人教版高中数学必修二知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.1 直线的倾斜角与斜率

知识
一、直线的倾斜角
1．直线的确定
在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可.
2．直线倾斜角的概念
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
倾斜角与倾斜程度
平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.
3．倾斜角的取值范围
当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是 .
如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角.
二、直线的斜率
1．斜率的定义
我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即.
注：倾斜角是90°的直线没有斜率.
2．斜率与倾斜角之间的关系
当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴 ；?
当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着 ；?
当α=90°时，斜率k (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）；?
当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着 .?
3．直线的倾斜程度
（1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用 表示直线的倾斜程度.
（2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度.
三、过两点的直线的斜率公式
1．公式
经过两点的直线的斜率公式为 .
2．公式的推导
如图(1)，(2)，设直线的倾斜角为α(α≠90°)，当直线的方向(即从指向的方向)向上时，过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两条直线相交于点Q,于是点Q的坐标为.
如图（1），当α为锐角时，.
在中，.?
如图（2），当α为钝角时，α=180°?θ（设),..
在中，,
于是可得，即.?
同样，当直线的方向向上时，如图（3）,（4），也有,即.?
综上所述，经过两点的直线的斜率公式为 .
名师提醒
（1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.
（2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.
（3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时.
四、两直线平行
1．特殊情况下的两条直线平行的判定
两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 ，故它们互相平行.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定
两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的 相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ，即.
证明如下：
设两条直线的斜率分别为.
如果(如图)，那么它们的倾斜角相等，即.∴,∴.
反过来，如果两条直线的斜率相等，即,那么.
由于，∴.又两条直线不重合，∴.?
五、两直线垂直
1．特殊情况下的两条直线垂直的判定
当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于?1，那么它们互相 ，即.
证明如下：
设两条直线与的倾斜角分别为与.?
如果,这时.否则,则,与相矛盾.?
设(如下图)，?
图(1)的特征是与的交点在x轴上方；?
图(2)的特征是与的交点在x轴下方；?
图(3)的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有.?
∵,的斜率分别是,且，∴.?
∴.∴,即.?
反过来，若，即.不失一般性，设，则,即,
∴.
知识参考答案：
一、2．向上
3．0°≤α<180°
二、1．正切值
2．平行或重合 增大 不存在 增大
3．斜率
四、1．90°
2．斜率 平行
五、1．90° 0°
2．?1 垂直
重点
重点
直线的斜率、过两点的直线的斜率公式、两条直线的平行、垂直关系
难点
直线的倾斜角与斜率的关系、两条直线平行与垂直的综合应用
易错
直线的倾斜角与斜率的变化关系、斜率不存在的情况
1．求直线的斜率
（1）已知倾斜角求斜率时，若，根据公式直接计算.当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入计算.
（2）已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算.
【例1】经过两点A(4,2y＋1),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y?的值为
A．-1 B．-3
C．0 D．2
【答案】A
【例2】已知点M，N的坐标分别是，直线l经过点，且与线段MN相交.?
（1）求直线PM与PN的斜率；
（2）求直线l的斜率k的取值范围．
【解析】（1）由题意与斜率公式可知，直线PM与PN的斜率分别为.?
（2）如图，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线，当l由PN位置旋转到l′位置时，倾斜角增大到90°，又，∴.?
当l从l′位置旋转到PM位置时，倾斜角大于90°，又，∴.?
综上所述，.
【归纳总结】求直线的斜率的方法：
（1）定义法.已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率.
（2）公式法.若直线过两点,且,则斜率.
（3）数形结合法.已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下l的斜率，若直线PA,PB的斜率均存在，则步骤为：
①连接PA，PB；
②由求出；
③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围.
2．三点共线问题
两点即可确定一条直线，要证三点共线，只要证过同一点的两直线的斜率相等即可.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴，即斜率不存在的情况.斜率存在的前提下，当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时，三点共线.
【例3】求证：三点共线．
【名师点评】若点A、B、C都在某条斜率存在的直线上，那么由任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率，即;若或,则直线AB与BC或AB与AC的斜率相同，且又过同一点B或A,因此直线AB与BC或AB与AC重合.
【例4】若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A,B,C三点共线,求x的值.
【解析】由题意,可知直线AB,AC的斜率存在,
又A,B,C三点共线,则kAB=kAC,即,解得x=10.
3．直线的斜率、倾斜角的应用
解决几何图形中直线的倾斜角与斜率的综合问题时，要善于利用几何图形的几何性质，注意倾斜角是几何图形中的夹角还是它的邻补角；也可以利用经过两点的直线的斜率公式，先求斜率，再求倾斜角.
