人教版高中数学必修二知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题4.2 直线、圆的位置关系

知识
一、直线与圆的位置关系及判断
1．直线与圆的位置关系
（1）直线与圆____________，有两个公共点；
（2）直线与圆____________，只有一个公共点；
（3）直线与圆____________，没有公共点．
2．直线与圆的位置关系的判断方法
（1）几何判定法：
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：
①d>r?圆与直线_____________；
②d＝r?圆与直线____________；
③d（2）代数判定法：
由消元，得到一元二次方程的判别式，则
①?直线与圆____________；
②?直线与圆___________；
③?直线与圆____________．
二、弦长问题
设直线的方程为，圆的方程为，弦长的求法有几何法和代数法：
（1）几何法:如图（1）,直线与圆交于两点,设弦心距为,圆的半径为,弦长为,则有,即 .
（2）代数法:如图（2）,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是,则 (直线的斜率存在).
几何法比代数法运算量小,也比较直观、简单,故通常采用几何法解决圆的有关弦长问题．
三、圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,如图所示：
外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切.两圆相离——没有公共点，两圆相切——有惟一公共点，两圆相交——有两个不同的公共点.
2．圆与圆位置关系的判断
（1）几何法
位置关系
公共点个数
圆心距与半径的关系
图示
两圆相离
0
两圆内含
两圆相交
2
两圆内切
1
两圆外切
其中和分别是圆和圆的半径, .
（2）代数法
联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:
方程组解的个数
2
1
0
两圆的公共点个数
2
1
0
两圆的位置关系
.

相离或内含
四、直线和圆的方程的应用
直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中有着广泛的应用,用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用 表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过 ,解决代数问题;
第三步:把 结果“翻译”成几何结论.
名师提醒
用坐标法解决几何问题时应注意以下几点：（1）应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系，不可随便建立；（2）在实际问题中，有些量具有一定的限制条件，转化成代数问题时要注意取值范围；（3）最后一定要将代数结果转化成几何结论.
知识参考答案：
三、2．（2）相交 外切或内切
四、坐标和方程 代数运算 代数运算
重点
重点
1．直线与圆的位置关系及判定；
2．圆与圆位置关系及判定．
难点
1．直线与圆位置关系的综合问题；
2．直线与圆的方程的应用．
易错
1．忽视隐含条件致错；
2．两圆的位置关系考虑不全面致错．
1．直线与圆的位置关系及判定
判定直线与圆位置关系的常用方法：
（1）几何法：根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断．
（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断．
（3）直线系法：若动直线过定点，则点在圆内时，直线与圆相交；当在圆上时，直线与圆相切或相交；当在圆外时，直线与圆位置关系不确定．
【例1】判断直线x－2y＋1＝0与圆（x－1）2＋（y＋3）2＝1的位置关系．
【解析】方法一：（代数法）
将直线与圆的方程联立，得，消去x得5y2－2y＋12＝0，
∴Δ＝4－4×5×12＝－236＜0，则直线与圆相离．
方法二：（几何法）
圆（x－1）2＋（y＋3）2＝1的圆心为（1，－3），半径为1，则圆心到直线x－2y＋1＝0的距离，
故直线与圆相离．
【例2】已知直线方程，圆的方程．当为何值时，圆与直线：
（1）有两个公共点；
（2）只有一个公共点；
（3）没有公共点？
方法二：已知圆的方程可化为，
即圆心为，半径．
圆心到直线的距离．
（1）当，即或时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
（2）当，即或时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
（3）当，即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
2．弦长问题
涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种：
（1）几何法：利用半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解．
（2）代数法：将直线方程与圆的方程组成方程组，设出交点坐标，
若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解；
若交点坐标不易求，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可求弦长．
【例3】已知圆的方程为，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．
（1）当时，求的长；
（2）当弦被点平分时，写出直线的方程．
方法二：（代数法）
当时，直线的方程为，即，代入，得．
所以，
所以．
（2）如图，当弦被点平分时， ，
因为，所以，
所以直线的方程为，即．
【例4】已知圆过点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程及的最小值．
（2）直线的方程可化为点斜式，所以过定点．
又点在圆内，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦最小．
因为，所以的斜率，所以的方程为，即，
因为，所以．
3．求圆的切线方程
求切线方程的常用方法：
（1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法
先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则可直接得切线方程为或．
（2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法：
①几何方法．设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出．
②代数方法．设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出．
注意过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．
【例5】求圆x2+y2=10的切线方程，使得它经过点M（2，）．
【例6】过点作圆的切线，求此切线的方程．
【解析】∵，∴点在圆外．
（1）若所求直线的斜率存在，设切线斜率为，
则切线方程为．
因为圆心到切线的距离等于半径1，
所以，解得．
所以切线方程为，即．
（2）若切线斜率不存在，圆心到直线的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线的方程为．
综上，所求切线的方程为或．
4．利用直线与圆的位置关系求最值或范围问题
（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想．
（2）若是定圆上的一动点，则和这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法．?
