人教版高中数学必修二知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.2 直线的方程

知识
一、直线的点斜式方程
1．直线的点斜式方程的定义
已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为 .?
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的 ，简称 .??
当直线l的倾斜角为0°时(如图1)，,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是,或.
当直线l的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是,或.
深度剖析
（1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程.
（2）当取任意实数时，方程表示过定点的无数条直线.
2．直线的点斜式方程的推导
如图，设点是直线l上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得 (1),即 (2).
注意方程(1)与方程(2)的差异：点的坐标不满足方程(1)，但满足方程(2)，因此，点不在方程(1)表示的图形上，而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称为直线l的方程.
上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程(2)的解.对上面的过程逆推，可以证明以方程(2)的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点,斜率为k的直线l的方程.
二、直线的斜截式方程
1．直线的斜截式方程的定义
我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的 .?
如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即 叫做直线的 ，简称 .??
当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线.
深度剖析
（1）纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在，比如当直线与y轴平行时.
（2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示.
2．直线的斜截式方程的推导
已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为k，求直线l的方程.这个问题相当于给出了直线上一点及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的一种特殊情况，代入点斜式方程可得,即.
三、直线的两点式方程
1．直线的两点式方程的定义
已知直线过两点,当时，直线的方程为 .这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式.
2．直线的两点式方程的推导
已知直线过两点(其中)，此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的.?
当时，所求直线的斜率.?
任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得,?
当时，可写为.
四、直线的截距式方程
1．直线的截距式方程的定义
已知直线过点，()，则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为 ___________.
我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的_____________，此时直线在轴上的截距是 ___________.
这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式.
2．直线的截距式方程的推导
已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中.
将两点,的坐标代入两点式，得,即.
五、中点坐标公式
若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为,则.此公式为线段的中点坐标公式.
六、直线系方程
1．过定点的直线系方程
当直线过定点时，我们可设直线方程为.由此方程可知，k取不同的值时，它就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点,当k取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点的许多直线，所以把这个方程叫做过定点的直线系方程.?
由于过点与x轴垂直的直线不能被表示，因此直线系 ()中没有直线.
2．平行直线系方程
在斜截式方程中，若k一定，而b可变动，方程表示斜率为k的一束平行线，这些直线构成的集合我们称之为平行直线系.
七、直线的一般式方程
1．直线的一般式方程
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
2．直线的一般式与斜截式、截距式的互化
直线的一般式、斜截式、截距式如下表：
一般式
斜截式
截距式
不同时为0)
都不为0)
直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化：
（1）当时,可化为,它表示在y轴上的截距为 ,斜率为 的直线.
（2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距为 的直线.
注意：解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式.
八、直线系方程
1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
2．垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为 (其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
九、一般式方程中两直线平行与垂直的条件
若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,，
则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：
（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且.
即,且或.
（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.
即.
知识参考答案：
一、　 点斜式方程 点斜式
二、截距 斜截式方程 斜截式
七、1． 2．（1） （2）
八、1． 2．
重点
重点
直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程，根据直线方程判定两直线的平行与垂直，
难点
直线系问题、直线方程的综合应用
易错
忽略直线重合的情形或直线方程成立的条件致错、忽略直线方程的局限性致错，忽略直线斜率不存在的情况或两直线重合的情形致错
1．直线的点斜式方程
用点斜式求直线的方程，确定直线的斜率和其上一个点的坐标后即可求解.
【例1】已知点和直线l：.求：
（1）过点A且与直线l平行的直线方程；
（2）过点A且与直线l垂直的直线方程.
【解析】因为直线l：，所以该直线的斜率.
（1）过点且与直线l平行的直线方程为.
（2）过点且与直线l垂直的直线方程为.
【例2】已知在第一象限的中,A(1,1),B(5,1),且∠CAB=60°,∠CBA=45°,求边AB,AC和BC所在直线的点斜式方程.
【解析】由A(1,1),B(5,1)可知边AB所在直线的斜率为0,故边AB所在直线的方程为y-1=0.
