北师大版初中数学九年级上册第9讲 一元二次方程的应用(基础)(知识讲解+巩固练习)

一元二次方程的应用--知识讲解（基础）

【学习目标】
1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一
般步骤；2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)；　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）　　　答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：
列方程解实际问题的三个重要环节： 　　　一是整体地、系统地审题；　　　二是把握问题中的等量关系；　　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 要点二、一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字
只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用
其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：　　　　　 100c+10b+a.　 (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.　　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.　　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.　　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：　　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题：　　平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 3.利息问题(1)概念：　　本金：顾客存入银行的钱叫本金.　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息.　　本息和：本金和利息的和叫本息和.　　期数：存入银行的时间叫期数.　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式:　　利息=本金×利率×期数　　利息税=利息×税率　　本金×(1+利率×期数)=本息和　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题　　利润(销售)问题中常用的等量关系：　　利润=售价-进价(成本)　　总利润=每件的利润×总件数　　/ 5.形积问题　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
要点诠释：
列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.
【典型例题】
类型一、数字问题
/1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．
【答案与解析】
设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，
整理得x2-12x+32＝0
解得 x1＝4，x2＝8，
当x＝4时12-x＝8；
当x＝8时12-x＝4．
所以这两个数是4和8．

【总结升华】 数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x，那么另一个数便可以用x表示出来，然后根据题目条件建立方程求解．
举一反三：
【变式】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.
【答案】设个位数字为/，则十位数字为/.
由题意，得： /
整理，得：/
解方程，得：/
∴ / /
经检验，/不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验）/
∴当/时, /=2
∴/
答：这个两位数为24.
类型二、平均变化率问题
/2． （2019?巴中）随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．
【思路点拨】 设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200（1﹣x）2，据此列出方程求解即可．
【答案与解析】
解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，
由题意得：200（1﹣x）2=98
解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．
答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
举一反三：
【变式】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，
求平均每次降价率.
【答案】设平均每次降价率为/，
则第一次降价为/，降价后价格为：/，
第二次降价为：/，降价后价格为：
///.
根据题意列方程，得：/
/
/
∴/， /
/不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验）
∴/
答：平均每次下降率为/.
类型三、利润（销售）问题
/3．（2018?乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？
【答案与解析】
解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，
解得x1=1，x2=4，
又顾客得实惠，故取x=4，级定价为56元，
答：应将销售单价定位56元．
【总结升华】列一元二次方程解应用题往往求出两解，有的解不合实际意义或不合题意．应舍去，必须进行检验．
类型四、形积问题
/4．（2018?湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
/
【答案与解析】
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，
由题意得
x（25﹣2x+1）=80，
化简，得x2﹣13x+40=0，
解得：x1=5，x2，8，
当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【总结升华】1．结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键；
2．注意检验一元二次方程的两个解是否符合题意．
一元二次方程的应用—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1．在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( )．
/
A．x2+130x-1400＝0 B．x2-65x-350＝0 C．x2-130x-1400＝0 D．x2+65x-350＝0
2．（2019?大连）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（　　）
A．100（1+x） B．100（1+x）2 C．100（1+x2） D．100（1+2x）
3．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )．
A．50(1+x)2＝182 B．50+50(1+x)+50(1+x)2＝182
C．50(1+2x)＝182 D．50+50(1+x)+50(1+2x)＝182
4．一个矩形的长是宽的3倍，若宽增加3cm，它就变成正方形.则矩形面积是( )．
A．/ B．/ C．/ D．/
5．为执行“两免一补”政策，某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2018年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是( )．
A．2500(1+x)2＝3600 B．2500x2＝3600
C．2500(1+x%)＝3600 D．2500(1+x)+2500(1+x)2＝3600
6．（2018?咸宁）用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（　　）
　 A．20 B． 40 C． 100 D． 120
二、填空题
7．（2019?新疆）某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为　 　．
8．若两数的和是2，两数的平方和是74，则这两数为________．
9．大连某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10m，设长方形绿地的宽为xm，则可列方程为________．
10．菱形ABCD的一条对角线长6，AB的长是方程x2-7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为________．
11．（2018春?启东市月考）有一人发了某内容的短信，经过两轮发送后共有196人的手机上有了该短信，则每轮发送中平均一个人发送了　　人．
12.小明家为响应节能减排号召，计划用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg降至2000kg(全球人均目标碳排放量)，则小明家未来两年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是________．

