人教版高中数学必修二知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题3.3 直线的交点坐标与距离公式

知识
一、两条直线的交点坐标
1．基础知识
几何元素及关系
代数表示
点M
直线l
不同时为0)
点M在直线l上
直线与的交点是M
方程组的解是_______
2．两条直线的交点
已知两条不重合的直线不同时为0),不同时为0)，如果这两条直线相交，则交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个直线方程的唯一公共解；如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点必是和的
____________.
3．两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的联系
直线与的位置关系
相交
重合
平行
直线与的公共点个数
一个
无数个
零个
方程组的解
_______
_______
无解
二、两点间的距离
1．两点间的距离公式
平面上任意两点间的距离公式为 .?
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离.
2．两点间距离公式的推导
已知平面上的任意两点，如何求点间的距离??
如图，过点分别向y轴和x轴作垂线和，垂足分别为,,直线与相交于点Q.?
在中，,过点向x轴作垂线，垂足为;过点向轴作垂线，垂足为,所以,同理可得.
所以.
由此得到平面上任意两点间的距离公式为.?
三、点到直线的距离
1．点到直线的距离
点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的 .
2．点到直线的距离公式
平面上任意一点到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离为 .
3．点到直线的距离公式的推导
如图，设，则直线l与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于R和S，则直线的方程为,R的坐标为;直线的方程为,S的坐标为,
于是有,,
.
设,由三角形面积公式可得,
于是得.
因此，点到直线l:Ax+By+C=0的距离.
可以验证，当A=0,或B=0时，上述公式也成立.
四、两条平行直线间的距离
1．两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间 的长.
2．两条平行直线间的距离公式
一般地，两条平行直线(其中A与B不同时为0，且)间的距离 .
3．两条平行直线间的距离公式的推导
对于两条平行直线(其中A与B不同时为0，且).
在直线上任取一点,则点到的距离即为与之间的距离，则.
∵点在直线上，∴,即.
∴两条平行直线, (其中A与B不同时为0，且)之间的距离为.
五、坐标法（解析法）
1．坐标法的定义
通过建立平面直角坐标系，设出已知点的坐标，求出未知点的坐标，把几何问题转化为代数问题，从而利用代数知识使问题得以解决，这种解决问题的方法叫做坐标法，也称为解析法.
2．坐标法解决问题的基本步骤
（1）建立适当的平面直角坐标系；
（2）设出已知点的坐标，求出未知点的坐标；
（3）利用已学的坐标公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论；
（4）反演回去，得到几何问题的结论.
也可简记为：
六、对称问题
对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称.
1．点关于点对称
点关于点的对称是对称问题中最基本的问题,是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.
设点关于点M(a,b)的对称点为P′(x,y),则有，所以，即点
.特别地,点P关于坐标原点O的对称点为.
2．点关于直线对称
对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为,则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系:
①（直线l的斜率存在且不为零）；
②线段的中点在直线l上；
③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即.
常见的点关于直线的对称点：?
①点关于x轴的对称点 ；
②点关于y轴的对称点 ；
③点关于直线y=x的对称点 ；
④点关于直线y=?x的对称点 ；
⑤点关于直线x=m(m≠0)的对称点；
⑥点关于直线y=n(n≠0)的对称点.
3．直线关于直线对称
（1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质：
①若与相交，则直线l是、夹角的平分线；
②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等；
③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l,且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）.充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法.
（2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0,
①l关于x轴对称的直线是 ;
②l关于y轴对称的直线是 ;
③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0;
④l关于直线y=?x对称的直线是A(?y)+B(?x)+C=0.
知识参考答案：
一、1． 2．交点 3．一组 无数组
六、2．
3．Ax+B(?y)+C=0 A(?x)+By+C=0
重点
重点
直线的交点问题，两点间距离公式的应用，点到直线的距离公式，两条平行直线间的距离公式
难点
坐标法(解析法)证明平面几何问题，对称问题，点、线间距离公式的综合应用
易错
解题过程出错或讨论不准确，计算出错或求直线方程时忽略斜率不存在的情形致错
1．直线的交点问题
将两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有唯一解，则两直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两直线无公共点，此时两直线平行；若方程组有无数组解，则两直线重合.
