第一章 数与式
第6节 二次根式
考点1. 二次根式的概念和性质
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式：式子__ __叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件
①被开方数__ __；
②被开方数中__ __的因数或因式．
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．
注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关.
2．二次根式的性质：
(1) （a≥0）具有 性，一是 0，二是 ．
(2()2＝__ __．
(3)＝|a|＝
考点2. 二次根式的运算
1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 ．
2.乘除运算：（1）二次根式的乘法：·＝__ __(a≥0，b≥0)．
（2）二次根式的除法：＝__ __(a≥0，b＞0)．
3.运算顺序：先算乘方，再算 ，最后算 ，如果有 ，就先算 里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点1.二次根式的意义及性质
◇典例：
下列各式中，，，，，，二次根式的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次根式的定义．
【分析】根据形如 （a≥0）是二次根式，可得答案．
解：，，，是二次根式，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的定义，二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
（2019年江苏省盐城市）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥﹣2 C．x＞2 D．x＞﹣2
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】二次根式有意义，被开方数是非负数．
解：依题意，得
x﹣2≥0，
解得，x≥2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
（2019年湖南省益阳市）下列运算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．（2）2＝6 C．+＝ D．×＝
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．
解：A：＝2，故本选项错误，
B：＝12，故本选项错误，
C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误，
D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，属于基础计算能力的考查，本题较为简单．
◆变式训练
下列各式中，不是二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
（2019年江苏省连云港市）要使有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≤0
3．（2018年湖南省郴州市）计算：= ．
■考点2. 最简二次根式与同类二次根式
◇典例:
1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．
所以只有C选项符合最简二次根式的要求．
解：因为：A、=；
B、=2；
D、=|b|；
所以这三项都可化简，不是最简二次根式．
故选：C．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2．若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（ ）
A． B． C．2 D．5
【考点】同类二次根式．
【分析】根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可．
解：∵最简二次根式和能合并，
∴2x+1=4x﹣3，
解得x=2．
故选C．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
◆变式训练
1．若和都是最简二次根式，则m= ，n= ．
2．（2016年福建省龙岩）与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
■考点3.二次根式的运算?
◇典例：
（2019年山东省德州市）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．＝ C．＝±6 D．﹣＝﹣0.6
【考点】二次根式的性质，立方根
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案．
解：A、＝3，故此选项错误，
B、＝﹣，故此选项错误，
C、＝6，故此选项错误，
D、﹣＝﹣0.6，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
（2018年湖北省江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1= ．
【考点】二次根式的除法
【分析】根据二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则计算即可．
解：原式=+2﹣﹣2
=0
故答案为：0．
（2019年湖南省常德市）下列运算正确的是（ ）
A．+＝ B．＝3 C．＝﹣2 D．＝
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断，根据二次根式的性质对B、C进行判断，根据分母有理化和二次根式的性质对D进行判断．
解：A、原式＝+2，所以A选项错误，
B、原式＝2，所以B选项错误，
C、原式＝2，所以C选项错误，
D、原式＝＝，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
◆变式训练
（2019年湖南省株洲市）×＝（ ）
A．4 B．4 C． D．2
（2019年四川省达州市）下列判断正确的是（ ）
A．＜0.5 B．若ab＝0，则a＝b＝0
C．＝ D．3a可以表示边长为a的等边三角形的周长
3．（2018年山东省枣庄市）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．
下列各式一定是二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
（2019年广西河池市）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
（2019年山东省聊城市）下列各式不成立的是（ ）
A．﹣＝ B．＝2
C．＝+＝5 D．＝﹣
（2019年湖北省荆门市）﹣的倒数的平方是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
（2019年贵州省毕节市）下列四个运算中，只有一个是正确的.这个正确运算的序号是( )
①30+3﹣1＝﹣3；②﹣＝；③（2a2）3＝8a5；④﹣a8÷a4＝﹣a4.
A．① B．② C．③ D．④
（2019年重庆市（a卷））估计（2+6）×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
（2019年江苏省苏州市）若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________.