①几何法．的最值：设，圆心到直线的距离为，由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值．
的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值．
②代数法．的最值：设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值．
的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值．
【例7】已知实数x、y满足x2+y2+4x+3=0，求：
（1）的最大值与最小值；
（2）（x-3）2+（y-4）2的最值．
【解析】（1）如图 （a），点M（x，y）在圆C：（x+2）2+y2=1上，Q（1，2），
设k=，即kx-y-k+2=0．
过点Q作圆C的两条切线QA、QB，
则直线QM夹在两切线QA、QB之间，所以kQA≤kQM≤kQB．
又由C（-2，0）到直线kx-y-k+2=0的距离为1，
得=1，解得k=．
所以的最大值为，最小值为．

（a） （b）
【例8】已知点在圆上．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值与最小值；
（3）求的最大值与最小值．
【解析】方程变形为
（1）表示圆上的点与原点连线的斜率，显然（为原点）与圆相切时，斜率最大或最小．
设切线方程为，即，
由圆心到切线的距离等于半径长2，可得，解得，
所以的最大值为，最小值为．
（2），它表示圆上的点到的距离的平方再加2，
所以，当点与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，
显然点在圆的外部，所以点与点距离的最大值为，
点与点距离的最小值为．
又，
所以的最大值为，最小值为．
5．圆与圆的位置关系及判定
判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆连心线的长，若，两圆外切；时，两圆内切；时，两圆外离；时，两圆内含；时，两圆相交．
根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径长的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况．
【例9】已知两圆：，，判断圆与圆的位置关系．
【解析】方法一：把圆的方程化为标准方程，得．所以圆的圆心坐标为，半径长．
把圆的方程化为标准方程，得．
圆的圆心坐标为，半径长．
圆和圆的圆心距，
又圆与圆的两半径长之和是，两半径长之差是．
而，即，所以，两圆的位置关系是相交．
【例10】试分别确定圆C1：与C2：外切、内切、相交、内含、外离时，k的取值范围．
【解析】将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：，C2：．
圆C1的圆心坐标为C1（-2，3），半径长r1=1；
圆C2的圆心坐标为C2（1，7），半径长r2=（k<50）．
从而圆心距d==5．
当两圆外切时，，即1+=5，解得k=34；
当两圆内切时，，即|1-|=5，解得k=14；
当两圆相交时，，即|1-|<5<1+， 解得14当两圆内含时，，即|1-|>5，解得k<14；
当两圆外离时，，即1+<5，解得34【例11】求与圆外切，且与直线相切于点M（3，）的圆的方程．
【名师点睛】明确求圆的方程是标准方程还是一般方程，然后根据几何关系建立方程（组）求得参数的值，从而得出所求的圆的方程． 注意在应用待定系数法时要尽量减少未知量的个数．
6．两圆的公共弦问题
（1）若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．
（2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解．
【例12】已知两圆和．
（1）试判断两圆的位置关系；
（2）求公共弦所在直线的方程；
（3）求公共弦的长度．
（2）将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为．
（3）方法一：两方程联立，得方程组，
两式相减得③，把③代入②得，∴．
∴，或．∴交点坐标为和．
∴两圆的公共弦长为．
方法二：两方程联立，得方程组
两式相减得，即为两圆相交弦所在直线的方程；
由，得，
其圆心为，半径．
圆心到直线的距离，
∴两圆的公共弦长为．
【例13】已知圆C1：x2+y2-10x-10y=0和圆C2：x2+y2-6x+2y-40=0相交，圆C过原点O，半径长为，圆心C在已知两圆公共弦所在的直线上，求圆C的方程．
【解析】设圆C1与圆C2交于A，B两点，两圆的方程相减，消去二次项得到一个二元一次方程x+3y-10=0，此方程为公共弦AB所在直线的方程．
又已知圆C的圆心C在两圆公共弦所在的直线上，即在直线AB上，设C（a，b），则a+3b-10=0　①，由|CO|=，得a2+b2=10　②，①②联立，解得a=1，b=3，
所以圆C的方程为（x-1）2+（y-3）2=10．