【例1】直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围为_________.?
【答案】(-,2)
【解析】联立,解得,即两直线的交点坐标为(,).
又交点在第四象限,则,解得-【例2】已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P,且垂直于直线2x+3y+5=0,求直线l的方程.
2．两点间距离公式的应用
平面上两点间距离公式的应用主要有以下两种：
（1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解.
（2）利用两点间距离公式可以判断三角形的形状.从三边长入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形,如果满足勾股定理，则是直角三角形.
【例3】已知的三个顶点分别是A(?1,0),B(1,0), ,则为
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因为|AB|=|1? (?1)|=2,，,
所以,故是直角三角形.选A.
【例4】已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使,并求|PA|的值.
3．点到直线的距离问题
（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
（2）对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或.
（3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
【例5】点到直线的距离为4，则
A．1 B．
C． D．
【答案】D
【解析】由点到直线的距离公式得，，解得k=或k=-3.故选D.
【例6】已知直线l经过点，则
（1）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且的面积为4，求直线l的方程；
（2）若直线l与原点的距离为2，求直线l的方程.
【解析】（1）设直线l的方程为，则点，
由题意得，解得，
所以直线l的方程为，即.
4．两条平行直线间的距离问题
解决两条平行直线间的距离问题的方法：（1）转化为点到直线的距离，其体现了化归与转化的数学思想．（2）直接套用公式，其中, ，需注意此时直线与的方程为一般式且x，y的系数分别相同．
【例7】若直线：与直线：平行，则与的距离为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由两直线平行的等价条件可得，在直线： 上取点，由于点到直线：的距离即为两平行线之间的距离，所以应选B.
【例8】已知直线l与直线l1：3x?y＋3=0和l2：3x?y?1=0的距离相等，则l的方程是__________________．
【答案】3x?y＋1=0
5．解析法证明平面几何问题
利用解析法解题的步骤：先建立坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行有关代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系.用解析法解决平面几何问题的关键是利用图形的对称性等建立适当的平面直角坐标系，简化运算过程.
【例9】用解析法证明：如果四边形ABCD是长方形，则对任一点M，等式|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2成立.
【解析】分别取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系,
设长方形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b).
在平面上任取一点,则|AM|2+|CM|2=m2+n2+(m-a)2+(n-b)2,|BM|2+|DM|2=(m-a)2+n2+m2+(n-b)2,所以|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2成立.
6．对称问题
利用对称性可解决下列问题：
（1）在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小.?
①当两定点不在直线的同一侧时，两点连线与直线的交点即所求；
②当两定点在直线的同一侧时，可借助点关于直线对称，将问题转化为①的情形来解决.
（2）在直线上求一点，使它到两定点距离之差的绝对值最大.
①当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边之差小于第三边，可知两定点的连线与直线的交点即所求；
当两定点不在直线的同一侧时，可借助点关于直线对称，将问题转化为①的情形来解决.
（3）一般将“关于直线对称的两条直线”的问题转化为“关于直线对称的两点”的问题加以解决.
①若已知直线与已知对称轴相交，则交点必在与直线对称的直线上，然后求出直线上任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线的方程；
②若已知直线与已知对称轴平行，则直线关于对称轴对称的直线与直线平行，可以利用直线与对称轴间的距离等于直线与对称轴间的距离求解.
【例10】已知点P,Q在直线上.
(1)若点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,求点P的坐标;
(2)若点Q到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,求点Q的坐标.
【解析】(1)如图所示,
设点B关于l的对称点B'的坐标为,
∵kl·kBB'=-1,即3×=-1,∴a+3b-12=0.　①
又线段BB'的中点坐标为(,),且中点在直线l上,∴3×--1=0,即3a-b-6=0.　②
由①②得a=3,b=3,∴B'(3,3).
于是直线AB'的方程为,即2x+y-9=0.
由,解得,
∴l与直线AB'的交点坐标为(2,5),
∴当点P到点A,B的距离之差最大时,点P的坐标为(2,5).
(2)如图所示,
【例11】某地A,B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1,2),B(4,0),一条河所在直线l的方程为x+2y-10=0.在河边上建一座供水站P分别向A,B两镇供水,若要使所用管道最省,则供水站P应建在什么地方?