三、解答题
13．用长12m的一根铁丝围成长方形．
(1)如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的长是多少?宽是多少?如果面积是8m2呢?
(2)能否围成面积是10m2的长方形?为什么?
(3)能围成的长方形的最大面积是多少?
14. 从一块长80cm，宽60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度．
15．（2018?珠海）白溪镇2018年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2018年达到82.8公顷．
（1）求该镇2018至2018年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2018年该镇绿地面积能否达到100公顷？
【答案与解析】
一、选择题1.【答案】D；
【解析】可列方程(80+2x)(50+2x)＝5400，化简即可．
2.【答案】B．
3.【答案】B；
【解析】四、五、六月份产量之和为182．
4.【答案】C；
【解析】设矩形的宽为xcm，则矩形的长为3xcm，依题意得x+3＝3x．
5.【答案】A；
【解析】由平均增长率公式为/ (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)可列方程.
6.【答案】D；
【解析】解：设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得
x（40÷2﹣x）=a，整理，得
x2﹣20x+a=0，
∵△=400﹣4a≥0，
解得a≤100，
故选：D．
二、填空题
7.【答案】10（1+x）2=13．
【解析】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，
根据题意，可列方程为：10（1+x）2=13.
8．【答案】-5和7；
【解析】设两数中一个数为x，则另一个数为2-x．
根据题意得x2+(2-x)2＝74，解得x1＝-5，x2＝7．
当x＝-5时，另一个数为7；当x＝7时，另一个数为-5，所以这两个数为-5和7．
9．【答案】 x(x+10)＝300；
【解析】因为宽为xm，则长为(x+10)m，可列方程x(x+10)＝300．
10.【答案】16；
【解析】x2-7x+12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，AB不可能等于3，因为有一条对角线长为6，
所以AB＝4，菱形周长为16．
11．【答案】13；
【解析】设每轮发送中平均一个人发送了x人，由题意得：
1+x+x（1+x）=196，
解得：x1=13，x2=﹣15（不合题意舍去）．
即每轮发送中平均一个人发送了13人．
12．【答案】20% ；
【解析】设降低的百分率为x，则3125(1-x)2＝2000，/(舍去)，/．
三、解答题
13.【答案与解析】
(1)设长方形的宽为x m，则长为/，
根据题意，得x(6-x)＝5，即x2-6x+5＝0，x1＝1，x2＝5(舍去)．
∴ 当长方形的宽为1m，长为6m-1m＝5m时，面积为5m2．
同样，当面积为8m2时，有x(6-x)＝8，即x2-6x+8＝0，x1＝2，x2＝4(舍去)．
∴ 当长方形的宽为2m，长为6-2＝4m时，面积为8m2．
(2)当面积为l0m2时，x(6-x)＝10，即x2-6x+10＝0，此时b2-4ac＝36-40＝-4＜0，
故此方程无实数根，所以这样的长方形不存在．
(3)设围成的长方形的面积为k，则有x(6-x)＝k，即x2-6x+k＝0，要使该方程有解，
必须有(-6)2-4k≥0，即k≤9．
∴ 最大的k只能是9，即最大的面积为9m2，此时x＝3m，6-x＝3(m)．
这时所围成的图形是正方形．
14. 【答案与解析】
设这个宽度为xcm，根据题意有：(80-2x)(60-2x)＝80×60÷2．
解这个方程得x1＝10，x2＝60．
因为截去的小长方形的宽60-2x必须大于0，
即 60-2x＞0，亦即x＜30，所以x＝10．
答：宽度为10cm时，截去的小长方形面积是原来铁片面积的一半．
15.【答案与解析】
解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得
57.5（1+x）2=82.8　　　　
解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）
答：增长率为20%；
（2）由题意，得
82.8（1+0.2）=99.36万元
答：2018年该镇绿地面积不能达到100公顷．

