北师大版初中数学九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第3讲 正方形(基础)（含答案）

正方形（基础）

【学习目标】
1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；
2．掌握正方形的性质及判定方法．
【要点梳理】
要点一、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
要点二、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.
要点三、正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
要点四、特殊平行四边形之间的关系
/
或者可表示为：
/
要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、正方形的性质
/1、（2019?台湾）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（　　）
/
A．50 B．55 C．70 D．75
【思路点拨】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
【答案】C．
【解析】
解：∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF=90°，
∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，
∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．
故选C．
【总结升华】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键．
举一反三：
【变式1】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且
CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．
/
【答案】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°
∵E为BC延长线上的点，
∴∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠DCE．
在△BCF和△DCE中，
/，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴BF＝DE．
【变式2】（2018?咸宁模拟）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
/
A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】B；
提示：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=/（180°﹣150°）=15°，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；
故选：B．
/2、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB＝30°，求EF的长．
/
【思路点拨】要证明△ABE≌△DAF，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要证一条边对应相等即可．要求EF的长，需要求出AF和AE的长．
【答案与解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴△DAF≌△ABE．
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB＝30°，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠AGB＝30°，
∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°，
∵∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠AFD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，
∴DF⊥AG，
∴DF＝/
∴AF＝/
∵△ABE≌△DAF，
∴AE＝DF＝1，
∴EF＝/
【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．
举一反三：
【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．
/
【答案】
证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，
AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，
∵AB＝2BC，即BC＝BN＝/
∴BN＝/，即N为BE的中点，
∴EN＝NB＝BC，
∴△FNE≌△ECB，
∴FN＝EC．
类型二、正方形的判定
/3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．
/
【答案与解析】
解：是正方形，理由如下：
作DG⊥AB于点G．
∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴ DF＝DG．
同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．
∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，
∴ 四边形CEDF是矩形．
∵ DF＝DE．
∴ 四边形CEDF是正方形．
【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．
举一反三：
【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
/
【答案】
（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），
∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴2∠COD＋2∠COF＝180°，
∴∠COD＋∠COF＝90°，
∴∠DOF＝90°；
∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），
∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三线合一”的性质），
∴∠CDO＝90°，
∵CF⊥OF，
∴∠CFO＝90°
∴四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：
∵∠AOC＝90°，AD＝DC，
∴OD＝DC；
又由（1）知四边形CDOF是矩形，则
四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
类型三、正方形综合应用
/4、如图，在平面直角坐标系/中，边长为/(/为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在/轴正半轴上运动，顶点B在/轴正半轴上运动(/轴的正半轴、/轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．
(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；
(2)求证：无论点A在/轴正半轴上、点B在/轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
/
【答案与解析】
解：(1)当∠BAO＝45°时，∠PAO＝90°，
在Rt△AOB中，OA＝/AB＝/，在Rt△APB中，PA＝/AB＝/．
∴ 点P的坐标为/．
(2)如图过点P分别作/轴、/轴的垂线垂足分别为M、N，
则有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°，
∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°
∴∠APM＝∠BPN，又PA＝PB，
∴ △PAM≌△PBN，
∴ PM＝PN，
又∵ PN⊥ON，PM⊥OM
于是，点P在∠AOB的平分线上.
【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.
【巩固练习】
一.选择题
1. （2019?陕西）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（　　）
/
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
2. （2018?漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等
3. 如图，正方形ABCD的边长为4/，则图中阴影部分的面积为( )/．
/
A.6 B.8 C.16 D.不能确定
4. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是 ( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形
5.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　）
A．/ B./ C./ D. /
/
6.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（　　）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
/
二.填空题
7．若正方形的边长为/，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______．
8. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_________.
/
9. 如图，将边长为2/的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△/，若两个三角形重叠部分的面积是1/，则它移动的距离/等于____/.
/
10. 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是_______.
/
11. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______．
/
12.（2018?长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为　　．
/
三.解答题
13．（2019?乐山）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF．求证：CE=DF．
/
14．（2018?铁力市二模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？．
/
15．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．
/
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，
在△ABD和△BCD中，
/，
∴△ABD≌△BCD，
∵AD∥BC，
∴∠MDO=∠M′BO，
在△MOD和△M′OB中，
/，
∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，
∴全等三角形一共有4对．
故选C．
/
2.【答案】D；
【解析】正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：D．
3．【答案】B；
【解析】阴影部分面积为正方形面积的一半.
4.【答案】A；
5.【答案】D；
【解析】利用勾股定理求出CM＝/，即ME的长，有DM＝DE，所以可以求出DE＝/，进而得到DG的长．
6.【答案】C；
二.填空题
7.【答案】/，2∶1 ；
【解析】正方形ACEF与正方形ABCD的边长之比为/.
8.【答案】AC＝BD或AB⊥BC；
【解析】∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC＝BD或AB⊥BC.
9.【答案】1；
【解析】移动距离为/，重叠部分面积为CE×/，所以/，得/，所以/.
10.【答案】1；
【解析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于三角形BOC面积．
11.【答案】/；
【解析】/，重叠部分面积为/.
12.【答案】5；
【解析】解：过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，
∴EM=AD，BM=CE，
∵△ABE的面积为8，
∴/×AB×EM=8，
解得：EM=4，
即AD=DC=BC=AB=4，
∵CE=3，
由勾股定理得：BE=/=/=5，
故答案为：5．
三.解答题
13.【解析】
证明：∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠EBC=∠FCD=90°，
又∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴BE=CF，
在△CEB和△DFC中，
/，
∴△CEB≌△DFC，
∴CE=DF．
/
14.【解析】
解：①正确，连接PC，可得PC=EF，PC=PA，∴AP=EF；
/
②正确；延长AP，交EF于点N，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得AP⊥EF；
③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP；
④错误，PD=/PF=/CE；
⑤正确，PB2+PD2=2PA2．
所以正确的有4个：①②③⑤.
15.【解析】
解：如图，连接CH，
∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°，
∴∠BCF＝30°，则∠DCF＝60°，
在Rt△CDH和Rt△CFH中，
/
∴Rt△CDH≌Rt△CFH，
∴∠DCH＝∠FCH＝/∠DCF＝30°，
在Rt△CDH中，DH＝/，CH＝2/，CD＝/，
∴DH＝/.