7．与两圆相切有关的问题
处理两圆相切问题时，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉两圆相切，则必须分两圆内切和外切两种情况讨论；其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径长之差的绝对值（内切时）或两圆半径长之和（外切时）．
【例14】已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．求的方程．
8．求过两圆交点的圆的方程
求过两圆交点的圆的方程，一般用代数法，即先求出两圆的交点，再利用圆的几何性质确定圆心的坐标和半径长；也可由题意设出所求圆的方程，再根据条件建立方程组，最后求出圆的方程，或直接用圆系方程求解，这样会使运算简洁．
过两圆和交点的圆系方程：（其中不含有圆，因此注意检验圆是否满足题意以防漏解）．
当时，方程变为，表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在；当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线）．
【例15】已知圆x2+y2-4x+2y=0，x2+y2-2y-4=0，
（1）求过两圆交点的直线方程；
（2）求过两圆交点，且圆心在直线2x+4y-1=0上的圆的方程．
【解析】（1）已知，
①-②得-4x+4y+4=0，即x-y-1=0，此即所求直线方程．
9．直线与圆的方程的应用
求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤：
（1）审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
（2）建系：建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程；
（3）求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；
（4）还原：将运算结果还原到实际问题中去．
【例16】有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?
【解析】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图所示，
设，则．在坐标平面内任取一点，
设从运货到地的运费为元/km，则从运货到地运费为元/km．
若地居民选择在地购买此商品，
则，整理得．
即点在圆：的内部．
也就是说，圆内的居民应在地购物．同理可推得圆外的居民应在地购物．
圆上的居民可随意选择两地之一购物．
10．忽视隐含条件致错
【例17】已知圆和定点，若过点的圆的切线有两条，则的取值范围是
A． B． C． D．
【错解】由题意知点必须在圆的外部，则，解得．故选A．
【错因分析】产生错解的原因是忽视了一个隐含条件：必须保证方程表示一个圆．
【正解】因为方程表示一个圆，所以，解得．又由错解知，要使在圆外，则，故．故选C．
11．两圆的位置关系考虑不全面致错
【例18】求半径长为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．
【错解】由题意知，所求圆的圆心为，半径长为4，
故可设所求圆的方程为．
将圆的方程化为标准方程，得，
∴圆的圆心为，半径长．
由两圆相切，得，∴，解得，
∴所求圆的方程为或．
【错因分析】上述错解只考虑了圆心在直线上方的情形，而漏掉了圆心在直线下方的情形，另外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的．
【正解】设所求圆的方程为，圆心为．又圆与直线相切且半径长为4，故圆心为或．圆的圆心为，半径长．
若两圆相切，则或．作分类讨论：
当取时，或（无解），故，
此时所求圆的方程为或．
当取时，或（无解），
∴，此时所求圆的方程为或．
综上所述，所求圆的方程为或或或．
【名师点睛】在解决两圆相切问题时，切记分内切和外切，不要遗漏．
基础训练
1．平行于直线x+2y+1=0且与圆x2+y2=4相切的直线的方程是
A．x+2y+5=0或x+2y–5=0 B．或
C．2x–y+5=0或2x–y–5=0 D．或
2．直线和圆x2+y2–4x+2y–20=0的位置是
A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心
C．相离 D．相切
3．以点（2，–1）为圆心且与直线x+y+5=0相切的圆的半径为
A． B． C．18 D．50
4．若直线x+y+a=0是圆x2+y2–2y=0的一条对称轴，则a的值为
A．1 B．–1 C．2 D．–2
5．已知直线y=mx–2与圆x2+y2–2x–4y–4=0相交于A、B两点，若|AB|=6，则m=