由AB∥x轴,且在第一象限，知边AC所在直线的斜率kAC=tan 60°=,边BC所在直线的斜率kBC=tan(180°-45°)=-1,
所以,边AC所在直线的方程为y-1=(x-1),边BC所在直线的方程为y-1=-(x-5).
2．直线的斜截式方程
根据斜率和截距的几何意义判断k，b的正负时，
（1）直线呈上升趋势；直线呈下降趋势；直线呈水平状态.
（2）直线与y轴的交点在x轴上方；直线与y轴的交点在x轴下方；直线过原点.
【例3】已知直线l与直线y=-2x+3的斜率相同,且在y轴上的截距为5,求直线l的斜截式方程,并画出图形.
【名师点评】直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情形.
【例4】已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l的方程.
【解析】设直线l的方程为.
则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.
由已知可得，即b2＝1，
所以b＝±1.
从而所求直线l的方程为或.
3．直线的两点式方程
已知直线上两点的坐标求解直线方程，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得.代入点的坐标时注意横纵坐标的对应关系.若点的坐标中含有参数，需注意当直线平行于坐标轴或与坐标轴重合时，不能用两点式求解.
【例5】已知三角形的三个顶点Α(－4，0)，B(0，－3)，C(－2，1)，求：
(1)BC边所在的直线的方程；
(2)BC边上中线所在的直线的方程.
4．直线的截距式方程
（1）由已知条件确定横、纵截距.
（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式中，可得所求的直线方程．
（3）如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件时，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况.
【例6】已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．
【解析】设直线的方程为，则，①
又直线过点，∴，②
由①②得或.
∴直线的方程为或，即或．
5．直线的一般式方程
（1）直线的一般式方程中要求A,B不同时为0.
（2）由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件.
【例7】若直线不经过第二象限,则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】将直线的方程整理得y-=(x-),所以直线过定点A(),直线OA的斜率==3,要使不经过第二象限,需斜率≥=3,所以.
【例8】设直线的方程为，根据下列条件分别确定的值：
(1)在轴上的截距是；
(2)的斜率是．
6．中点坐标公式的应用
（1）利用中点坐标公式可求以任意已知两点为端点的线段的中点坐标.（2）从中点坐标公式可以看出线段中点的横坐标只与的横坐标有关，中点的纵坐标只与的纵坐标有关.
【例9】已知，则过点和线段的中点的直线方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
7．直线过定点问题
本题考查了直线过定点的问题，实际上就是考查直线方程的点斜式，同时要利用数形结合的思想解题. 若直线存在斜率，则可以把直线方程化为点斜式的形式，无论直线的斜率k取何值时，直线都过定点.
【例10】已知直线.
（1）求证：直线l过一个定点；
（2）当时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．
【解析】（1）由，得．由直线方程的点斜式可知，直线过定点．
（2）设函数，显然其图象是一条直线(如图)，
若使时，直线上的点都在x轴上方，需满足,即,
解得.
所以实数k的取值范围是.
8．直线的平移规律
直线上下(或沿y轴)平移个单位长度，得(上加下减)；直线左右(或沿x轴)平移个单位长度，得(左加右减).
【例11】已知直线，将直线向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到直线，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】根据直线的平移规律，可得直线的方程为，即.
9．点斜式和斜截式的实际应用
由直线的斜截式方程与一次函数的表达式的关系，利用一次函数的图象和性质求出直线方程，可以解决实际问题.
【例12】一根弹簧挂6 kg的物体时长11 cm,挂9 kg的物体时长14 cm.已知弹簧长度l(cm)和所挂物体的质量ω(kg)的关系可用直线方程来表示,用点斜式表示这个方程,并根据这个方程,求弹簧长度为13 cm时所挂物体的质量.
10．由直线的位置关系求参数
对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线的方程分别为(,不同时为0)，(,不同时为0)，则,且或;.
【例13】求m，n的值，使直线l1：y=(m?1)x?n＋7满足：
（1）平行于x轴；
（2）平行于直线l2：7x?y＋15=0；
（3）垂直于直线l2：7x?y＋15=0.
