北师大版初中数学九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第7讲 一元二次方程的解法（二）--公式法，因式分解法(基础)（含答案）

一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法
—知识讲解（基础）
【学习目标】
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；
2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．
【要点梳理】
要点一、公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式 　一元二次方程/，当/时，/.2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：/．　　　 ①当/时，原方程有两个不等的实数根/；　　　 ②当/时，原方程有两个相等的实数根/；　　　 ③当/时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤　用公式法解关于x的一元二次方程/的步骤：　　　 ①把一元二次方程化为一般形式；　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）；　　　 ③求出/的值；　　　 ④若/，则利用公式/求出原方程的解；　　　 　若/，则原方程无实根.要点诠释：
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.
（2）一元二次方程/，用配方法将其变形为：/.
①当/时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：/.
② 当/时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：/.
③ 当/时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤　　（1）将方程右边化为0；　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
【典型例题】
类型一、公式法解一元二次方程
/1.用公式法解下列方程．
(1) x2+3x+1=0； (2)/； (3) 2x2+3x-1=0．
【答案与解析】
(1) a=1，b=3，c=1
∴x=/=/．
∴x1=/，x2=/．
(2)原方程化为一般形式，得/．
∵/，/，/，
∴/．
∴/，即/，/．
(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1
∴b2﹣4ac=17＞0
∴x=/
∴x1=/，x2=/．
【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算/的值；(3)若/是非负数，用公式法求解．
举一反三：
【变式】用公式法解方程：（2018?武汉模拟）x2﹣3x﹣2=0．
【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；
∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；
∴x=/
=/，
∴x1=/，x2=/．
/2．用公式法解下列方程：
(1) （2018?武汉模拟）2x2+x=2； (2) （2018秋?开县期末）3x2﹣6x﹣2=0 ；
（3）（2018?黄陂区校级模拟）x2﹣3x﹣7=0．
【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.
【答案与解析】
解：(1)∵2x2+x﹣2=0，
∴a=2，b=1，c=﹣2，
∴x=/=/=/，
∴x1=/，x2=/．
(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，
∴b2﹣4ac=36+24=60＞0，
∴x=/，
∴x1=/，x2=/
（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．
∴b2﹣4ac=9+28=37.
x=/ = /，
解得 x1=/，x2=/．
【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在/的前提下，代入求根公式可求出方程的根．
举一反三：
【变式】用公式法解下列方程： /；
【答案】解：移项，得/．
∵ /，/，/，/，
∴ /，
∴ /，/．
类型二、因式分解法解一元二次方程
/3．（2019?沈阳）一元二次方程x2﹣4x=12的根是（　　）
A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=6
【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【答案】B
【解析】
解：方程整理得：x2﹣4x﹣12=0，
分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0，
解得：x1=﹣2，x2=6，故选B
【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
/4．解下列一元二次方程：
(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)/．
【答案与解析】
(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，
(2x+1+2)2＝0．
即/，
∴ /．
(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，
即(x-1)(x+2)＝0，
所以/，/．
【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x＝1这个根．
举一反三：
【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）/
【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0
(x+6)(x+5)=0
X1=-6,x2=-5.
(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0
(2x+1)(3x-2)=0
/.