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知两圆的半径分别为6cm和8cm，圆心距为5cm，那么这两圆的公切线有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．已知两圆的半径分别为6cm和8cm，圆心距为2cm，那么这两圆的公切线有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．两圆x2+y2+6x–4y=0和x2+y2–6x+12y–19=0的位置关系是
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
9．若⊙O1与⊙O2相切，且O1O2=5，⊙O1的半径r1=2，则⊙O2的半径r2是
A．3 B．5 C．7 D．3或7
10．直线截圆x2+y2=4所得的弦长是
A．1 B． C．2 D．
11．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是___________．
12．圆x2+y2+4x–6y+4=0与圆x2+y2+2x–4y–3=0的公共弦所在的直线方程为___________．
13．若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x–5）2+y2=20相交于A、B两点，则线段AB的长度是___________．
14．两圆：x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y–4=0的公共弦所在直线方程为___________．
15．圆x2+y2–2x+y–3=0与圆x2+y2=2的位置关系是___________．
16．已知点A（–1，1）和圆C：（x–5）2+（y–7）2=4，求一束光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程．
17．若直线4x–3y+a=0与圆x2+y2=100（1）相交；（2）相切；（3）相离，分别求实数a的取值范围．
18．若圆x2+y2–2mx+m2–4=0与圆x2+y2+2x–4my+4m2–8=0相切，求实数m的所有取值组成的集合．
19．求圆C：（x–1）2+（y+1）2=2上的点与直线x–y+4=0距离的最大值和最小值．
能力提升
20．圆心为（2，0）的圆C与圆x2+y2+4x–6y+4=0相外切，则C的方程为
A．x2+y2+4x+2=0 B．x2+y2–4x+2=0
C．x2+y2+4x=0 D．x2+y2–4x=0
21．已知直线4x–3y+a=0与⊙C：x2+y2+4x=0相交于A、B两点，且∠AOB=120°，则实数a的值为
A．3 B．10 C．11或21 D．3或13
22．已知圆C：（x–1）2+（y–4）2=10和点M（5，t），若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围为
A．[–2，6] B．[–3，5] C．[2，6] D．[3，5]
23．已知直线ax+y–1=0与圆C：（x–1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为
A． B．–1 C．1或–1 D．1
24．已知直线l的方程y=k（x–1）+1，圆C的方程为x2–2x+y2–1=0，则直线l与C的位置关系是
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
25．过点（3，1）作圆（x+1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为
A．2x+y–=0 B．2x–y–=0
C．4x–y–=0 D．4x+y–=0
26．已知圆x2+y2+kx+2y+k2=0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是
A．（0，–1） B．（1，–1）
C．（–1，0） D．（–1，1）
27．已知圆（x+1）2+y2=1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是___________．
28．若直线y=kx与圆（x–2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为___________．
29．已知点P，Q分别是圆x2+y2=1和圆（x–3）2+（y+4）2=25上的动点，则PQ的最大值为___________．
30．已知圆O的方程为x2+y2=16．
（1）求过点M（–4，8）的圆O的切线方程；
（2）过点N（3，0）作直线与圆O交于A、B两点，求△OAB的最大面积以及此时直线AB的方程．
31．已知圆C的圆心为（2，1），且圆C与圆x2+y2–3x=0的公共弦所在的直线经过点（5，–2），求圆C的方程．
32．已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程．
33．求以圆C1：x2+y2–12x–2y–13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y–25=0的公共弦为直径的圆的方程．
真题练习
