内容 基本要求 略高要求 较高要求
方程 知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程 能运用方程解决有关问题
方程的解 了解方程的解的概念 会用观察、画图等手段估计方程的解
一元一次方程 了解一元一次方程的有关概念 会根据具体问题列出一元一次方程 能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题
一元一次方程的解法 理解一元一次方程解法中的各个步骤 能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程的解 会运用一元一次方程解决简单的实际问题
板块一 等式与方程的概念
?等式的概念：
用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．
等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．
?等式有如下几种类型(仅做了解)．
恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．如：数字算式．
条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．方程需要才成立．
矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．如，．
等式由代数式构成，但不是代数式．代数式没有等号．
下列各式中，哪些是等式
⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹
?方程和它的解
方程：含有未知数的等式叫方程，如，它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数
方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。
?关于方程中的未知数和已知数：
已知数：一般是具体的数值，如中(的系数是1，是已知数．但可以不说)．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有、、、、等表示．
未知数：是指要求的数，未知数通常用、、等字母表示．如：关于、的方程中，、、是已知数，、是未知数．
下列各式中哪些是方程
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸ ⑹ ⑺ ⑻
【巩固】判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
检验下列各数是不是方程的解
； ⑵
【巩固】检验下列各数是不是方程的解
⑵ ⑶
若为关于的一元一次方程，的解，则的值是
【巩固】关于的方程的根是，则等于
板块二 等式的性质
?等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．
若，则；
等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式，所得结果仍是等式．
若，则，
?注意：
⑴在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．
即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边
⑵等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．
⑶在等式变形中，以下两个性质也经常用到：
对称性，即：如果，那么．
传递性，即：如果，，那么．又称为等量代换
易错点：等号左右互换的时候忘记变符号
根据等式的性质填空：
(1)，则______； (2)，则 ；
(3)，则_________； (4)，则__________．
【巩固】下列变形中，不正确的是( )
A．若，则 B．若则
C．若，则 D．若，则
【巩固】用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的．
⑴如果，那么____________；根据
⑵如果，那么_________；根据
⑶如果，那么______；根据
⑷如果，那么_____________；根据
板块三 一元一次方程的概念
?一元一次方程的概念：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
?一元一次方程的形式：
最简形式：方程(，，为已知数)叫一元一次方程的最简形式．
标准形式：方程(其中，，是已知数)叫一元一次方程的标准形式．
?注意：
⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．
⑵方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成
下列各式中：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻．哪些是一元一次方程？
【巩固】下列方程是一元一次方程的是( )．
A． B． C． D．