（2019年四川内江市）若|1001﹣a|+＝a，则a﹣10012＝ ．
（2019年吉林省长春市）计算：3﹣＝ ．
（2019年山东省菏泽市）已知x＝+，那么x2﹣2x的值是 ．
选择题
（2019年湖北省武汉市）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1
（2019年湖北省黄石市）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x＞1且x≠2 D．x＜1
（2019年湖北省宜昌市）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．6 C．18 D．
（2019年湖北省随州市）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
（2019年山东省淄博市（a卷））如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．2 C．2 D．6
填空题
（2019年广西百色市）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
（2019年湖南省长沙市）式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
（2019年江苏省镇江市）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
（2019年贵州省遵义市）计算3的结果是___．
（2019年江苏省镇江市）计算：﹣＝ ．
（2019年湖南省衡阳市）﹣＝ ．
（2019年安徽省）计算的结果是__________.
（2019年湖北省黄冈市）计算（）2+1的结果是 ．
（2019年天津市）计算的结果等于_____________．
（2019年山东省青岛市）计算：﹣（）0＝ ．
（2019年山东省滨州市（a卷））计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|+÷＝ ．
（2019年江苏省南京 ）计算的结果是_____________．
（2019年湖南省益阳市）观察下列等式：
①3﹣2＝（﹣1）2，
②5﹣2＝（﹣）2，
③7﹣2＝（﹣）2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式 ．
（2019年山东省枣庄市）观察下列各式：
＝1+＝1+（1﹣），
＝1+＝1+（﹣），
＝1+＝1+（﹣），
…
请利用你发现的规律，计算：
+++…+，
其结果为 ．
解答题
（2019年江苏省苏州市）计算：.
（2019年辽宁省大连市）计算：（﹣2）2++6
（2019年广西桂林市）先化简，再求值：（﹣）÷﹣，其中x＝2+，y＝2．
（2019年湖北省荆门市）先化简，再求值：（）2?﹣÷，其中a＝，b＝．
（2019年江苏省泰州市）（1）计算：（﹣）×，
（2）解方程：+3＝．
（2019年江苏省苏州市）先化简，再求值：，其中.
（2019年四川省南充市）计算：
（2019年湖南省邵阳市）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝﹣2．
（2019年浙江省嘉兴市）小明解答“先化简，再求值：+，其中x＝+1．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
第一章 数与式
第6节 二次根式
考点1. 二次根式的概念和性质
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式：式子__(a≥0)__叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件
①被开方数__不含分母__；
②被开方数中__不含开得尽方__的因数或因式．
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．
注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关.
2．二次根式的性质：
(1) （a≥0）具有双重非负性，一是a≥0，二是≥0．
(2()2＝__a(a≥0)__．
(3)＝|a|＝
考点2. 二次根式的运算
1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是 合并同类二次根式 ．
2.乘除运算：（1）二次根式的乘法：·＝____(a≥0，b≥0)．
（2）二次根式的除法：＝____(a≥0，b＞0)．
3.运算顺序：先算乘方 ，再算 乘除 ，最后算加减 ，如果有 括号 ，就先算 括号 里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点1.二次根式的意义及性质
◇典例：
下列各式中，，，，，，二次根式的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】二次根式的定义．
【分析】根据形如 （a≥0）是二次根式，可得答案．
解：，，，是二次根式，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的定义，二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
（2019年江苏省盐城市）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥﹣2 C．x＞2 D．x＞﹣2
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】二次根式有意义，被开方数是非负数．
解：依题意，得
x﹣2≥0，
解得，x≥2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
（2019年湖南省益阳市）下列运算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．（2）2＝6 C．+＝ D．×＝
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．
解：A：＝2，故本选项错误，
B：＝12，故本选项错误，
C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误，
D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，属于基础计算能力的考查，本题较为简单．
◆变式训练
下列各式中，不是二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【考点】二次根式的定义
【分析】根据各个选项中的式子可以判断哪个不是二次根式，本题得以解决．
解：∵ 是二次根式； 中，3﹣π＜0，故 不是二次根式；
是二次根式；
是二次根式；
故选B．
（2019年江苏省连云港市）要使有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≤0
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．
解：依题意得x﹣1≥0，
∴x≥1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．
3．（2018年湖南省郴州市）计算：= ．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．
解：原式=3．
故答案为：3
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
■考点2. 最简二次根式与同类二次根式
◇典例:
1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．
所以只有C选项符合最简二次根式的要求．
解：因为：A、=；
B、=2；
D、=|b|；
所以这三项都可化简，不是最简二次根式．
故选：C．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2．若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（ ）
A． B． C．2 D．5
【考点】同类二次根式．
【分析】根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可．
解：∵最简二次根式和能合并，
∴2x+1=4x﹣3，
解得x=2．
故选C．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
◆变式训练
1．若和都是最简二次根式，则m= ，n= ．
【考点】最简二次根式．
【分析】由于两二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．
解：由题意，知：，解得：；
因此m的值为1，n的值为2．
故答案为：1，2．
【点评】本题考查的最简二次根式的定义．当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．
2．（2016年福建省龙岩）与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【分析】根据化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
解：A、与﹣的被开方数不同，故A错误；
B、与﹣的被开方数不同，故B错误；
C、与﹣的被开方数相同，故C正确；
D、与﹣的被开方数不同，故D错误；
故选：C
■考点3.二次根式的运算?