【解析】（1）当直线 l1平行于x轴时，直线l1的斜率为0，即m?1=0，m=1．又直线l1不与x轴重合，所以，即.综上，当m=1且n≠7时，直线 l1平行于x轴.
（2）将7x?y＋15=0化为斜截式得，y=7x＋15，∴直线l2的斜率k2=7，截距b=15，
当l1∥l2时，应有直线l1的斜率k1=7且截距b1≠15，即m?1=7且?n＋7≠15，∴m=8，且n≠?8.
（3）由题意及（2）可得(m?1)·7=?1，，即时，l1⊥l2.
11．由直线的位置关系求方程
一般地,直线中的系数A,B确定直线的斜率.因此,利用平行直线系或垂直直线系直接设出直线方程，用待定系数法即可求解.
【例14】已知直线的方程为3x＋4y?12=0，求直线的方程，满足：?
（1）过点(?1，3)，且与平行；?
（2）过点(?1，3)，且与垂直.?
方法二：由与平行，可设的方程为3x＋4y＋m=0(m≠?12).将点(?1，3)代入上式得m=?9.?
∴所求直线方程为.?
（2）方法一：由题设的方程可化为：，
∴的斜率为，由与垂直，得的斜率为，
又过(?1，3)，由点斜式可得方程为，即4x?3y＋13=0.
方法二：由与垂直，可设的方程为4x?3y＋n=0.将(?1，3)代入上式得n=13.
∴所求直线方程为4x?3y＋13=0.
【例15】已知直线平行于直线，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程.
12．忽略了直线重合的情形致错
【例16】已知直线，当时，求m的值.?
【错解】∵的斜率，，∴的斜率也一定存在，?
由的方程得,由,得,?
解得或.?
∴m的值为3或.?
【错因分析】忽略了直线重合的情况，从而导致错误.
【正解】由题意的方程可化为,
则其斜率,在y轴上的截距.?
∵，∴的斜率一定存在，即.?
∴的方程为，斜率,在y轴上的截距.?
由,得,解得.?
∴m的值为.
【误区警示】当两直线的斜率存在时，两直线平行的等价条件是斜率相等且纵截距不相等，做题时容易忽略纵截距不相等，从而导致错解.?
13．忽略直线方程的局限性致错
【例17】求经过点，并且在两坐标轴上截距相等的直线的方程.
【错解】设直线方程为,将代入，得,解得.
故所求的直线方程为.
【错因分析】截距相等包含两层含义，一是截距不为0时的相等，二是截距为0时的相等，而后者常常被忽略，导致漏解.
【正解】（1）当截距为0时，直线过点，
∵直线的斜率为,
∴直线的方程为,即.
（2）当截距不为0时，可设直线的方程为,
∵直线过点，∴，∴，
∴直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
【误区警示】不同形式的方程均有其适用条件，在解题时应注意截距式方程的应用前提是截距均不为0且不垂直于坐标轴.
14．忽略直线斜率不存在的情况
【例18】已知直线:(2?a)x+ay?3=0, :(2a+3)x?(a?2)y+2=0互相垂直，求实数a的值.
【错解】将的方程化为,得斜率;将的方程化为,得斜率.∵⊥,∴,即,解得a=?1.?
【错因分析】将直线的一般式方程化成斜截式，再运用直线的斜率判断直线垂直，没有考虑直线的斜率不存在的情况，所以答案不完整.
【正解】因为⊥，则必有(2?a)(2a+3)?a(a?2)=0,即,所以a=2或a=?1.
【误区警示】⊥并不等价于，一般地，设直线的方程分别为，，则,且或;
.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．
基础训练
1．直线的方程
A．可以表示任何直线
B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与y轴垂直的直线
D．不能表示与x轴垂直的直线
2．直线过一、二、三象限，则
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
3．直线的图象可能是
4．与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是
A． B．y=2x＋4
C．y=?2x＋4 D．
5．在y轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为
A． B．
C． D．
6．若直线与直线垂直，垂足为，则的值为
A． B．
C．0 D．10
7．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为?4，则直线l的点斜式方程为________________；截距式方程为________________；斜截式方程为________________；一般式方程为________________．
8．直线必过定点 ．
9．已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值是________________.
