北师大版初中数学九年级上册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第8讲 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(基础)(含答案)

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）

【学习目标】
1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；
2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.
【要点梳理】
知识点一、一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程/中，/叫做一元二次方程/的根的判别式，通常用“/”来表示，即/
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
要点诠释：
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定/的值；③计算/的值；④根据/的符号判定方程根的情况.
2. 一元二次方程根的判别式的逆用
在方程/中，
（1）方程有两个不相等的实数根//﹥0；
（2）方程有两个相等的实数根//=0；
（3）方程没有实数根//﹤0.
要点诠释：
（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；
（2）若一元二次方程有两个实数根则 /≥0.
知识点二、一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程/的两个实数根是/，
那么/，/.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①/；
②/；
③/；
④//；
⑤/；
⑥//；
⑦/；
⑧/；
⑨/；
⑩//．
(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
以两个数/为根的一元二次方程是/.
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.
设一元二次方程/的两根为/、/，则
①当△≥0且/时，两根同号．
当△≥0且/，/时，两根同为正数；
当△≥0且/，/时，两根同为负数．
②当△＞0且/时，两根异号．
当△＞0且/，/时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且/，/时，两根异号且负根的绝对值较大．
要点诠释：
（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的/．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；
（2）若有理系数一元二次方程有一根/，则必有一根/（/，/为有理数）．
【典型例题】
类型一、一元二次方程根的判别式的应用
/1．（2019?丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
【思路点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
【答案】B．
【解析】
解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
【总结升华】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
举一反三：
【变式】不解方程，判别方程根的情况：/ .
【答案】无实根.
/2．（2018?本溪）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　 　．
【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0.
【答案】k＜2且k≠1；
【解析】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.
举一反三：
【变式】m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.
【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m2+10m+37=(m+5)2+12＞0，
∴关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.
类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用
/3．已知方程/的一个根是2，求另一个根及k的值．
【思路点拨】
根据方程解的意义，将x＝2代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．
【答案与解析】
方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得/，/，从而解得：/，k＝-7．
方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7．
设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得/，从而/，
故方程的另一根为/，k的值为-7．
【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系/，/易得另一根及k的值．
举一反三：
【变式】已知方程/的一个根是3，求它的另一根及/的值．【答案】另一根为-1；/的值为-3．　
/4．（2018?咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

【答案与解析】
解：（1）△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解方程得，x=/，
x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题1. （2019?昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
2．一元二次方程/有两个不相等的实数根，则/满足的条件是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
3．（2018?贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（　　）
A．﹣1 B．0 C.1 D.2
4．关于方程/的两根/的说法正确的是（ ）
A. / B./ C. / D.无实数根
5．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（　　）
A.k≥4 B.k≤4 C.k＞4 D.k=4
6．一元二次方程/的两根为/、/，则/的值为（ ）．
A．3 B．6 C．18 D．24
二、填空题
7．（2018?酒泉）关于x的方程kx2﹣4x﹣/=0有实数根，则k的取值范围是　 　．
8．（2019?遵义）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则/+/=　 　．
9．若方程/的两根是x1、x2，则代数式/的值是　　　。
10．设一元二次方程/的两根分别为/、/，以/、/为根的一元二次方程是________．
11．已知一元二次方程x2-6x+5-k=0的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____ __．
12．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为__ _．

三、解答题
13．当k为何值时，关于x的方程x2-(2k-1)x＝-k2+2k+3，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根?
14. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程(a2+b2)x2-2cx+1＝0有两个相等的实数根．
请你判断△ABC的形状．
15．（2018?大庆）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求/+/的值．
【答案与解析】
一、选择题1.【答案】B.
【解析】在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．
2.【答案】B；
【解析】/(a≠0)有两个不相等实数根/．
3.【答案】B；
【解析】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，
∴△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，
∴a≤/且a≠1，
∴整数a的最大值为0．故选：B．
4.【答案】D；
【解析】求得Δ=b2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D.
5.【答案】B；
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，
∴b2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0，
解得：k≤4，故选B．
6.【答案】A；
【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：/，/，
因此/．
二、填空题
7．【答案】k≥﹣6；
【解析】当k=0时，﹣4x﹣/ =0，解得x=﹣/，
当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣/ =0是一元二次方程，
根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣/）≥0，
解得k≥﹣6，k≠0，
综上k≥﹣6．
8.【答案】-2.
【解析】∵一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=2，x1?x2=﹣1，
∴/+/ = / =﹣2．故答案是：﹣2．
9．【答案】6；
【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：/，
/．
10．【答案】/；
【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：/，/，
从而/，/，
于是，所求方程为/．
11．【答案】 x1=4，x2=2. 　 【解析】∵△=4，∴b2-4ac=4，即x=/，
∴x1=4，x2=2．
12．【答案】 25或36；
【解析】设十位数字为x,则个位数字为（x+3）.依题意得（x+3）2=10x+(x+3),
解得x1=2，x2=3．
当x=2时，两位数是25；当x=3时，两位数是36.
三、解答题
13.【答案与解析】
解：/化为一般形式为：/，
∴ /，/，/．
∴ /．
(1)若方程有两个不相等的实数根，则△＞0，即/．∴ /．
(2)若方程有两个相等的实数根，则△＝0，即/，∴ /．
(3)若方程没有实数根，则△＜0，即/，∴ /．
答：当/时，方程有两个不相等的实数根；当k＝/时，方程有两个相等的实数根；
当/，方程没有实数根．
14.【答案与解析】
解： 令/，/，/，/，
∵ 方程有两等根，∴ △＝0，∴ /，
∴ △ABC为直角三角形．
15.【答案与解析】
解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，
∴a+b=1，ab=﹣1，
∴/+/ = / = / = ﹣3．