◇典例：
（2019年山东省德州市）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．＝ C．＝±6 D．﹣＝﹣0.6
【考点】二次根式的性质，立方根
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案．
解：A、＝3，故此选项错误，
B、＝﹣，故此选项错误，
C、＝6，故此选项错误，
D、﹣＝﹣0.6，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
（2018年湖北省江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1= ．
【考点】二次根式的除法
【分析】根据二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则计算即可．
解：原式=+2﹣﹣2
=0
故答案为：0．
（2019年湖南省常德市）下列运算正确的是（ ）
A．+＝ B．＝3 C．＝﹣2 D．＝
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断，根据二次根式的性质对B、C进行判断，根据分母有理化和二次根式的性质对D进行判断．
解：A、原式＝+2，所以A选项错误，
B、原式＝2，所以B选项错误，
C、原式＝2，所以C选项错误，
D、原式＝＝，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
◆变式训练
（2019年湖南省株洲市）×＝（ ）
A．4 B．4 C． D．2
【考点】二次根式的乘除法
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
解：×＝＝4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
（2019年四川省达州市）下列判断正确的是（ ）
A．＜0.5 B．若ab＝0，则a＝b＝0
C．＝ D．3a可以表示边长为a的等边三角形的周长
【考点】实数大小比较，列代数式，二次根式的乘除法
【分析】根据实数的大小比较法则、二次根式的乘除法法则、列代数式的一般步骤判断即可．
解：A、2＜＜3，
∴＜＜1，本选项错误，
B、若ab＝0，则a＝0或b＝0或a＝b＝0，本选项错误，
C、当a≥0，b＞0时，＝成立，本选项错误，
D、3a可以表示边长为a的等边三角形的周长，本选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、实数的大小比较、列代数式，掌握二次根式的乘除法法则、实数的大小比较法则是解题的关键．
3．（2018年山东省枣庄市）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．
【考点】二次根式的应用
【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．
解：∵S=，
∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S==1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
下列各式一定是二次根式的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【考点】二次根式的定义
【分析】依据二次根式的被开方数大于等于0求解即可．
解：∵x2≥0，
∴x2+1＞0．
∴ 一定有意义．
故选：C．
（2019年广西河池市）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
解：A、原式＝，不符合题意，
B、是最简二次根式，符合题意，
C、原式＝2，不符合题意，
D、原式＝2，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解本题的关键．
（2019年山东省聊城市）下列各式不成立的是（ ）
A．﹣＝ B．＝2
C．＝+＝5 D．＝﹣
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
解：﹣＝3﹣＝，A选项成立，不符合题意，
＝＝2，B选项成立，不符合题意，
＝＝，C选项不成立，符合题意，
＝＝﹣，D选项成立，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（2019年湖北省荆门市）﹣的倒数的平方是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
【考点】二次根式的性质，算术平方根，实数的性质
【分析】根据倒数，平方的定义以及二次根式的性质化简即可．
解：﹣的倒数的平方为：．
故选：B．
【点评】本题考查了倒数的定义、平方的定义以及二次根式的性质，是基础题，熟记概念是解题的关键
（2019年贵州省毕节市）下列四个运算中，只有一个是正确的.这个正确运算的序号是( )
①30+3﹣1＝﹣3；②﹣＝；③（2a2）3＝8a5；④﹣a8÷a4＝﹣a4.
A．① B．② C．③ D．④
【考点】实数的运算，二次根式的加减，积的乘方，同底数幂的乘法
【分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简即可得出答案.
