北师大版初中数学八年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第28讲 平行线的性质(提高)

平行线的性质知识讲解（提高）
【学习目标】
1. 掌握平行线的性质公理、定理，并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解；
2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程；
3.了解平行线的判定与性质的区别和联系.
【要点梳理】
要点一、平行线的公理、定理
公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）.
定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.
定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).
要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．
(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
要点二、平行线的性质定理的探究过程
1.两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角
相等）.
因为a∥b,
所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
又∠3=∠1 (对顶角相等)
所以∠2=∠3.
2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁
内角互补).

因为a∥b,
所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等），
又∠3+∠1=180°（补角的定义），
所以∠2+∠1=180°.
要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.
要点三、平行线的性质与判定
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
【典型例题】
类型一、平行线的性质公理、定理的应用
1、如图所示，把一块长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠EFG=50°，求∠DEG和∠BGM的大小．
【思路点拨】根据平行线的性质可求得∠EFC的度数，然后根据折叠的性质可知∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF，继而可求得∠DEG和∠BGM的度数．
【答案与解析】
解：∵AD∥BC，∠EFG=50°，∴∠EFC=180°-∠EFG=130°，由折叠的性质可知，∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF，∴∠DEG=100°，∴∠EGC=180°-100°=80°，则∠BGM=∠EGC=80°（对顶角相等）．
【总结升华】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，解答本题的关键是由折叠的性质得出∠NFE=∠EFC，∠MEF=∠DEF．
举一反三
【变式】（2018?洛阳一模）如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为　　度．
【答案与解析】
∵m∥n，边BC与直线n所夹的角为25°，
∴∠BCD=25°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=60°﹣25°=35°．
∵l∥m，
∴∠α=∠ACD=35°．
故答案为：35．
2、如图所示，已知AB∥CD，分别探索下列四个图形中∠P与∠A，∠C的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明．
【思路点拨】本题考查的是平行线的性质以及平行线的判定定理．（1），（2）都需要用到辅助线利用两直线平行，内错角相等的定理加以证明；（3），（4）是利用两直线平行，同位角相等的定理和三角形外角的性质加以证明．
【答案与解析】
解：
（1）∠A+∠C+∠P=360；
（2）∠A+∠C=∠P；
（3）∠A+∠P=∠C；
（4）∠C+∠P=∠A．说明理由（以第三个为例）：已知AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等及三角形的一个外角等于两不相邻内角之和，可得∠C=∠A+∠P．
【总结升华】考生应熟知平行线的有关知识点，这是中考常考的题型．
3、（2018?东莞）如图，已知AB∥CD，∠A=36°，∠C=120°，求∠F-∠E的大小．
【思路点拨】过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，可以求出∠AEG与∠HFC的度数，又EG∥FH，根据两直线平行，内错角相等，∠GEF=∠EFH，所以∠F-∠E=∠HFC-∠AEG．
【答案与解析】
解：过E作EG∥AB，过F作FH∥AB，∴∠A=∠1，EG∥FH，∵∠A=36°，∴∠1=36°，∵AB∥CD，FH∥AB，∴FH∥CD，∴∠C+∠4=180°，∵∠C=120°，∴∠4=60°，∵EG∥FH，∴∠2=∠3，∴∠F-∠E=（∠3+∠4）-（∠1+∠2），=∠3+∠4-∠1-∠2，=∠4-∠1，=60°-36°=24°．
【总结升华】本题主要考查两直线平行内错角相等和同旁内角互补的性质，作平行线把∠F、∠E分成两个角是解题的突破口，也是关键．
举一反三
【变式】如图，已知且l1∥l2，且l3与l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上，（1）当点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的数量关系，请说明理由（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的数量关系（点P与A、B不重合）只要写出结论即可，不必证明．
【答案】
解：（1）∠1+∠2=∠3；理由：如图1，过点P作l1的平行线，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PQ，∴∠1=∠4，∠2=∠5，∵∠4+∠5=∠3，∴∠1+∠2=∠3；