34．（2019?山东模拟）已知圆M：x2+y2–2ay=0（a>0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x–1）2+（y–1）2=1的位置关系是
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
35．（2018?新课标Ⅰ）直线y=x+1与圆x2+y2+2y–3=0交于A，B两点，则|AB|=___________．
36．（2019?重庆模拟）直线被圆x2+y2–2x=0截得的线段长为___________．
37．（2019?绵阳模拟）已知直线l：mx+y+3m–=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=___________．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
A
B
A
B
A
C
D
C
20
21
22
23
24
25
26
34
D
A
C
C
B
D
A
B
1．【答案】B
【解析】∵直线和直线x+2y+1=0平行，∴设切线方程为即x+2y+b=0，圆心坐标为（0，0），半径R=2，当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d==2，解得b=2或b=–2，故切线方程为x+2y+2=0或x+2y–2=0．故选B．
2．【答案】A
3．【答案】A
【解析】以点（2，–1）为圆心且与直线x+y+5=0相切的圆的半径，为此点到直线x+y+5=0的距离，即=3，故选A．
4．【答案】B
【解析】圆x2+y2–2y=0化为x2+（y–1）2=1，圆心坐标为（0，1），∵直线x+y+a=0是圆x2+y2–2y=0的一条对称轴，∴0+1+a=0，即a=–1．故选B．
5．【答案】A
【解析】圆C：x2+y2–2x–4y–4=0可化为：（x–1）2+（y–2）2=9，∴圆心C（1，2），半径为3，
∵|AB|﹦6，∴直线l：y=mx–2过圆心，∴2=m–2，∴m=4．故选A．
6．【答案】B
【解析】两圆的半径分别为r=6cm和R=8cm，圆心距为d=5cm，则：2=R–r7．【答案】A
【解析】∵两圆的半径分别为6cm和8cm，圆心距为2cm，圆心距等于半径差，即两圆内切，故两圆的公切线有1条，故选A．
8．【答案】C
【解析】∵圆x2+y2+6x–4y=0的圆心O1（–3，2），半径r1==2，圆x2+y2–6x+12y–19=0的圆心O2（3，–6），半径r2==4，|O1O2|==10，∴|r1–r2|<|O1O2|9．【答案】D
【解析】∵这两圆相切，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是内切或外切，O1O2=5，⊙O1的半径r1=2，所以外切：r1+r2=5解得r2=3或内切：r2–r1=5，解得r2=7．故选D．
10．【答案】C
11．【答案】相交
【解析】根据圆心（0，0）到直线y=x+1的距离为，小于半径1，可得直线和圆相交，故答案为：相交．
12．【答案】2x–2y+7=0
【解析】圆x2+y2+4x–6y+4=0与圆x2+y2+2x–4y–3=0，将两圆方程相减可得2x–2y+7=0，故答案为：2x–2y+7=0．
13．【答案】4
【解析】由题意，⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x–5）2+y2=20作差，可得公共弦方程为：x=1，由，解得A（1，2），B（1，–2）．?|AB|=4．故答案为：4．
14．【答案】x+y+2=0
【解析】经过两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y–4=0的交点的圆系方程为：（x2+y2+6x+4y）+
λ（x2+y2+4x+2y–4）=0，令λ=–1，可得公共弦所在直线方程为：x+y+2=0．故答案为：x+y+2=0．
15．【答案】相交
【解析】圆x2+y2–2x+y–3=0的圆心坐标为（1，–），半径为，圆x2+y2=2的圆心坐标为（0，0），半径为，圆心距为：，大于半径差，小于半径和，故两圆相交，故答案为：相交．
16．【答案】8
【解析】由反射定律，得点A（–1，1）关于x轴的对称点B（–1，–1）在反射光线上，
当反射光线过圆心时，最短距离为|BC|–R=–2=10–2=8，
故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为8．
17．【答案】（1）–5050．
18．【答案】{–，–，0，2}
【解析】将两圆分别化为标准方程得：（x–m）2+y2=4以及（x+1）2+（y–2m）2=9，
∴圆心坐标分别为A（m，0）和B（–1，2m），半径分别为2和3，
由两圆相切，得到|AB|=3+2或|AB|=3–2，
即=5或=1，
整理得（5m+12）（m–2）=0或m（5m+2）=0，解得m=–或2或0或–，
则实数m的所有取值组成的集合为{–，–，0，2}．
19．【答案】最大值为4，最小值为2