光的反射问题中，反射角等于入射角，但反射光线所在直线的斜率并不等于入射光线所在直线的斜率.当镜面水平放置时，上述斜率之间是互为相反数的关系.另外，在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.
【例5】光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4,3)，试求点Q的坐标及入射光线的斜率．
4．直线的倾斜角与斜率的关系
（1）直线的倾斜角α与斜率k的关系：，由直线的倾斜角能求斜率，反过来，由直线的斜率能求倾斜角.注意倾斜角的取值范围是.
（2）在范围内，，且k随着α的增大而增大；在范围内，，且k随着α的增大而增大.但在范围内， k并不是随着α的增大而增大的.
【例6】已知直线l的倾斜角范围为[45°，135°]，求直线l的斜率的范围.?
【解析】应进行分类讨论：
当倾斜角α=90°时，l的斜率不存在；?
当α[45°,90°)时，l的斜率;?
当α(90°,135°]时，l的斜率.?
∴l的斜率不存在或斜率.
5．两条直线的平行关系
在判断两条直线是否平行时，首先应判断直线的斜率是否存在，然后根据斜率的关系进行判断，同时不要漏掉两条直线重合的情况.
【例7】根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点Α(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)；
(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点，；
(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5).
6．两条直线的垂直关系
判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于?1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
【例8】根据下列给定的条件,分别判断直线l1与l2是否垂直:
(1)l1经过点A(1,3),B(-1,-1),l2经过点C(2,1),D(4,0);
(2)l1经过点E(-1,3),F(-1,-5),l2经过点G(2,4),H(-1,4);
(3)l1的倾斜角为30°,l2经过点M(1,),N(2,0);
(4)l1经过点P(2,-1),Q(3,4),l2经过点R(5,2),S(0,1).
【思路点拨】若斜率均存在，求出斜率，利用进行判断，注意数形结合及斜率不存在的特殊情况.
7．根据直线的位置关系求参数
已知两直线平行或垂直求解参数的相关问题时，首先需考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解；若斜率不存在，则需注意特殊情形.此外，已知两直线垂直求解参数时，还需注意斜率是否为零.
【例9】已知直线经过点,直线经过点.
（1）若,求的值;
（2）若,求的值.
【解析】由题意知直线的斜率存在且.
（1）若,则直线的斜率也存在,又,
由,得,解得或.
经检验,当或时, .
（2）若，当时, ,,不符合题意;
当时,直线的斜率存在且不为0,则直线的斜率也存在，且,即,解得或.
经检验，当或时，.
【例10】已知点A(?2，?5)，B(6，6)，点P在y轴上，且∠APB=90°，则点P的坐标为
A．(0，?6) B．(0，7)
C．(0，?6)或(0，7) D．(?6，0)或(7，0)
【答案】C
8．两直线平行和垂直的综合应用
利用直线平行与垂直的条件判断三角形或四边形的形状是常见题型，同时要熟知各种图形的特点及判定方法.证明两直线平行时，仅有斜率相等是不够的，注意排除两直线重合的情况.
【例11】已知,试判断四边形ABCD的形状.
【解析】由题意，可得,
∴.
∴AB∥CD,BC∥DA.
∴四边形ABCD为平行四边形.
又,
∴直线AB与BC垂直，即∠ABC=90°.
∴四边形ABCD为矩形.
【思路点拨】画图直观猜想四边形ABCD是矩形.要说明四边形ABCD为矩形，只要计算,再结合两条直线平行、垂直的判定求解即可.
9．求直线的倾斜角时忽略斜率不存在的情况
【例12】求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围.
【错解】由斜率公式可得直线AB的斜率.
当m>1时，，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°;
当m<1时，，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
【错因分析】利用斜率公式求直线的斜率的条件是“”.而错解中没有考虑m=1的情况，忽略了斜率不存在的情况.
【正解】当m=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的倾斜角α=90°.?
当m≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率，?
当m>1时，，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°；?
当m<1时，，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
【误区警示】求直线斜率时，一定要根据题目条件对斜率是否存在作出判断，以免漏解.
10．忽略直线斜率的存在性致错
【例13】已知,若直线，求的值.
【错解】由斜率公式知，,.
∵,∴，即，解得m=1,
∴m的值为1.
【错因分析】漏掉了直线斜率不存在的情况.
【正解】∵A,B两点纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行.
∵AB⊥CD,∴CD与x轴不垂直，.
当AB与x轴垂直时，,解得,而时，C,D纵坐标均为，则CD∥x轴，此时AB⊥CD,满足题意.
当AB与x轴不垂直时，由斜率公式知，,
.
∵AB⊥CD,∴,即,解得m=1.
综上，m的值为1或.