【解析】如图,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交l于P,
若P'(异于P)在直线l上,则|AP'|+|BP'|=|A'P'|+|BP'|>|A'B|,因此供水站建在P处,才能使得所用管道最省.设A'(a,b),则AA'的中点在l上,且AA'⊥l,即,解得,即A'(3,6).
所以直线A'B的方程为6x+y-24=0.
解方程组,得.所以点P的坐标为(,).
故供水站P应建在(,)处.
【例12】已知直线l:3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.
【解析】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').
∵kPP'·kl=-1,∴·3=-1,　①
又PP'的中点在直线3x-y+3=0上,∴3·-+3=0.　②
联立①②,解得.
(1)把x=4,y=5代入③④,得x'=-2,y'=7,
∴P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).
(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l对称的直线方程为,
即7x+y+22=0.
7．直线过定点问题
求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：
（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.
【例13】求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．
8．点、线间距离公式的综合应用
利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法，数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题.
【例14】已知正方形ABCD的一边CD所在直线的方程为x＋3y?13=0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．
9．讨论失误
【例15】若三条直线:4x+y+4=0,:mx+y+1=0, :x?y+1=0不能围成三角形，求m的值.
【错解】当三条直线，，中至少有两条平行时，三条直线不能围成三角形.显然与不平行，只可能∥或∥.当∥时，m=4;当∥时，m=?1.
【错因分析】错解直接认为只有当存在两条直线平行时，不能构成三角形，而忽略了三线共点时也满足“不能构成三角形”这一条件.此时，只需先求出两直线交点的坐标，同时满足第三条直线的方程即可.?
【正解】显然与不平行，当∥或∥时不能构成三角形，此时对应m的值分别为m=4,m=?1;
当直线，，经过同一点时，也不能构成三角形.
由,得.代入的方程得?m+1=0,即m=1.?
综上可知m=4,?1,1.?
【误区警示】解决直线不能围成三角形的问题时，除了三线中至少有两条平行外，还要注意三线共点这一特殊情况.
10．求直线方程时忽略斜率不存在的情形致错
【例16】已知直线l过点A(1，2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为 . ?
【错解】由题意设直线l的方程为y?2=k(x?1)，即kx?y?k+2=0.因为原点到直线l的距离为1，所以，解得.所以所求直线l的方程为，即3x?4y+5=0.
【错因分析】符合题意的直线有两条，错解中忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了一条直线.
【正解】①当直线l过点A(1，2)且斜率不存在时，直线l的方程为x=1，原点到直线l的距离为1，满足题意.?
②当直线l过点A(1，2)且斜率存在时，由题意设直线l的方程为y?2=k(x?1)，即kx?y?k+2=0.因为原点到直线l的距离为1，所以，解得.
所以所求直线l的方程为，即3x?4y+5=0.
综上所述，所求直线l的方程为x=1或3x?4y+5=0.
【误区警示】当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误.
基础训练
1．直线3x＋5y＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0的交点是
A．(－2，1) B．(－3，2)
C．(2，－1) D．(3，－2)
2．两平行直线与之间的距离是
A． B．
C． 2 D．1
3．若点P(3，a)到直线的距离为1，则a的值为
A． B．
C．或 D．或
4．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．若两条直线2x?my＋4=0和2mx＋3y?6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
6．过点A(1,2)且与点P(3,2)距离最大的直线方程是
A．x＋2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．y＝1 D．x＝1
7．原点与点关于直线对称,则直线的方程是
A． B．
C． D．
8．已知直线，直线，直线，且直线与直线，分别交于，，则
A． B．
C． D．
9．已知直线，，且两直线间的距离为，则a＝__________.
10．在直线x?y＋4=0上存在一点P，使它到点M(?2,?4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________．
11．已知直线l:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.求证:不论m为何实数,直线l过定点.
12．在中,D是BC边上的任意一点(D与B,C不重合),且.求证: 为等腰三角形.
13．已知直线，，.
（1）若点在上，且到直线的距离为，求点P的坐标；
（2）若//，求与之间的距离.