【巩固】在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈⑴中，属于一次方程的序号填入圆圈⑵中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．
：②；③：④；⑤：⑥．
若是一元一次方程，那么
【巩固】若关于的方程是一元一次方程，则
【巩固】若关于的方程是一元一次方程，则 ，方程的解是
【巩固】已知关于的方程是一元一次方程，则、需要满足的条件为
板块四 一元一次方程的解法
?解一元一次方程的一般步骤：
1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的 最小公倍数 ．
温馨提示：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．
2．去括号：一般地，先去 小括号，再去 中括号，最后去 大括号．
温馨提示：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．
3．移项：把含有 未知数 的项都移到方程的一边， 不含未知数的项 移到方程的另一边．
温馨提示：⑴移项要变号；⑵不要丢项．
4．合并同类项：把方程化成的形式．
温馨提示：字母和其指数不变．
5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数( )，得到方程的解 ．
温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒．
下列等式中变形正确的是（ ）
A.若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【巩固】解方程：⑴ ⑵
【巩固】解方程：
(1)；(2)；
(3)
?先变形、再解方程
本类型题：需要先利用等式的基本性质，将小数化为整数，然后再进行解方程计算
解方程：．
解：原方程可化为
去分母，得 ．根据等式的性质( )
去括号，得 ．
移项，得 ．根据等式的性质( )
合并同类项，得 ．
系数化为，得 ．根据等式的性质( )
【巩固】解下列方程：
⑴；
⑵；
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
?逐层去括号
含有多重括号时，去括号的顺序可以从内向外，也可以从外向内。
解方程：
【巩固】解方程：．
解方程：
【巩固】解方程：
【巩固】解下列方程：
(1) (2)
?整体思想
注意观察方程中，完全一样的整式
解方程：
【巩固】方程
【巩固】解方程：
下列各式不是方程的是：( )
A． B． C． D．
解方程⑴ ⑵
⑷
解方程：
解方程 ：⑴ (2)
解方程：
解方程：
求方程的解．
内容 基本要求 略高要求 较高要求
方程 知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程 能运用方程解决有关问题
方程的解 了解方程的解的概念 会用观察、画图等手段估计方程的解
一元一次方程 了解一元一次方程的有关概念 会根据具体问题列出一元一次方程 能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题
一元一次方程的解法 理解一元一次方程解法中的各个步骤 能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程的解 会运用一元一次方程解决简单的实际问题
版块一、含字母系数方程
虽然在中考大纲中，对含字母系数方程并没有作任何要求。但是通过学习含字母系数方程可以帮助学生初步养成分类讨论的基本思想，因此也需要学生进行掌握和理解
?含字母系数方程有关概念
当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．
请说出下列关于的方程中的参数
； ⑵
【巩固】请说出下列关于的方程中的参数
；⑵；⑶
?分类讨论产生的原因→等式的性质②
等式的性质②：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若，则，．
由等式的性质2，我们知道在等式两边同时除以某一个数时，必须确定此数不为0。若在不能确定的情况下，必须进行讨论
请问下列关于的方程，再进行系数化为“”时，是否需要进行分类讨论
；⑵；⑶；⑷；⑸
【巩固】已知是有理数，在下面4个命题：①方程的解是． ②方程的解是．
③方程的解是． ④方程的解是．中，结论正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
?分类讨论--解含字母系数方程
含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的取值范围确定．
⑴当时，，原方程有唯一解；
⑵当且时，解是任意数，原方程有无数解；
⑶当且时，原方程无解．
解关于的方程
【巩固】解关于的方程：
【巩固】解关于的方程：
?根据方程解的个数确定参数的数值
关于的方程，分别求，为何值时，原方程：
有唯一解；⑵有无数多解；⑶无解．
【巩固】已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ．
【巩固】已知关于的方程无解，试求的值．