一元二次方程的应用--知识讲解（基础）

【学习目标】
1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一
般步骤；2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)；　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）　　　答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：
列方程解实际问题的三个重要环节： 　　　一是整体地、系统地审题；　　　二是把握问题中的等量关系；　　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 要点二、一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字
只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用
其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：　　　　　 100c+10b+a.　 (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.　　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.　　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.　　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：　　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题：　　平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 3.利息问题(1)概念：　　本金：顾客存入银行的钱叫本金.　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息.　　本息和：本金和利息的和叫本息和.　　期数：存入银行的时间叫期数.　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式:　　利息=本金×利率×期数　　利息税=利息×税率　　本金×(1+利率×期数)=本息和　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题　　利润(销售)问题中常用的等量关系：　　利润=售价-进价(成本)　　总利润=每件的利润×总件数　　/ 5.形积问题　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
要点诠释：
列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.
【典型例题】
类型一、数字问题
/1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．
【答案与解析】
设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，
整理得x2-12x+32＝0
解得 x1＝4，x2＝8，
当x＝4时12-x＝8；
当x＝8时12-x＝4．
所以这两个数是4和8．

【总结升华】 数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x，那么另一个数便可以用x表示出来，然后根据题目条件建立方程求解．
举一反三：
【变式】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.
【答案】设个位数字为/，则十位数字为/.
由题意，得： /
整理，得：/
解方程，得：/
∴ / /
经检验，/不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验）/
∴当/时, /=2
∴/
答：这个两位数为24.
类型二、平均变化率问题
/2． （2019?巴中）随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．
【思路点拨】 设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200（1﹣x）2，据此列出方程求解即可．
【答案与解析】
解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，
由题意得：200（1﹣x）2=98
解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．
答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
举一反三：
【变式】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，
求平均每次降价率.
【答案】设平均每次降价率为/，
则第一次降价为/，降价后价格为：/，
第二次降价为：/，降价后价格为：
///.
根据题意列方程，得：/
/
/
∴/， /
/不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验）
∴/
答：平均每次下降率为/.
类型三、利润（销售）问题
/3．（2018?乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？
【答案与解析】
解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，
解得x1=1，x2=4，
又顾客得实惠，故取x=4，级定价为56元，
答：应将销售单价定位56元．
【总结升华】列一元二次方程解应用题往往求出两解，有的解不合实际意义或不合题意．应舍去，必须进行检验．
类型四、形积问题
/4．（2018?湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
/
【答案与解析】
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，
由题意得
x（25﹣2x+1）=80，
化简，得x2﹣13x+40=0，
解得：x1=5，x2，8，
当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【总结升华】1．结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键；
2．注意检验一元二次方程的两个解是否符合题意．
一元二次方程的应用—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1．在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( )．
/
A．x2+130x-1400＝0 B．x2-65x-350＝0 C．x2-130x-1400＝0 D．x2+65x-350＝0
2．（2019?大连）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（　　）
A．100（1+x） B．100（1+x）2 C．100（1+x2） D．100（1+2x）
3．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )．
A．50(1+x)2＝182 B．50+50(1+x)+50(1+x)2＝182
C．50(1+2x)＝182 D．50+50(1+x)+50(1+2x)＝182
4．一个矩形的长是宽的3倍，若宽增加3cm，它就变成正方形.则矩形面积是( )．
A．/ B．/ C．/ D．/
5．为执行“两免一补”政策，某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2018年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是( )．
A．2500(1+x)2＝3600 B．2500x2＝3600
C．2500(1+x%)＝3600 D．2500(1+x)+2500(1+x)2＝3600
6．（2018?咸宁）用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（　　）
　 A．20 B． 40 C． 100 D． 120
二、填空题
7．（2019?新疆）某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为　 　．
8．若两数的和是2，两数的平方和是74，则这两数为________．
9．大连某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10m，设长方形绿地的宽为xm，则可列方程为________．
10．菱形ABCD的一条对角线长6，AB的长是方程x2-7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为________．
11．（2018春?启东市月考）有一人发了某内容的短信，经过两轮发送后共有196人的手机上有了该短信，则每轮发送中平均一个人发送了　　人．
12.小明家为响应节能减排号召，计划用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg降至2000kg(全球人均目标碳排放量)，则小明家未来两年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是________．