解：①30+3﹣1＝，故①错误；
②﹣无法计算，故②错误；
③(2a2)3＝8a6，故③错误；
④﹣a8÷a4＝﹣a4，正确，
故选D.
【点睛】本题考查了实数的运算、二次根式的加减、积的乘方、同底数幂的乘法等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
（2019年重庆市（a卷））估计（2+6）×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【考点】估算无理数的大小
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算．
解：（2+6）×，
＝2+6，
＝2+，
＝2+，
∵4＜5，
∴6＜2+＜7，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的乘法和无理数的估算，熟练掌握二次根式的计算法则是关键．
（2019年江苏省苏州市）若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________.
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可
解：要使有意义，则需要，解出得到
【点睛】本题考查根式有意义的条件，能够得到不等式是解题关键
（2019年四川内江市）若|1001﹣a|+＝a，则a﹣10012＝ ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】由二次根式有意义的条件得到a≥1002，据此去绝对值并求得a的值，代入求值即可．
解：∵a﹣100≥0，
∴a≥1002．
由|1001﹣a|+＝a，得﹣1001+a+＝a，
∴＝1001，
∴a﹣1002＝10012．
∴a﹣10012＝1002．
故答案是：1002．
【点评】考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
（2019年吉林省长春市）计算：3﹣＝ ．
【考点】二次根式的加减法
【分析】直接合并同类二次根式即可求解．
解：原式＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握同类二次根式的合并．
（2019年山东省菏泽市）已知x＝+，那么x2﹣2x的值是 ．
【考点】二次根式的化简求值
【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案．
解：∵x﹣＝，
∴x2﹣2x+2＝6，
∴x2﹣2x＝4，
故答案为：4
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式，本题属于基础题型．
选择题
（2019年湖北省武汉市）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥﹣1 C．x≥1 D．x≤1
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
解：由题意，得
x﹣1≥0，
解得x≥1，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式组是解题关键．
（2019年湖北省黄石市）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x＞1且x≠2 D．x＜1
【考点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件
【分析】分式有意义，分母不等于零，二次根式的被开方数是非负数．
解：依题意，得
x﹣1≥0且x﹣2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数，
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0，
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
（2019年湖北省宜昌市）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．6 C．18 D．
【考点】数学常识，二次根式的应用
【分析】利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积，
解：∵a＝7，b＝5，c＝6．
∴p＝＝9，
∴△ABC的面积S＝＝6，
故选：A．
【点评】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．
（2019年湖北省随州市）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
【考点】无理数，平方差公式，二次根式的性质与化简，分母有理化
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
解：设x＝﹣，且＞，
∴x＜0，
∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，
∴x2＝12﹣2×3＝6，
∴x＝，
∵＝5﹣2，
∴原式＝5﹣2﹣
＝5﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
（2019年山东省淄博市（a卷））如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．2 C．2 D．6
【考点】二次根式的应用
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．
解：由题意可得，
大正方形的边长为＝2，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：×（2﹣）＝2，
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
填空题
（2019年广西百色市）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
解：由在实数范围内有意义，得x﹣108≥0．
解得x≥108，
故答案是：x≥108．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
（2019年广西南宁市、北部湾经济区、北海市、崇左市、防城港市、钦州市）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据被开数x+4≥0即可求解，
解：x+4≥0，
∴x≥﹣4，
故答案为x≥﹣4，
【点评】本题考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键．
（2019年湖南省长沙市）式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
解：式子在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，
故实数x的取值范围是：x≥5．
故答案为：x≥5．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
（2019年江苏省镇江市）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
解：由题意得x﹣4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
（2019年贵州省遵义市）计算3的结果是___．
【考点】二次根式的加减
【分析】首先化简二次根式进而计算得出答案．
解：原式＝32．故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
（2019年江苏省镇江市）计算：﹣＝ ．
【考点】二次根式的加减法
【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．
解：＝2﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．
（2019年湖南省衡阳市）﹣＝ ．
【考点】二次根式的加减法
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
解：原式＝3﹣＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，难度一般．
（2019年安徽省）计算的结果是__________.
【考点】二次根式的除法
【分析】根据二次根式的除法计算即可.
解：，
故答案为：3
【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键.
