人教A版高中数学选修1-2：2.2.2反证法教案

课题
反证法
课型
新授课
教学目标
结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程与特点
重点
难点
教学重点：
了解反证法的思考过程与特点
教学难点：
正确理解、运用反证法
教具
准备
多媒体
课时
安排
2
教学过程与教学内容
教学方法、教学手段与学法、学情
（一）复习：综合法与分析法
综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效。
就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述。
因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程。
（二）探究新课
1．反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
2．例题探析
例1 已知是整数，2能整除，求证：2能整除.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除”。
因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则
，即是奇数。
所以，2不能整除。这与已知“2能整除”相矛盾。于是，“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a.
例2 在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。
证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。
设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，
如图所示，则。
这样的内角和
。
这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾，这说明假设是错误的。
所以直线a与b不相交，即a与b平行。
例3 求证：是无理数。
证明： 不是无理数，即是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，
设，且p，q互素，则。所以 。 ①
故是偶数，q也必然为偶数。设q=2k，代入①式，则有，即，
所以p也为偶数。P和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾。
因此，假设不成立，即“是无理数”。
（三）小结：反证法的证题步骤是：（1）作出否定结论的假设；（2）进行推理，导出矛盾；（3）否定假设，肯定结论。
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识。
反证法的适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）
（四）练习：1.课本练习1.
2.“过在同一直线上的三点不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？
证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，
则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，
即O是l与m的交点。
但 ∵共线，∴l∥m(矛盾)
∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆。
（五）作业：课本P14练习1，P15习题1-3： （3）（4）
补充题：若、，
(1)求证：；
(2)令，写出，，，的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.
解（1）（采用反证法）. 若，即, 解得
从而与题设,相矛盾，
故成立.
(2) ，，，，, .
（3）因为 又,
所以,
因为上式是关于变量的恒等式，故可解得，
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