14．（1）求与点P(3，5)关于直线l：x－3y＋2＝0对称的点P′的坐标．
（2）已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．
能力提升
15．直线关于直线x=1对称的直线方程是
A． B．
C． D．
16．若三条直线2x＋3y＋8=0，x?y?1=0和x＋ky=0相交于一点，则k的值等于
A．?2 B．
C．2 D．
17．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，则它们之间的距离d满足的条件是
A．0C．018．已知直线l在x轴上的截距为1，且A(?2，?1)，B(4,5) 两点到l的距离相等，则l的方程为__________．
19．已知直线和直线相交于点P(2,3)，则经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是________.
20．已知a＋b=3，则的最小值为__________．?
21．已知直线l过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截的线段中点M在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程．
22．某地东西有一条河，南北有一条路，A村在路西3公里、河北岸4公里处；B村在路东2公里、河北岸公里处．两村拟在河边建一座水力发电站，要求发电站到两村距离相等，问发电站建在何处？到两村的距离为多远？
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
15
16
17
A
A
D
B
C
D
B
B
D
B
B
1．【答案】A
【解析】由解得x=?2, y=1,故选A.
2．【答案】A
3．【答案】D
【解析】由题意得，∴，，∴或.
4．【答案】B
【解析】由两点间的距离公式求得：|AB|＝|AC|＝，|BC|＝，故为等腰三角形．
5．【答案】C
【解析】解出两直线的交点为，由交点在第二象限，得，解得.
6．【答案】D
【解析】如图，当过点A的直线恰好与直线AP垂直时，距离最大，故所求直线方程为x＝1.
7．【答案】B
【解析】由题意可知，直线l过点，且斜率为2，所以直线的方程是.
8．【答案】B
【解析】根据题意可得，，故等于两平行线与之间的距离，即．
9．【答案】－3或1
10．【答案】
【解析】设P点的坐标是(a，a＋4)，由题意可知|PM|=|PN|，即
，解得.
故P点的坐标是.
11．【解析】直线l的方程可化为m(x-2y-3)+2x+y+4=0,
由,解得,
∴直线l过定点(-1,-2).
12．【解析】作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设A(0,h),B(b,0),C(c,0),D(d,0).
已知，则由两点间距离公式得,化简得.
因为点D与点B，C不重合，所以,故,.?
所以|OB|=|OC|，于是|AB|=|AC|，即为等腰三角形.
14．【解析】（1）设P′(x0，y0)，则kPP′＝，PP′中点为.
∴，解得，
∴点P′的坐标为(5，－1)．
（2）当直线l1的斜率不存在时，方程为x＝1，此时l1与l的交点B的坐标为(1，4)．|AB|＝，符合题意．
当直线l1的斜率存在时，设为k，则，∴直线l1的方程为y＋1＝k(x－1)，
则l1与l的交点B为，
∴|AB|＝，
解得k＝－，∴直线l1的方程为3x＋4y＋1＝0.
综上可得，l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
15．【答案】D
【解析】在直线上任取两点(1,1),(0,),这两点关于直线x=1的对称点分别为(1,1),(2,),过这两点的直线方程为y-1=-(x-1)，即x+2y-3=0.选D.
16．【答案】B
【解析】解方程组，得.将其代入方程x＋ky=0中，得?1?2k=0，所以.
17．【答案】B
【解析】当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|=5，所以018．【答案】x=1或x?y?1=0
19．【答案】2x＋3y＝1
【解析】因为P(2,3)在直线l1和l2上，所以，
则点和的坐标是方程2x＋3y＝1的解，
所以经过点和的直线方程是2x＋3y＝1.
20．【答案】
【解析】点P(a，b)在直线x＋y?3=0上，而，?
可以看作是求点P(a，b)与点A(?5，2)的距离的最小值问题,即点A到直线x＋y?3=0的距离问题.?
点A(?5，2)到直线x＋y?3=0的距离，此即所求代数式的最小值.
解法二：设与l1，l2平行且距离相等的直线为l3：且，
由两平行直线间的距离公式得，解得C＝0，即l3：x－y＝0.
由题意得中点M在l3上，
又点M在x＋y－3＝0上．
解方程组得，
∴.
又l过点A(2,4)，
故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0.