（2019年湖北省黄冈市）计算（）2+1的结果是 ．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
解：原式＝3+1＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
（2019年天津市）计算的结果等于_____________．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据平方差公式计算即可．
解：原式=3﹣1=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记平方差公式是解题的关键．
（2019年山东省青岛市）计算：﹣（）0＝ ．
【考点】零指数幂，分母有理化，二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式混合运算的法则计算即可．
解：﹣（）0＝2+2﹣1＝2+1，
故答案为：2+1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟记法则是解题的关键．
（2019年山东省滨州市（a卷））计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|+÷＝ ．
【考点】负整数指数幂，二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的混合计算解答即可．
解：原式＝，
故答案为：2+4．
【点评】此题考查二次根式的混合计算，关键是根据二次根式的混合计算解答．
（2019年江苏省南京 ）计算的结果是_____________．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
解：
解：原式＝2-2＝0．
故答案为0．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
（2019年湖南省益阳市）观察下列等式：
①3﹣2＝（﹣1）2，
②5﹣2＝（﹣）2，
③7﹣2＝（﹣）2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式 ．
【考点】规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算
【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（﹣）2（n≥1的整数）．
解：写出第6个等式为13﹣2＝（﹣）2．
故答案为13﹣2＝（﹣）2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
（2019年山东省枣庄市）观察下列各式：
＝1+＝1+（1﹣），
＝1+＝1+（﹣），
＝1+＝1+（﹣），
…
请利用你发现的规律，计算：
+++…+，
其结果为 ．
【考点】规律型：数字的变化类，二次根式的性质与化简
【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
解：+++…+
＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）
＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝2018，
故答案为：2018．
【点评】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题的关键．
解答题
（2019年江苏省苏州市）计算：.
【考点】绝对值,零指数幂,二次根式的性质与化简
【分析】直接利用根式计算，绝对值计算和零指数幂的运算进行逐一计算即可
解：
【点睛】本题考查实数的简单计算，掌握计算法则是解题关键
（2019年辽宁省大连市）计算：（﹣2）2++6
【考点】二次根式的混合运算
【分析】直接利用完全平方公式以及结合二次根式的性质化简进而得出答案．
解：原式＝3+4﹣4+2+6×
＝3+4﹣4+2+2
＝7．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
（2019年广西桂林市）先化简，再求值：（﹣）÷﹣，其中x＝2+，y＝2．
【考点】分式的化简求值，分母有理化
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．
解：原式＝?+
＝+
＝，
当x＝2+，y＝2时，
原式＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
（2019年湖北省荆门市）先化简，再求值：（）2?﹣÷，其中a＝，b＝．
【考点】分式的化简求值，二次根式的乘除
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．
解：原式＝
＝
＝，
当a＝，b＝时，
原式＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（2019年江苏省泰州市）（1）计算：（﹣）×，
（2）解方程：+3＝．
【考点】二次根式的混合运算，解分式方程
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算，
（2）先去分母得到整式方程，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
解：（1）原式＝﹣
＝4﹣
＝3，
（2）去分母得2x﹣5+3（x﹣2）＝3x﹣3，
解得 x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣2≠0，x＝4为原方程的解．
所以原方程的解为x＝4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了分式方程．
（2019年江苏省苏州市）先化简，再求值：，其中.
【考点】分式的化简求值
【分析】先利用分式的运算规则将分式进行化简，然后将x值带入即可
解：原式
代入 原式
【点睛】本题考查分式的基础运算，掌握运算规则且细心是本题关键
（2019年四川省南充市）计算：
【考点】零指数幂，负指数幂，绝对值，二次根式的性质
【分析】直接利用零指数幂、负指数幂的性质以及绝对值、二次根式的性质分别化简得出答案．
原式=
=
=
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确应用整数指数幂和绝对值、二次根式的性质化简各数是解题关键．
（2019年湖南省邵阳市）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝﹣2．
【考点】分式的化简求值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
解：原式＝（﹣）÷
＝?
＝，
当m＝﹣2时，
原式＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
（2019年浙江省嘉兴市）小明解答“先化简，再求值：+，其中x＝+1．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【考点】分式的化简求值,二次根式的化简求值
【分析】先按异分母分式的减法法则化简，再代值求出即可。
解：步骤有误
原式=+==
当x=+1时，
原式==
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握异分母分式的减法法则是解题的关键．