三、解答题
13．用长12m的一根铁丝围成长方形．
(1)如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的长是多少?宽是多少?如果面积是8m2呢?
(2)能否围成面积是10m2的长方形?为什么?
(3)能围成的长方形的最大面积是多少?
14. 从一块长80cm，宽60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度．
15．（2018?珠海）白溪镇2018年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2018年达到82.8公顷．
（1）求该镇2018至2018年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2018年该镇绿地面积能否达到100公顷？
【答案与解析】
一、选择题1.【答案】D；
【解析】可列方程(80+2x)(50+2x)＝5400，化简即可．
2.【答案】B．
3.【答案】B；
【解析】四、五、六月份产量之和为182．
4.【答案】C；
【解析】设矩形的宽为xcm，则矩形的长为3xcm，依题意得x+3＝3x．
5.【答案】A；
【解析】由平均增长率公式为/ (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)可列方程.
6.【答案】D；
【解析】解：设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得
x（40÷2﹣x）=a，整理，得
x2﹣20x+a=0，
∵△=400﹣4a≥0，
解得a≤100，
故选：D．
二、填空题
7.【答案】10（1+x）2=13．
【解析】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，
根据题意，可列方程为：10（1+x）2=13.
8．【答案】-5和7；
【解析】设两数中一个数为x，则另一个数为2-x．
根据题意得x2+(2-x)2＝74，解得x1＝-5，x2＝7．
当x＝-5时，另一个数为7；当x＝7时，另一个数为-5，所以这两个数为-5和7．
9．【答案】 x(x+10)＝300；
【解析】因为宽为xm，则长为(x+10)m，可列方程x(x+10)＝300．
10.【答案】16；
【解析】x2-7x+12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，AB不可能等于3，因为有一条对角线长为6，
所以AB＝4，菱形周长为16．
11．【答案】13；
【解析】设每轮发送中平均一个人发送了x人，由题意得：
1+x+x（1+x）=196，
解得：x1=13，x2=﹣15（不合题意舍去）．
即每轮发送中平均一个人发送了13人．
12．【答案】20% ；
【解析】设降低的百分率为x，则3125(1-x)2＝2000，/(舍去)，/．
三、解答题
13.【答案与解析】
(1)设长方形的宽为x m，则长为/，
根据题意，得x(6-x)＝5，即x2-6x+5＝0，x1＝1，x2＝5(舍去)．
∴ 当长方形的宽为1m，长为6m-1m＝5m时，面积为5m2．
同样，当面积为8m2时，有x(6-x)＝8，即x2-6x+8＝0，x1＝2，x2＝4(舍去)．
∴ 当长方形的宽为2m，长为6-2＝4m时，面积为8m2．
(2)当面积为l0m2时，x(6-x)＝10，即x2-6x+10＝0，此时b2-4ac＝36-40＝-4＜0，
故此方程无实数根，所以这样的长方形不存在．
(3)设围成的长方形的面积为k，则有x(6-x)＝k，即x2-6x+k＝0，要使该方程有解，
必须有(-6)2-4k≥0，即k≤9．
∴ 最大的k只能是9，即最大的面积为9m2，此时x＝3m，6-x＝3(m)．
这时所围成的图形是正方形．
14. 【答案与解析】
设这个宽度为xcm，根据题意有：(80-2x)(60-2x)＝80×60÷2．
解这个方程得x1＝10，x2＝60．
因为截去的小长方形的宽60-2x必须大于0，
即 60-2x＞0，亦即x＜30，所以x＝10．
答：宽度为10cm时，截去的小长方形面积是原来铁片面积的一半．
15.【答案与解析】
解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得
57.5（1+x）2=82.8　　　　
解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）
答：增长率为20%；
（2）由题意，得
82.8（1+0.2）=99.36万元
答：2018年该镇绿地面积不能达到100公顷．