【解析】由题意可知当直线AC与直线x–y+4=0垂直时，垂足为D，且与圆交于A、B两点，
此时圆上的点与直线x–y+4=0的最大值为|AD|，最小值为|DB|，
由圆的方程可得圆心坐标为（1，–1），半径r=|AC|=|BC|=，
而圆心C到直线x–y+4=0的距离d=|CD|==3
则圆上的点与直线x–y+4=0距离的最大值|AD|=|AC|+|CD|=+3=4，
最小值|BD|=|CD|–|CB|=3=2．
20．【答案】D
【解析】圆x2+y2+4x–6y+4=0的圆心为M（–2，3），半径为r=3，CM==5，∴圆C的半径为5–3=2，∴圆C的标准方程为：（x–2）2+y2=4，即x2+y2–4x=0．故选D．
21．【答案】A
22．【答案】C
【解析】由题意，|CM|≤，∴（5–1）2+（t–4）2≤20，∴2≤t≤6，故选C．
23．【答案】C
【解析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，–a）到直线ax+y–1=0的距离等于r?sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得，∴a=±1，故选C．
24．【答案】B
【解析】圆C的方程为x2–2x+y2–1=0即（x–1）2+y2=2，表示以（1，0）为圆心、半径r=的圆．求出圆心到直线的距离为d=≤125．【答案】D
【解析】圆心（–1，0），r=1，圆心（–1，0）与点（3，1）的连线与A，B连线垂直，圆心（–1，0）与点（3，1）的连线的斜率k1=，∴AB连线斜率k2=–4，圆心（–1，0）与点（3，1）的中点（1，）在A，B连线上，∴直线AB：y–=–4（x–1），整理，得4x+y–=0．故选D．
26．【答案】A
【解析】由题意，圆的圆心坐标为（–，–1），圆的半径r=，要使圆的面积最大，即圆的半径r取最大值，故当k=0时，r取最大值1，∴圆心坐标为（0，–1）．故选A．
27．【答案】
28．【答案】，–4
【解析】由题意可得圆心（2，0）在直线2x+y+b=0上，故有4+0+b=0，求得b=–4．再根据直线y=kx和直线2x+y+b=0垂直，可得–2k=–1，∴k=，故答案为：，–4．
29．【答案】11
【解析】由题意，|PQ|的最大值为两圆的圆心距加上两个圆的半径．∵x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为1，（x–3）2+（y+4）2=25，的圆心为（3，–4），半径为5，∴|PQ|的最大值为+1+5=5+6=11．故答案为：11．
30．【答案】（1）过点M圆O的切线方程为3x+4y–20=0或x=–4；
（2）△OAB的最大面积为8，此时直线AB的方程为．
【解析】（1）已知圆O的方程为x2+y2=16．圆心为O（0，0），半径r=4，
①当切线的斜率存在时，设过点M（–4，8）的切线方程为y–8=k（x+4），
即kx–y+4k+8=0，
则，解得，
于是切线方程为3x+4y–20=0，
②当斜率不存在时，x=–4也符合题意．
故过点M圆O的切线方程为3x+4y–20=0或x=–4．
31．【答案】（x–2）2+（y–1）2=4
【解析】设圆的方程为（x–2）2+（y–1）2=r2，即x2+y2–4x–2y+5–r2=0，
它与圆x2+y2–3x=0相交的公共弦所在的直线方程为x+2y–5+r2=0，
将（5，–2）代入上式得r2=4，
所以圆C的方程是：（x–2）2+（y–1）2=4．
32．【答案】x0x+y0y=r2
【解析】当切线方程的斜率不存在时，切线方程为：x=x0；
当切线方程的斜率存在时，
由x2+y2=r2，可知圆心为原点（0，0），M（x0，y0），
所以直线OM的斜率k=，
根据所求切线与直线OM垂直得到切线的斜率k′=–，
则切线方程为y–y0=–（x–x0），即x0x+y0y–x02–y02=0，
综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2．
33．【答案】（x–2）2+（y+2）2=25
34．【答案】B
【解析】圆的标准方程为M：x2+（y–a）2=a2（a>0），则圆心为（0，a），半径R=a，圆心到直线x+y=0的距离d=，∵圆M：x2+y2–2ay=0（a>0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，∴2=
2=2=2，即，即a2=4，a=2，则圆心为M（0，2），半径R=2，圆N：（x–1）2+（y–1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，则MN=，∵R+r=3，R–r=1，
∴R–r35．【答案】2
【解析】圆x2+y2+2y–3=0的圆心（0，–1），半径为：2，圆心到直线的距离为：，所以|AB|=2=2．故答案为：2．
36．【答案】
37．【答案】4
【解析】由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=–，∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．