人教版高中数学必修二知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

知识
一、直线与平面垂直的判定
1．直线与平面垂直
定义
如果直线l与平面α内的_______________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关
概念
直线l叫做平面α的_______________，平面α叫做直线l的_______________．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_______________．
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
（1）定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．
（2）直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．
（3）由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．
2．直线与平面垂直的判定定理
文字
语言
一条直线与一个平面内的两条_______________直线都垂直，则该直线与此平面垂直
图形
语言
符号
语言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，_______________?l⊥α
作用
判断直线与平面_______________
（1）直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直．通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”．因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决．也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可．
（2）在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线．
3．直线和平面所成的角
（1）定义：一条直线和一个平面_______________，但不和这个平面_______________，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_______________叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引_______________，过_______________和_______________的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_______________，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于_______________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于_______________．因此，直线与平面所成的角α的范围是_______________．
二、平面与平面垂直的判定
1．二面角
概念
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为_______________．从一条直线出发的两个_______________所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的_______________，这两个半平面叫做二面角的_______________
图示
二
面
角
的
平
面
角
文字
在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于_______________的射线，则这两条射线构成的_______________叫做这个二面角的平面角
图示
符号
OA?α，OB?β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角
范围
[0，π]
二
面
角
的
大
小
及
记
法
规定
二面角的大小可以用它的_______________来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是_______________的二面角叫做直二面角
记法
棱为l，面分别为α，β的二面角记为_______________．如图所示，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角_______________．
【温馨提示】二面角是从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形；平面角可以把角理解为一个旋转量，二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，二面角的大小反映了两个相交平面的位置关系．
知识剖析
（1）二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．
（2）平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．
2．平面与平面垂直
（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_______________，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作_______________．
（2）画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的_______________垂直．如图所示．
3．平面与平面垂直的判定定理
文字语言
一个平面过另一个平面的_______________，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α，_______________?α⊥β
作用
判断两平面_______________
【温馨提示】平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为：线面垂直，则面面垂直．因此处理面面垂直问题（即空间问题）转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题（即平面问题）来解决．
三、直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线_______________
符号语言
?_______________
图形语言
作用
（1）证明两直线_______________；
（2）构造平行线
【温馨提示】直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系．
直线与平面垂直的性质
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ．
四、平面与平面垂直的性质定理
文字
语言
两个平面垂直，则_______________垂直于_______________的直线与另一个平面_______________
符号
语言
图形
语言
作用
证明直线与平面_______________
【温馨提示】平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另一种方法，即“面面垂直，则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系．
垂直关系之间的相互转化
知识参考答案：
一、1． 任意一条 垂线 垂面 垂足
2． 相交 垂直
3．（1）相交 垂直 交点 垂线 垂足 斜足 锐角 （2）
二、1． 半平面 半平面 棱 面 棱 角 平面角 直角
2．（1）直二面角 （2）横边
3． 垂线 垂直
三、平行 平行
四、 一个平面内 交线 垂直 垂直
重点
重点
1．直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定；