【误区警示】对于含有参数的直线垂直问题，要分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，避免漏解.
基础训练
1．关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是
A．所有的直线都有倾斜角和斜率
B．所有的直线都有倾斜角，但不一定都有斜率
C．直线的倾斜角和斜率有时都不存在
D．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角
2．已知直线经过点与点，则该直线的倾斜角为
A．150° B．75°
C．135° D．45°
3．直线的斜率为2，，直线l2过点，且与y轴交于点P，则P点坐标为
A． B．
C． D．
4．如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为
A． B．
C． D．
5．若直线l经过点(a?2，?1)和(?a?2，1)，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是
A． B．
C． D．
6．已知A(?4,2)，B(6，?4)，C(12，6)，D(2，12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD中正确的个数为
A．1 B．2
C．3 D．4
7．若l1过点A(m,1)，B(?3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且，则m=__________.
8．若过点P(1,1),Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是__________.?
9．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角.
(1)A(0，－1)，B(2，0).
(2)P(5，－4)，Q(2，3).
(3)M(3，－4)，N(3，－2).
10．当m为何值时，过A(1，1)，B(2m2＋1，m?2) 两点的直线：
（1）倾斜角为135°；
（2）与过两点(3，2)，(0，?7)的直线垂直；
（3）与过两点(2，?3)，(?4，9)的直线平行？
11．已知A(1，5)，B(?1，1)，C(3，2)，若四边形ABCD是平行四边形，求D点的坐标．
能力提升
12．已知M(a，b)，N(a，c)(b≠c)，则直线MN的倾斜角是
A．不存在 B．45°
C．135° D．90°
13．如果直线l过点(1，2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是
A．[0,1] B．[0,2]
C． D．(0,3]
14．若直线的斜率是方程的两根，则l1与l2的位置关系是
A．平行 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
15．已知经过点A(3,n),B(5,m)的直线l1与经过点P(-m,0),Q(0,n2)(mn≠0)的直线l2平行,则的值为
A．-1 B．-2
C．-1或2 D．-2或1
16．设点A(2， -3) ，B(-3， -2)，直线l过点P(1， 1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是
A．或k≤- 4 B．-4≤k<
C．≤k≤4 D．以上都不对
17．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角与斜率．
18．在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1,t)、Q(1-2t,2+t)、R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
参考答案
1
2
3
4
5
6
12
13
14
15
16
B
C
D
A
A
C
D
B
D
C
A
1．【答案】B
【解析】任何直线都有倾斜角，但是并不是所有的直线都有斜率，当直线的倾斜角为直角时，直线的斜率不存在，所以A，C，D错误，B正确，故选B.
2．【答案】C
【解析】直线的斜率为，又倾斜角，,所以，故选C.
3．【答案】D
4．【答案】A
【解析】根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A正确．
5．【答案】A
【解析】直线l的斜率为，依题意得，∴.
6．【答案】C
【解析】由题意得
，所以AB∥CD，AB⊥AD，AC⊥BD.
7．【答案】0
【解析】∵l1∥l2，且，∴，∴m=0.
8．【答案】(-∞,)
【解析】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系.因为kPQ=，又kPQ=tan α，90°<α<180°，则tan α<0,即<0,∴a<.
9．【解析】(1)，
因为kAB＞0，所以直线AB的倾斜角是锐角.
(2)，
因为kPQ＜0，所以直线PQ的倾斜角是钝角.
(3)因为xM＝xN＝3，
所以直线MN的斜率不存在，其倾斜角为直角.
11．【解析】设D(x，y)，则，，，，
由AB∥CD，得，即y=2x?4.①
由AD∥BC，得，即x?4y＋19=0.②
由①②解得.
∴D点的坐标为(5，6)．
12．【答案】D
【解析】∵MN⊥x轴，∴直线MN的倾斜角为90°.
13．【答案】B
【解析】过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线的斜率时，图象不过第四象限，故l的斜率的取值范围是[0,2].
14．【答案】D
【解析】因为方程有两个不相等的实数根，直线l1，l2的斜率是方程的两根，所以，且，所以l1与l2垂直.故选D.
15．【答案】C
16．【答案】A
【解析】,画图如图所示,观察可知或.
17．【解析】由题意可得AD∥BC，从而可知AD与BC所在直线的倾斜角都为60°，其斜率都为tan 60°=.
又AB∥CD，且AB与x轴重合，
所以AB与CD所在直线的倾斜角都为0°，其斜率都为tan 0°=0.
因为AC和BD都是菱形的对角线，
所以AC与BD所在直线的倾斜角分别为αAC=30°，αBD=120°，其斜率分别为kAC=tan 30°=，kBD=
tan 120°=.