?含字母参数的整数根问题
为整数，关于的方程的解为正整数，求的值．
【巩固】若关于的方程的解为正整数，则的值为 ．
已知方程的解为整数，则整数的值为_____________
已知是不为0的整数，并且关于的方程有整数解，则的值共有（ ）
A．1个 B．3个 C．6个 D．9个
【巩固】已知为正整数，关于的方程的解为整数，求的最小值．
?定解方程
若，为定值，关于的一元一次方程，无论为何值时，它的解总是，求和的值．
【巩固】如果、为定值，关于的方程，无论为何值，它的根总是，求、的值．
?同解方程
若和是关于的同解方程，则的值是 ．
已知关于的方程，和方程有相同的解，求这个相同的解．
【巩固】已知关于的方程和方程有相同的解，求出方程的解．
版块二、绝对值方程
知识回顾：我们知道，化简绝对值时，必须要先明确的正负性，当的正负性不能明确的时候，必须要进行讨论，即
解绝对值方程的基本思想就是去绝对值，而去绝对值的基本思想就是分类讨论，基本方法就是“零点分段法”。
?零点分段法
零点分段法的基本步骤：①找绝对值零点 ②零点分段讨论③分段求解方程④检验
方程的解为 ．
【巩固】解方程
【巩固】解方程
解方程
【巩固】解方程
?绝对值的几何意义
“零点分段法”是解决绝对值方程的基本方法，但有的时候采用“零点分段法”的过程非常繁琐和复杂，所以有些类型的绝对值方程，我们可以采用“绝对值的几何意义”来求
解方程
【巩固】解方程：
【巩固】解方程
解方程
【巩固】解方程
? “隐含条件”（绝对值的非负性）
形如型的绝对值方程的解法：
①根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围；
②若的取值范围能够确定的正，负情况，则直接去掉绝对值
③若的取值范围不能确定的正，负情况，则将原方程化为两个方程和；
④分别解方程和；
⑤将求得的解代入检验，舍去不合条件的解．
解方程
【巩固】解方程
【巩固】解方程
解方程：
已知关于的方程有无数多个解，试求的值．
解方程：
内容 基本要求 略高要求 较高要求
一元一次方程 了解一元一次方程的有关概念 会根据具体问题列出一元一次方程 能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题
一元一次方程的解法 理解一元一次方程解法中的各个步骤 能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程的解 会运用一元一次方程解决简单的实际问题
应用题是中学数学中的一类重要问题，一般通过对问题中量的关系进行分析，适当的设未知数，找出等量关系列出方程加以解决.很多同学见到应用题就发怵，觉得题目长，文字多，关系复杂，难以把握.其实应用题关键在于读题，弄懂题意.一些常见的问题，比如行程问题、工程问题、利率问题、浓度问题等等，其中的基本关系一定要深刻理解.
设未知数的方法一般来讲，有以下几种：
直接设未知数解应用题：
直接设未知数指题目问什么就设什么，它多适用于要求的未知数只有一个的情况；
间接设未知数解应用题：
设间接未知数，是指所设的不是所求的，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用；
引入辅助未知数解应用题：
设辅助未知数，就是为了使题目中的数量关系更加明确，可以引进辅助未知数帮助建立方程.辅助未知数往往不需要求出，可以在解题时消去.
解应用题的方法多种多样，除此之外，还有运用逆推法解应用题、运用整体思想解应用题、运用图形图表法解应用题等等，单纯的背这些方法是没有意义的，关键还在于提高理解能力，大量练习，从而学会快速读懂题意，综合运用各种方法去求解问题.
列方程解应用题的步骤：
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
模块一 和差倍分问题
玻璃缸里养了三个品种的金鱼，分别是“水泡”“朝天龙”“珍珠”．“水泡”的条数是“珍珠”的3倍；“朝天龙”的条数是“珍珠”的2倍，且“朝天龙”比“水泡”少1条，这三种金鱼各有几条呢?
【巩固】甲队有32人，乙队有28人，现从乙队抽人到甲队，使甲队是乙队人数的2倍，依题意，列出方程为 .
【巩固】汽车若干辆装运货物一批，若每辆汽车装吨货物，这批货物就有2吨运不走；若每辆汽车装4吨货物，那么装完这批货物后，还可以装其他货物1吨，问汽车有多少辆?这批货物有多少吨？
⑴ 甲仓库有粮吨．乙仓库有粮吨．从甲仓库调运 吨到乙仓库，调剂后甲仓库存粮是乙仓库的一半．
⑵ 甲乙两个圆柱体容器，底面积比为，甲容器水深，乙容器水深，再往两个容器注入同样多的水，使两个容器的水深相等，这时水深多少厘米?
【巩固】某公司有甲乙两个工程队，甲队人数比乙队人数的多人．现因任务需要，从乙队调走20人到甲队，这时甲队人数是乙队人数的2倍，则甲乙两队原来的人数分别是多少人？
【巩固】甲、乙、丙三条铁路共长千米，甲铁路长比乙铁路的倍少千米，乙铁路长比丙铁路少 千米，求甲铁路的长．
【巩固】如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为，此时木桶中水的深度是 ．
牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只．”问牧羊人的这群羊共有多少只?