/5．探究下表中的奥秘，并完成填空：
一元二次方程
两个根
二次三项式因式分解
x2﹣2x+1=0
x1=1，x2=1
x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）
x2﹣3x+2=0
x1=1，x2=2
x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）
3x2+x﹣2=0
x1=/，x2=﹣1
3x2+x﹣2=3（x﹣/）（x+1）
2x2+5x+2=0
x1=﹣/，x2=﹣2
2x2+5x+2=2（x+/）（x+2）
4x2+13x+3=0
x1=　　，x2=　　
4x2+13x+3=4（x+　　）（x+　　）
将你发现的结论一般化，并写出来．
【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．
【答案与解析】填空：﹣/，﹣3；4x2+13x+3=4（x+/）（x+3）．
发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则
ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题1．（2019?厦门）方程x2﹣2x=0的根是（　　）
A．x1=x2=0 B．x1=x2=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=﹣2
2．方程/的解是( )
A．/ B．/ C．/，/ D．/，/
3．一元二次方程/的解是( )
A．/；/ B．/；/ C．/；/ D．/；/
4.方程x2-5x-6＝0的两根为( )
A．6和1 B．6和-1 C．2和3 D．-2和3
5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )
A．x＝5 B．x＝5或x＝6 C．x＝7 D．x＝5或x＝7
6．已知/，则/的值为 ( )
A． 2011 B．2012 C． 2013 D．2014
二、填空题
7．（2018?厦门）方程x2+x＝0的解是___ _____；
8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．
9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．
10．若方程x2-m＝0的根为整数，则m的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可)
11．已知实数x、y满足/，则/________．
12．（2019?随州）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为　 　．
三、解答题
13．（2018秋?宝坻区校级期末）解方程
（1）2（x﹣3）2=8（直接开平方法） （2）4x2﹣6x﹣3=0（运用公式法）
（3）（2x﹣3）2=5（2x﹣3）（运用分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）
14. 用因式分解法解方程
（1）x2-6x-16＝0． （2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．
15．(1)利用求根公式完成下表：
方程
/的值
/的符号
（填＞0，=0，＜0）
/，/的关系
（填“相等”“不等”或“不存在”）
/
/
/
(2)请观察上表，结合/的符号，归纳出一元二次方程的根的情况．
(3)利用上面的结论解答下题．
当m取什么值时，关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2＝0，
①有两个不相等的实数根；
②有两个相等的实数根；
③没有实数根．
【答案与解析】
一、选择题1.【答案】C
【解析】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，解得：x1=0，x2=2．故选：C．
2.【答案】C；
【解析】整理得x2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0.
3.【答案】A ；
【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝0
4.【答案】B；
【解析】要设法找到两个数a，b，使它们的和a+b＝-5，积ab＝-6，
∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0．
∴ x1＝-1，x2＝6．
5.【答案】D；
【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．
∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ /，/
6.【答案】C；
【解析】由已知得x2-x＝1，
∴ /．
二、填空题
7．【答案】x1＝0，x2＝-1．
【解析】可提公因式x，得x(x+1)＝0．
∴ x＝0或x+1＝0，∴ x1＝0，x2＝-1．
8．【答案】x1＝1，x2＝-2，x3＝3.
【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解．
9．【答案】/；
【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案．
10．【答案】4；
【解析】 m应是一个整数的平方，此题可填的数字很多．
11．【答案】2；
【解析】由(x2+y2)2-(x2+y2)-2＝0得(x2+y2+1)(x2+y2-2)＝0又由x，y为实数，
∴ x2+y2＞0，∴ x2+y2＝2．
12.【答案】19或21或23．
【解析】由方程x2﹣8x+15=0得：（x﹣3）（x﹣5）=0，
∴x﹣3=0或x﹣5=0，
解得：x=3或x=5，
当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；
当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；
当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；
当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；
综上，该等腰三角形的周长为19或21或23.
三、解答题
13. 【解析】
解：（1）（x﹣3）2=4
x﹣3=2或x﹣3=﹣2，
解得，x1=1或x2=5；
（2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，
b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，
x=/=/，
/，/；
（3）移项得，（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=0，
因式分解得，（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）=0，
/，x2=4；
（4）化简得，x2+9x+20=0，
（x+4）（x+5）=0，
解得，x1=﹣4，x2=﹣5．
14. 【解析】
（1）(x-8)(x+2)＝0，
∴ x-8＝0或x+2＝0，
∴ /，/．
（2）设y＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，
∴ y+1＝0或y+2＝0，
∴ y＝-1或y＝-2．
当/时，/，/；
当/时，/，/．
∴ 原方程的解为/，/．
15.【解析】
(1)
方程
/的值
/的符号
（填＞0，=0，＜0）
/，/的关系
（填“相等”“不等”或“不存在”）
/
16
＞0
不等
/
0
=0
相等
/
-8
＜0
不存在
(2)①当/时，方程有两个不相等的实数根；
②当/时，方程有两个相等的实数根；
③当/时，方程没有实数根．
(3)/，
①当原方程有两个不相等的实数根时，/，即/且m≠2；
②当原方程有两个相等的实数根时，b2 -4ac=20m-15=0，即/；
③当原方程没有实数根时， /，即/．