（2）∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3．理由：如图2，当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PQ，∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4，∴∠1-∠2=∠3；当点P在上侧时，同理可得∠2-∠1=∠3．
类型二、平行的性质与判定综合应用
4、（2019春?玉州区期末）如图，BD丄AC 于D，EF丄AC 于F．∠AMD=∠AGF．
∠1=∠2=35°
（1）求∠GFC的度数：
（2）求证：DM∥BC．
【思路点拨】（1）由BD⊥AC，EF⊥AC，得到BD∥EF，根据平行线的性质得到∠EFG=∠1=35°，再根据角的和差关系可求∠GFC的度数；
（2）根据平行线的性质得到∠2=∠CBD，等量代换得到∠1=∠CBD，根据平行线的判定定理得到GF∥BC，证得MD∥GF，根据平行线的性质即可得到结论．
【答案与解析】
解：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC=∠EFC
∴BD∥EF，
∴∠EFG=∠1=35°，
∴∠GFC=90°+35°=125°；
（2）∵BD∥EF，
∴∠2=∠CBD，
∴∠1=∠CBD，
∴GF∥BC，
∵∠AMD=∠AGF，
∴MD∥GF，
∴DM∥BC．
【总结升华】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
举一反三
【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠DEF=∠A，求证：∠ACB=∠DEB．
【答案】
证明：∵∠2+∠BDC=180°，∠1+∠2=180°，∴∠1=∠BDC，∴EF∥AB，∴∠DEF=∠BDE，∵∠DEF=∠A，∴∠BDE=∠A，∴DE∥AC，∴∠ACB=∠DEB．
5、如图，已知：∠FED=∠AHD，∠GFA=40°，∠HAQ=15°，∠ACB=70°，且AQ平分∠FAC，求证：BD∥GE∥AH．
【思路点拨】由同位角∠FED=∠AHD，推知AH∥GE，再根据平行线的性质、角平分线的定义证得内错角∠HAC=55°+15°=70°=∠ACB，所以BD∥AH，最后由平行线的递进关系证得BD∥GE∥AH．
【答案与解析】
证明：∵∠FED=∠AHD，∴AH∥GE，∴∠GFA=∠FAH．∵∠GFA=40°，∴∠FAH=40°，∴∠FAQ=∠FAH+∠HAQ，∴∠FAQ=55°．又∵AQ平分∠FAC，∴∠QAC=∠FAQ=55°，∵∠HAC=∠QAC+∠HAQ，∴∠HAC=55°+15°=70°=∠ACB，∴BD∥AH，∴BD∥GE∥AH．
【总结升华】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
【巩固练习】
一、选择题
1. 若∠1和∠2是同旁内角，若∠1＝45°，则∠2的度数是 ( )
A．45° B．135° C．45°或135° D．不能确定
2．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
3．（2018?德阳）如图，已知直线AB∥CD，直线EF与AB、CD相交于N，M两点，MG平分∠EMD，若∠BNE=30°，则∠EMG等于（　　）
A．15° B．30° C．75° D．150°
4．如图，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是( )
A．∠1+∠2-∠3＝90°
B．∠2+∠3-∠1＝180°
C．∠1-∠2+∠3＝180°
D．∠1+∠2+∠3＝180°
5. （2019春?永新县期末）如图，若AC⊥BC，CD⊥AB，∠1=∠2，下列结论：①∠3=∠EDB；②∠A=∠3；③AC∥DE；④∠2与∠3互补；⑤∠2=∠A，其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（　　 ）
A．23° B．16° C．20° D．26°
二、填空题
7．如图所示，直线∥．直线与直线，分别相交于点、点，，垂足为点，若，则＝ _____，直线之间的距离_____．
8.如图所示，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则有∠BEC＝________．
9.（2018?绵阳）如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F=　 　．
10.（2019春?西藏校级期末）已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G，∠E=∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．
解答：是，理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知）
∴∠4=∠5=90°（垂直的定义）
∴AD∥EG____ __
∴∠1=∠E___ ___
∠2=∠3___ ___
∵∠E=∠3（已知）
∴______=______
∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的定义）．
11. 如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°，则∠B= _____°．
12. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=___________°．
三、解答题
13．（2018?长春二模）探究：如图①，点A在直线MN上，点B在直线MN外，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥MN，交∠MAB的平分线AD于点C，连结BC，求证：BC⊥AD．
应用：如图②，点B在∠MAN内部，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥AM，交∠MAB的平分线AD于点C；作PE∥AN，交∠NAB的平分线AF于点E，连结BC、BE．若∠MAN=150°，则∠CBE的大小为　　度．
14．已知 如图(1)，CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴ ∠ACD＝∠1+∠2＝∠A+∠B．这是一个有用的事实，请用这个结论，在图(2)的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数．
15. 如图所示，点B、E分别在AC、DF上，BD、CE均与AF相交，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D；
【解析】本题没有给出两条直线平行的条件，因此同旁内角的数量关系是不确定的.