模块二 行程问题
?追击问题
解决追击问题的一个最基本的公式：追击时间速度差追击的路程．于此相关的问题都可以应用这一公式进行解答．
敌我两军相距32千米，敌军以每小时6千米的速度逃窜，我军同时以每小时16千米的速度追击在相距2千米的地方发生战斗，问战斗是从开始追击后几小时发生的？
【巩固】环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的倍，环城一周是20千米，求两个人的速度。
【巩固】一个通迅员骑摩托车追赶前面部队乘坐的汽车，汽车的速度是每小时28千米，摩托车的速度是每小时42千米，通讯员出发4小时后追上汽车，求部队比通讯员早出发几小时？
某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，则此人此时骑摩托车的速度应为多少？
【巩固】甲乙两列火车，甲车长160，乙车长120，甲车速度为20，乙车速度为；若乙车从后面追赶甲车，问从乙车追上甲车到乙车超过甲车的时间是多少？
?相遇问题
解决相遇问题的基本公式为：速度和相遇时间路程．
乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？
【巩固】甲、乙两人从相距75的、两地相向而行，甲每小时行,乙每小时行，问：（1）两人同时出发，多少小时相遇？（2）甲先走2小时后乙出发，问乙出发几小时后两人相遇
【巩固】甲、乙两人从相距73的、两地相向而行，甲每小时行7,乙每小时行2，问：两人同时出发，多少小时相距1？
?变速问题
一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行525米，预计40分钟到达，但行到一半路程时，机器发生故障，用5分钟修理完毕，如果仍在预计的时间内到达，行驶余下的路程，每分钟比原来速度快多少米？
【巩固】某人以每小时8千米的速度上山，以每小时12千米的速度下山，共用5小时。问上山需要用多少时间？
【巩固】Cenrrie带着宠物狗“旺财”去玩接“飞盘”的游戏，Cenrrie站一个小山坡的脚下，当Cenrrie扔出“飞盘”，“旺财”从Cenrrie身边同时跑出去速度为6，接到“飞盘”后以9的速度跑回Cenrrie身边，问整个过程中“旺财”的平均速度是多少？
某人有急事，预定搭乘一辆小货车从A地赶往B地．实际上，他乘小货车行了三分之一路程后改乘一辆小轿车，车速提高了一倍，结果提前一个半小时到达．已知小货车的车速是36千米／小时，求两地间路程.
【巩固】一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？
?流水问题
流水问题的常用公式：
一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行至B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小时后找到救生圈.问：
⑴若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小时？
⑵救生圈是何时掉入水中的？
【巩固】甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时，现有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，问这机帆船往返两港要多少小时？
模块三 工程问题
某车间原计划每周装配台机床，预计若干周完成任务．在装配了三分之一以后，改进操作技术，工效提高了一倍，结果提前一周半完成任务．求这次任务需装配机床总台数．
【巩固】某工程，甲工程队单独做天完成，乙工程队单独做需要天完成，若乙工程队单独做天后，甲、乙两工程队再合作天完成．列方程为 ．
一水池，装有甲、乙两个进水管和一个出水管丙，如果单独开发甲管4小时注满水池；单独开放乙管3小时可注满水池；单独开放丙管8小时可以把满池水放完。问三管一齐开放，几小时注满水池？
【巩固】有一个水池，用甲抽水机抽水小时可以把全池水的抽完，用乙抽水机小时可以把全池水的抽完，若两台抽水机同时工作，几小时可将全池的水抽完？
1. 甲乙两人从相距米的两地同时相对而行，甲每分钟行米，乙每分钟行米．几分钟后，甲乙二人相遇？如果甲带了一只狗和甲同时出发，狗以每分钟米的速度向乙跑去，遇到乙后立刻回头向甲跑去。这样，狗在甲乙二人之间来回奔跑，直到两人相遇时为止。求这只狗跑了多少路？
1. 一个两位数，十位数字是个位数字的倍，如果把十位数字与各位数字交换，所成的新数比原数少，求原数.
2. 一个两位数，十位数字比个位数字的倍多．将两个数字调换位置后，所得的数比原数小，求原来的两位数．
3. 船在静水中的速度为每小时千米，水流速是每小时千米，船从上游乙港到下游甲港航行了小时，从甲港返回乙港需要多少小时？