2．直线与平面垂直的性质定理，平面与平面垂直的性质定理．
难点
1．灵活应用直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理解决问题，求二面角；
2．直线与平面垂直的性质定理的应用，平面与平面垂直的性质定理的应用．
易错
1．使用判定定理时忽略条件致误；
2．面面垂直的条件把握不准确致误．
1．线面垂直判定定理的应用
证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形底边的角平分线、中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．
【例1】如图，在中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．
（1）求证：SD⊥平面ABC；
（2）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．
【答案】证明详见解析．
2．面面垂直判定定理的应用
证明平面与平面垂直的方法：
【例2】如图，四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD为菱形，SD＝SB．
（1）求证：平面SAC⊥平面SBD；
（2）求证：平面SAC⊥平面ABCD．
【答案】证明详见解析．
【名师点睛】根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法 ，即要证面面垂直，只要证明线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．
3．直线与平面所成的角
求直线与平面所成的角的方法：
（1）求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
（2）求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
【例3】在三棱锥中，平面，如图所示．
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明详见解析．（2）．
（2）由（1）知、、两两垂直，
如图，取的中点，连接、，过作的垂线，为垂足，
由得，
又由平面，得，则平面，
于是，故平面，
则就是直线与平面所成的角．
在中，，，
则．
即与平面所成角的正弦值为．
4．二面角
求二面角大小的步骤：
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．
【例4】已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将和分别沿DE、CE折起，使AE与BE重合，A、B两点重合后记为点P，那么二面角P－CD－E的大小为_______________．
【答案】
【解析】如图，取CD中点F，连接PF、EF．
【名师点睛】（1）二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点．为了解题方便，可以把其放在某一特殊位置，这要具体问题具体分析．
（2）求二面角的关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解．一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
5．垂直的综合应用
【例5】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，平面，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
【答案】证明详见解析．
【例6】如图，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且是正三角形，PA⊥PC．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角D－AP－C的正弦值；
（3）若M为PB的中点，求三棱锥M－BCD的体积．
【答案】证明详见解析．
（2）∵PA⊥PC，且PA⊥PB，
∴∠BPC是二面角D－AP－C的平面角．
由（1）知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，
∴．
则二面角D－AP－C的正弦值为．
（3）∵为的中点，为的中点，
∴，且，
由（1）知PA⊥平面PBC，∴DM⊥平面PBC．
∵，
∴．
【名师点睛】本题的题设条件有三个：①是直角三角形，；②是正三角形；③D是AB的中点，PD＝DB＝10．解答本题（1），只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直；对于（2），首先应找出二面角的平面角，然后求其正弦值；解答第（3）小题的关键是用等体积法求解．
6．直线与平面垂直的性质定理的应用
线面垂直的性质定理、公理4及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最后还是要先证明线线平行．
【例7】如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1．
【答案】证明详见解析．

【名师点睛】当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，就要考虑直线和平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．
7．平面与平面垂直的性质定理的应用
在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．
【例8】已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．求证：l⊥γ．
【答案】证明详见解析．
【解析】证法1：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，作PB垂直β与γ的交线于B，∵α⊥γ，β⊥γ，则PA⊥α，PB⊥β，∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB，∵PA与PB相交，又PA?γ，PB?γ，∴l⊥γ．
证法2：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，
∴m∥n，又n?β，∴m∥β，又m?α，α∩β＝l，∴m∥l，∴l⊥γ．
【名师点睛】证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是证法三的关键．通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．
8．平面与平面垂直的性质定理的应用
【例9】如图，，点P在所确定的平面γ外，于点，于点． 求证：．
【错解】因为，，所以．所以，所以．
【错因分析】本题错解的原因在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由 得，而忽略了“垂直于平面内两条相交直线”这一条件，即．
【正解】因为，所以．
又，所以平面．
因为， 所以．
【易错点睛】应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点．
9．不能正确找出二面角的平面角
【例10】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且，，求二面角的大小．
【错解】如图，过A在底面ABCD内作AE⊥CD于E，连接PE．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵PA∩AE＝A，∴CD⊥平面PAE．
又∵PE?平面PAE，∴CD⊥PE，
∴∠PEA为二面角P－CD－B的平面角．
（以下略）
【错因分析】点E的位置应首先由已知的数量关系确定，而不是盲目地按三垂线法直接作出．在找二面角的平面角时，一般按照先找后作的原则，避免盲目地按三垂线法作二面角的平面角．
【正解】∵，
∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD．
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．