2. 【答案】B；
【解析】解：如图，

∵AB∥CD，∠C=125°， ∴∠EFB=125°，∴∠EFA=180﹣125=55°，
∵∠A=45°， ∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°．
3. 【答案】A；
【解析】解：∵直线AB∥CD，∠BNE=30°，∴∠DME=∠BNE=30°．
∵MG是∠EMD的角平分线，∴∠EMG=∠EMD=15°．故选A．
4. 【答案】B；
【解析】反向延长射线ST交PR于点M,则在△MSR中，
180°－∠2+180°－∠3+∠1＝180°，即有∠2+∠3-∠1＝180°.
5. 【答案】B；
【解析】先根据∠1=∠2得出AC∥DE，再由AC⊥BC可得出DE⊥BC，故∠3+∠2=90°，∠2+∠EDB=90°，故①正确；由AC∥DE可知∠A=∠EDB，∠EDB=∠3，故可得出②正确；∠1=∠2可知AD∥DE，故③正确；由DE⊥AC可知∠2与∠3互余，故④错误；根据CD⊥AB可得出∠2+∠EDB=90°，故可得出∠2+∠A=90°，故⑤错误．
6. 【答案】C；
【解析】解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，
∴∠BCD＝∠ABC＝46°，∠FEC＋∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝180°—∠FEC＝26°，
∴∠BCE＝∠BCD—∠ECD＝46°—26°＝20°．
二.填空题
7. 【答案】32°，线段AM的长；
【解析】因为，所以∠ABM＝∠1＝58°．又因为AM⊥，所以∠2＋∠ABM＝90°，所以∠2＝90°－58°＝32°．
8. 【答案】95°；
【解析】如图，过点E作EF∥AB．所以∠ABE+∠FEB＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，所以∠FEB＝180°-120°＝60°．又因为AB∥CD，EF∥AB，所以EF∥CD，所以∠FEC＝∠DCE＝35°(两直线平行，内错角相等)，所以∠BEC＝∠FEB+∠FEC＝60°+35°＝95°．

9.【答案】9.5°；
【解析】解：∵AB∥CD，∠CDE=119°，∴∠AED=180°﹣119°=61°，∠DEB=119°．
∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，∴∠GEF=×119°=59.5°，
∴∠GEF=61°+59.5°=120.5°．
∵∠AGF=130°，∴∠F=∠AGF﹣∠GEF=130°﹣120.5°=9.5°．
故答案为：9.5°．
10．【答案】同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2．
【解析】解：是．
∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知）
∴∠4=∠5=90°（垂直的定义）
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）
∴∠1=∠E，（两直线平行，同位角相等）
∠2=∠3．（两直线平行，内错角相等）
∵∠E=∠3，（已知）
∴∠1=∠2，
∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的定义）．
11.【答案】50；
【解析】∵∠BAC=80°，∴∠EAC=100°，∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD=∠DAC=50°，∵AD∥BC，∴∠B=∠EAD=50°．故答案为：50.
12.【答案】40；
【解析】长方形纸片ABCD中，AD∥BC，∵∠CEF=70°，∴∠EFG=∠CEF=70°，∴∠EFD=180°-70°=110°，根据折叠的性质，∠EFD′=∠EFD=110°，∴∠GFD′=∠EFD′-∠EFG，=110°-70°，=40°．故答案为：40.
三.解答题
13.【解析】
解：探究：∵PC∥MN，
∴∠PCA=∠MAC．
∵AD为∠MAB的平分线，
∴∠MAC=∠PAC．
∴∠PCA=∠PAC，
∴PC=PA．
∵PA=PB，
∴PC=PB，
∴∠B=∠BCP．
∵∠B+∠BCP+∠PCA+∠PAC=180°，
∴∠BCA=90°，
∴BC⊥AD；
应用：∵∠MAB的平分线AD，∠NAB的平分线AF，∠MAN=150°，
∴∠BAC+∠BAE=75°，
∵∠BAC+∠BAE+∠CBA+∠ABE=180°，
∴∠CBE=∠CBA+∠ABE=180°﹣75°=105°
故答案为：105．
14.【解析】
解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E．
∴ ∠A+∠2＝180°，∠B+∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又∵ ∠3＝∠1+∠C，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，
即∠A+∠B+∠C+∠ADC＝360°．
15.【解析】
证明：∵∠2=∠3，∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴BD∥CE，∴∠C=∠ABD；又∵∠C=∠D，∴∠D=∠ABD，∴AB∥EF，∴∠A=∠F．