人教A版高中数学选修1-2：2.2.1直接证明--综合法与分析法教案

课题
2.2.1直接证明--综合法与分析法
课型
新授课
教学
目标
知识与技能：
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
重点
难点
教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。
教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点。
教具
准备
多媒体
课时
安排
1
教学过程与教学内容
教学方法、教学手段与学法、学情
教学过程：
学生探究过程：证明的方法
（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
（2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
??? 证明：(用分析法思路书写)
??? 要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，
??? 只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，
??? 即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)
??? 只需证a2-2ab+b2＞0成立，
??? 即需证(a-b)2＞0成立。
??? 而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
??? (以下用综合法思路书写)
??? ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0亦即a2-ab+b2＞ab
??? 由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab
??? 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证
例2、若实数，求证：
证明：采用差值比较法：
=
= =
=
∴ ∴
例3、已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？
巩固练习：第89页练习1 , 2 , 3
课后作业：第91页 1，2
分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
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反思
本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。