∠BAC=∠ACD；③∠BAD+∠ADC=180°；④∠BAD+∠ABC=180°．其中能使直线AB∥CD成立的是 　．（填序号）
9．规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________．
10．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，则另一个角的度数是 ．
11．（2019春?吴兴区期末）如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D,E是AC上一点，∠1=∠2，则图中互相平行的直线有 对．
12. 如图，AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，则图中互相平行的直线有 ．
三、解答题
13.如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度?说明理由．
14．（2018春?泗阳）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC交CD于E，DF平分∠ADC交AB于F．
（1）若∠ABC=60°，则∠ADC=　 　°，∠AFD=　 　°；
（2）求证：BE∥DF．
15．如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF为多少度时，才能使AB′∥BD？
16．如图所示，由∠1＝∠2，BD平分∠ABC，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】A；
【解析】只有④是真命题，其它均是假命题．
2. 【答案】D；
3. 【答案】C；
【解析】A、若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；
B、若∠1=∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确；
C、∠3=∠2，不能判断b∥c，错误；
D、若∠3+∠5=180°，则a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；故选C．
4. 【答案】B；
5. 【答案】D；
【解析】∠3和∠5是同旁内角，同旁内角相等，不能判定两直线平行．
6. 【答案】C；
【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P的折痕与虚线垂直．
二、填空题
7. 【答案】0或1或2或3个；
8. 【答案】②③；
【解析】①∠DAC=∠ACB利用内错角相等两直线平行得到AD∥BC，错误；②∠BAC=∠ACD利用内错角相等两直线平行得到AB∥CD，正确；③∠BAD+∠ADC=180°利用同旁内角互补得到AB∥CD，正确；④∠BAD+∠ABC=180°利用同旁内角互补得到AD∥BC，错误；
故答案为：②③
9. 【答案】a1∥a100；
【解析】为了方便，我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100，因为a1⊥a2∥a3，所以a1⊥a3，而a3⊥a4，所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8 ∥a9，a9∥a12 ∥a13，…，接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100，所以a1∥a100．
10.【答案】 40°或140°；
11.【答案】2；
【解析】EF∥CD, ED∥CB．
12.【答案】AB∥CD，GP∥HQ；
【解析】
理由：∵ AB⊥EF，CD⊥EF．∴ ∠AGE＝∠CHG＝90°．∴ AB∥CD．
∵ AB⊥EF．∴ ∠EGB＝∠2＝90°．∴ GP平分∠EGB．
∴ ∠1＝EGB＝45°．
∴ ∠PGH＝∠1+∠2＝135°．
同理∠GHQ＝135°，∴ ∠PGH＝∠GHQ．
∴ GP∥HQ．
三、解答题
13. 【解析】
解：∠4＝100°．理由如下：
∵ ∠1＝60°，∠2＝60°，
∴ ∠1＝∠2，∴ AB∥CD
又∵∠3＝∠4＝100°，
∴ CD∥EF，∴ AB∥EF．
14．【解析】
解：（1）∵∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=120°，
∵DF平分∠ADC交AB于F，
∴∠FDA=ADC=60°，
∴∠AFD=90°﹣∠ADF=30°；故答案为120，30；
（2）BE∥DF．理由如下：
∵BE平分∠ABC交CD于E，
∴∠ABE=∠ABC=×60°=30°，
∵∠AFD=30°；
∴∠ABE=∠AFD，
∴BE∥DF．
15. 【解析】
解：要使AB′∥BD，只要∠B′AD＝∠ADB＝20°，
∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．
∴∠BAF＝∠B′AB＝×110°＝55°．
16．【解析】
解：可推出AD∥BC．∵ BD平分∠ABC(已知)．
∴ ∠1＝∠DBC(角平分线定义)．
又∵ ∠1＝∠2(已知)，∴ ∠2＝∠DBC(等量代换)．
∴ AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
把∠1＝∠2改成∠DBC＝∠BDC．