又∵PC?平面PAC，∴PC⊥CD，
∴∠PCA是二面角P－CD－B的平面角．
∵在中，，∴∠PCA＝45°．
故二面角P－CD－B的大小为45°．
10．定理的条件不全导致判断不准确
【例11】已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题的个数是
A．3 B．2 C．1 D．0
【错解】由面面垂直的性质可知，②④正确，故选B．
【错因分析】④中过一个平面内任意一点作交线的垂线，并没有说明这一垂线一定在平面内．
【正解】如图，在正方体中，对于①，，，与是异面直线，且夹角为60°，故①错误；②正确；
对于③，，但不垂直于平面，故③错误；
对于④，过平面内的点，作，
因为平面，，
所以，但不垂直于平面，故④错误．
所以正确命题的个数是1．故选C．
【易错点睛】对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，则过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在平面内．
基础训练
1．如图，已知四棱锥P–ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是
A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD
2．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起到A′BD，使面A′BD⊥面BCD，连接A′C，则在四面体A′BCD的四个面中，互相垂直的平面有
①面ABD⊥面BCD；②面A′CD⊥面ABD；③面A′BC⊥面BCD；④面ACD⊥面ABC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．设平面α∩平面β=l，点A，B∈α，点C∈β，且A，B，C均不在直线l上，给出四个命题：
①?α⊥β；②?α⊥平面ABC；③?l⊥平面ABC；④AB∥l?l∥平面ABC．其中正确的命题是
A．①与② B．②与③
C．①与③ D．②与④
4．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A．若l⊥m，m=α∩β，则l⊥α
B．若l∥m，m=α∩β，则l∥α
C．若α∥β，l与α所成的角相等，则l∥m
D．若l∥m，l⊥α，α∥β，则m⊥β
5．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有__________条．
7．已知△ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求证：面ADB⊥面SBC．
8．如图ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．求证：DE⊥面PBC．
9．如图，在三棱锥A–BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．求证：CD⊥平面ABD．
能力提升
10．已知两条直线a，b与三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α∥β的是
A．a?α，b?α，a∥β，b∥β B．α⊥γ，且β⊥γ
C．a?α，b?α，a∥b D．a⊥α，且a⊥β
11．在三棱锥P–ABC中，不能推出平面PAC⊥平面PBC的条件是
A．BC⊥PA，BC⊥PC B．AC⊥PB，AC⊥PC
C．AC⊥BC，PA⊥PB D．平面PAC⊥平面ABC，BC⊥AC
12．如图所示，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ACB=90°，连结PB、PC，则图形中互相垂直的平面有
A．一对 B．两对 C．三对 D．四对
13．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE．
（1）证明：平面ADE⊥平面BCE；
（2）求点D到平面ACE的距离．
14．如图，四棱锥P–ABCD的底面ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，且PA⊥AB，PA⊥PC．证明：平面PAD⊥平面PDC．
15．如图，空间四边形PABC中，PB⊥底面ABC，∠BAC=90°；过点B作BE，BF分别垂直于AP，CP于点E，F．（1）求证：AC⊥面PAB；（2）求证：PC⊥EF．
真题练习
16．（2018?新课标全国）在正方体中，E为棱CD的中点，则
A． B． C． D．
17．（2019?浙江模拟）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，则
A． B．
C． D．
18．（2019?江苏模拟）在平行六面体中，．
求证：．
19．（2018?北京文）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点．
（1）求证：PE⊥BC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（3）求证：EF∥平面PCD．
20．（2018?新课标Ⅰ文节选）如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．
证明：平面平面；
21．（2018?新课标Ⅱ文节选）如图，在三棱锥中，，，为的中点．证明：平面．
22．（2019?云南模拟）如图，在三棱锥中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD，BD上，且．求证：（1）EF∥平面；（2）．
23．（2019?重庆模拟）如图，四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，
∠ABD=∠CBD，AB=BD．证明：平面ACD⊥平面ABC．
24．（2019?山东模拟）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E平面ABCD．
（1）证明：∥平面B1CD1；（2）设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1．
25．（2018?北京模拟）如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．
26．（2019?天津模拟）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
27．（2019?天津模拟）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，．
（1）证明：直线平面；
（2）若的面积为，求四棱锥的体积．
参考答案
1
2
3
4
5
10
11
12
16
17
C
C
D
D
D
D
C
C
C
B
1．【答案】C
2．【答案】C
【解析】由题意直线AB⊥平面BCD，直线CD⊥平面ABD，所以面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，共有3对，故选C．
3．【答案】D
【解析】①不正确，∵l⊥AB，l⊥AC时，平面α与平面β的夹角不一定为90°；②正确，∵l⊥AC，l⊥BC，AC∩BC=C，∴α⊥平面ABC；③不正确，∵AB∥l时，明显不会l⊥平面ABC；④正确，∵AB∥l，且A，B，C均不在直线l上，故l∥平面ABC．故选D．
4．【答案】D
【解析】对于A，l可能在平面α内，所以A错误；对于B，l可能在平面α内，所以B错误；对于C，l，m可能平行、相交、异面，所以C错误；对于D，因为l∥m，l⊥α，所以m⊥α，又因为α∥β，所以m⊥β，正确．故选D．
5．【答案】D
【解析】∵PO⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PO⊥AC，又∵AC⊥BO，PO∩BO=O，∴AC⊥平面PBD，因此，平面PBD中的4条线段PB、PD、PO、BD都与AC垂直．故选D．
6．【答案】4
【解析】∵PO⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴AC⊥PO，∵BO⊥AC，BO∩PO=O，∴AC⊥平面PBD，∴AC⊥PB，AC⊥BD，AC⊥PD，AC⊥PO，∴在图中与AC垂直的直线有4条．故答案为：4．
