北师大版初中数学九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第6讲 一元二次方程的解法（二）——配方法(基础)（含答案）

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）

【学习目标】
1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；
2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；
3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.
【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：　　(1)配方法解一元二次方程：　　　 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：　　　①把原方程化为的形式；　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
知识点二、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
【典型例题】
类型一、用配方法解一元二次方程
1. （2019?淄博）解方程：x2+4x﹣1=0．【思路点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．
【答案与解析】
解：∵x2+4x﹣1=0
∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=1+4
∴（x+2）2=5
∴x=﹣2±
∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
【总结升华】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
举一反三：【变式】用配方法解方程.　 　(1)x2-4x-2=0； 　 (2)x2+6x+8=0. 【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．　　　　　 两边都加4，得x2-4x+4=2+4．　　　　　 利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．　　　　　 解这个方程，得x-2=或x-2=-．　　　　　 于是，原方程的根为x=2+或x=2-．　　 　(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．　　　　　 两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32，　　　　　 ∴ (x+3)2=1．　　　　　 用直接开平方法，得x+3=±1，　　　　　 ∴ x=-2或x=-4．
类型二、配方法在代数中的应用
2．若代数式，，则的值（　　）
Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数
【答案】B；
【解析】（作差法）
．故选Ｂ．
【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.
3．（2018?甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．
【答案与解析】
解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5
=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2
=﹣8（x﹣）2﹣，
∵（x﹣）2≥0，
∴﹣8（x﹣）2≤0，
∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，
即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．
【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．
举一反三：
【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值
【答案】x2+8x+17= x2+8x+42-42+17=（x+4）2+1
∵（x+4）2≥0，
∴当（x+4）2=0时，代数式 x2+8x+17的最小值是1.
4．已知，求的值．
【思路点拨】
解此题关键是把拆成 ，可配成两个完全平方式．
【答案与解析】
将原式进行配方，得
，
即，
∴ 且，
∴ ，．
∴ ．
【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a．b的值．
一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题1. （2019?贵州）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（　　）
A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=7 C．（x+2）2=13 D．（x+2）2=19
2．下列各式是完全平方式的是（ ）
A． B． C． D．
3．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．3 B．-3 C． D．以上都不对
4．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ）
A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1
5．把方程x2+3=4x配方，得（ ）
A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2
6．用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）
A．2± B．-2± C．-2+ D．2-
二、填空题
7．（1）x2+4x+ =（x+ ）2；（2）x2-6x+ =（x- ）2；（3）x2+8x+ =（x+ ）2.
8．（2019春?长兴县月考）用配方法将方程x2-6x+7=0化为（x+m）2=n的形式为　 　．
9．若是一个完全平方式，则m的值是________．
10．求代数式2x2-7x+2的最小值为 .
11．（2018?资阳二模）当x=　 　时，代数式﹣x2﹣2x有最大值，其最大值为　 　．
12．已知a2+b2-10a-6b+34=0，则的值为 ．
三、解答题
13. 用配方法解方程
（1）?x2+4x+1=0 （2）
14. （2018秋?西城区校级期中）已知a2+b2﹣4a+6b+13=0，求a+b的值．
15．已知a，b，c是△ABC的三边，且．
(1)求a，b，c的值；
(2)判断三角形的形状．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B．
【解析】x2+4x=3，x2+4x+4=7，（x+2）2=7．
2．【答案】C；
【解析】．
3.【答案】C；
【解析】 若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m2=9,解得m=；
4.【答案】A；
【解析】a2-4a+5= a2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ；
5.【答案】C；
【解析】方程x2+3=4x化为x2-4x=-3，x2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1.
6.【答案】B；
【解析】方程x2+4x=10两边都加上22得x2+4x+22=10+22，x=-2±.
二、填空题
7．【答案】（1）4；2； （2）9；3； （3）16；4.
【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.
8.【答案】（x﹣3）2=2．
【解析】移项，得x2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x2﹣6x+9=﹣7+9，
（x﹣3）2=2．
9．【答案】±3；
【解析】．∴ .
10．【答案】-；
【解析】∵2x2-7x+2=2（x2-x）+2=2（x-）2-≥-，∴最小值为-，
11．【答案】-1,1
【解析】∵﹣x2﹣2x=﹣（x2+2x）=﹣（x2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，
∴x=﹣1时，代数式﹣x2﹣2x有最大值，其最大值为1；
故答案为：﹣1，1．
【解析】 -3x2+5x+1=-3（x-）2+≤，
∴最大值为．
12．【答案】4.
【解析】∵a2+b2-10a-6b+34=0∴a2-10a+25+b2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，∴=4．
三、解答题
13.【答案与解析】
（1）?x2+4x+1=0
x2-4x-1=0
x2-4x+22=1+22
(x-2)2=5
x-2=
x1=
x2=
(2)






14.【答案与解析】
解：∵a2+b2﹣4a+6b+13=0，
∴a2﹣4a+4+b2+6b+9=0，
∴（a﹣2）2+（b+3）2=0，
∴a﹣2=0，b+3=0，
∴a=2，b=﹣3，
∴a+b=2﹣3=﹣1．
15.【答案与解析】
（1）由，得
又，，，
∴ ，，，
∴ ，，．
（2）∵ 即，
∴ △ABC是以c为斜边的直角三角形．