10．已知中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0),则中平行于BC边的中位线所在直线的两点式方程是 .
11．以，为端点的线段的垂直平分线的一般式方程是________________.
12．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)直线斜率是，且经过点；
(2)直线过点，且垂直于轴；
(3)直线斜率为4，在轴上的截距为；
(4)直线在轴上的截距为3，且平行于轴；
(5)直线经过，两点；
(6)直线在，轴上的截距分别是，．
13．已知的顶点是，，．直线平行于，且分别交边、于、，的面积是面积的．
(1)求点、的坐标；
(2)求直线的方程．
14．(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
能力提升
15．两直线与的图象可能是图中的

A B C D
16．若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点
A．(0,4) B．(0,2)
C．(-2,4) D．(4,-2)
17．已知过点和点的直线为，，.若，，则实数的值为
A． B．
C．0 D．8
18．若三点共线，则 .
19．已知直线l过定点A(?2，3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．
20．设直线l的方程为．
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
参考答案
1
2
3
4
5
6
15
16
17
D
C
B
D
B
A
B
B
A
1．【答案】D
【解析】直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，即不能表示与x轴垂直的直线．故选D.
2．【答案】C
【解析】直线过一、二、三象限，所以它在x轴上的截距为负，在y轴上的截距为正，所以a＜0，b＞0.
3．【答案】B
【解析】由可知，斜率和在y轴上的截距必须异号，故B正确．
4．【答案】D
5．【答案】B
【解析】易知A(2，－1)，B(6,1)的中点坐标为(4,0)，即直线在x轴上的截距为4，则所求直线的方程为.
6．【答案】A
【解析】由两直线垂直得，将代入，得，将代入，得.
7．【答案】；；；
【解析】由直线l的倾斜角为60°，可得直线l的斜率为，由直线l在y轴上的截距为?4，可知直线l过点，所以可得直线l的点斜式方程为：.由直线l的点斜式方程可得直线l的斜截式方程为：，一般式方程为：.令，得，即直线l在x轴上的截距为，从而可得直线l的截距式方程为：.
8．【答案】(3，2)
【解析】将直线方程变形为y?2=a(x?3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2)．
9．【答案】-2或1
【解析】依题意，显然，当时，得，当时，得，则，即，得-2或1.
10．【答案】
【解析】平行于BC边的中位线就是AB,AC中点的连线.因为线段AB,AC中点的坐标分别为(,1),(-,-2),所以所求直线的方程为.
11．【答案】
12．【解析】（1）由点斜式得方程为，整理得．
（2），即．
（3），即．
（4），即．
（5）由两点式得方程为，整理得．
（6）由截距式得方程为，整理得．
13．【解析】(1)因为，且的面积是面积的，
所以、分别是、的中点，
由中点坐标公式可得点的坐标为，点的坐标为．
(2)由两点式方程，可知直线的方程为，即．
法二：(1)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
∴m的值为2或－3.
(2)由题意知直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意.
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
15．【答案】B
【解析】由，得y＝x－n；由，得y＝x－m，即两条直线的斜率同号且互为倒数，故选B.
16．【答案】B
17．【答案】A
【解析】，，解得.又，，解得，.故选A.
18．【答案】
【解析】易知直线BC的方程为，由点A在直线BC上，得，故.
19．【解析】显然l的斜率k存在且k≠0，可设l的方程为y?3=k(x＋2)，
令x=0，得y=2k＋3；令y=0，得，即直线l在两坐标轴上的截距分别为,2k＋3.
由题意得.∴.
当时，k不存在．
当时，解得，.
∴直线l的方程为x＋2y?4=0或9x＋2y＋12=0.
（2）将直线l的方程变形为y=?(a＋1)x＋a?2.依题意有，或.
解得a综上得a≤?1，即a的取值范围是(?∞，?1]．