7．【答案】证明详见解析．
【解析】∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，
又∵SA⊥面ABC，∴SA⊥BC，∴BC⊥面SAC，∴BC⊥AD，
又∵SC⊥AD，SC∩BC=C，∴AD⊥面SBC．
AD?平面ADB，则平面ADB⊥平面SBC．
8．【答案】证明详见解析．
9．【答案】证明详见解析．
【解析】三棱锥A–BCD中，AB⊥平面BCD，且CD?平面BCD，∴AB⊥CD；
又CD⊥BD，AB?平面ABD，BD?平面ABD，且AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD．
10．【答案】D
【解析】对于选项A，由于平面α内的两条直线a和b不一定是两条相交直线，尽管有a∥β，b∥β，也不能推出α∥β．对于选项B，由于垂直于同一个平面的两个平面α和β可能平行、也可能相交，不能推出α∥β．对于选项C，根据平面α内有两条平行线，不能推出α∥β．对于选项D，由于两个平面α、β垂直于同一条直线，故有α∥β，故选D．
11．【答案】C
【解析】对于选项A，由线面垂直的判定，容易得到BC⊥平面PAC；再根据面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面PBC；对于选项B，由线面垂直的判定，容易得到AC⊥平面PAC；再根据面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面PBC；对于选项D，由平面PAC⊥平面ABC，BC⊥AC得到BC⊥平面PAC，由面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面PBC；所以选项C不能判定平面PAC⊥平面PBC．故选C．
12．【答案】C
【解析】∵PA垂直于△ABC所在平面，连结PB、PC，∵PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC，又∵PA?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC，∵PA垂直于△ABC所在平面，∴PA⊥BC，又∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．∴图形中互相垂直的平面有3对．故选C．
13．【答案】证明详见解析．
（2）如图，连接BD交AC于点M，则点M是BD的中点，
所以点D与点B到平面ACE的距离相等．
因为BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离．
因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE．
又因为AE=BE所以△AEB是等腰直角三角形，
因为AB=2，所以BE=2sin45°=，
又在Rt△CBE中，CE=，
所以BF=．
故点D到平面ACE的距离是．
14．【答案】证明详见解析．
15．【答案】证明详见解析．
【解析】（1）∵PB⊥底面ABC，AC?平面ABC，∴PB⊥AC，
又∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，
又PB∩AB=B，∴AC⊥面PAB；
（2）由（1）的结论，由BE?平面PAB，
∴AC⊥BE，又由BE⊥AP，AC∩AP=A，
∴BE⊥平面PAC，∴BE⊥PC．
∵BF⊥PC，BF∩BE=B，∴PC⊥平面BEF，∴PC⊥EF．
16．【答案】C
【解析】由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C．
17．【答案】B
【解析】设O为三角形ABC的中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等，因此，所以选B．
18．【答案】证明详见解析．
【解析】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．
又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC．
因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．
19．【答案】证明详见解析．
（3）如图，取中点，连接．
∵分别为和的中点，∴，且．
∵四边形为矩形，且为的中点，
∴，∴，且，
∴四边形为平行四边形，∴．
又平面，平面，∴平面．
20．【答案】证明详见解析．
【解析】由已知可得，=90°，．
又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．
又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．
21．【答案】证明详见解析．
22．【答案】证明详见解析．
【解析】（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以．
又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC．
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，
所以平面．
因为平面，所以．
又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，
所以AD⊥平面ABC，
又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC．
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
23．【答案】证明详见解析．
24．【答案】（1）证明详见解析．（2）证明详见解析．
【解析】（1）如图，取的中点，连接，
由于是四棱柱，所以，
因此四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）因为，，分别为和的中点，所以，
又平面，平面，所以
因为所以
又平面，，
所以平面
又平面，所以平面平面．
25．【答案】（1）证明详见解析．（2）证明详见解析．（3）．
【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直．
26．【答案】（1）；（2）证明详见解析；（3）．
【解析】（1）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．
因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
在中，由已知，得，故．
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．
（2）因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD．
又因为BC//AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点考查内容，而证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，而线线垂直又可通过线面垂直得到，用几何法求线面角，关键是找到斜线的射影，斜线与其射影所成的角就是线面角．
27．【答案】证明详见解析．
【解析】（1）在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC∥AD．
又，，故BC∥平面PAD．
（2）取AD的中点M，连结PM，CM，
由及BC∥AD，∠ABC=90°，
得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD．
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：
（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．
（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．
（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．