人教A版高中数学选修2-1：2.2.2椭圆的简单几何性质（三）教案

课题
第三课时 2.2.2 椭圆的简单几何性质（三）
（椭圆的第二定义）
课型
新授课
教学
目标
了解椭圆第二定义、准线方程；
重点
难点
教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；
教学难点：椭圆的第二定义的运用.
教具
准备
与教材内容相关的资料
课时
安排
1
教学过程与教学内容
教学方法、教学手段与学法、学情
教学过程：
复习回顾
1．椭圆的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为，离心率为，焦点坐标为，顶点坐标为，（准线方程为）.
2．短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为、，过点作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为 20 .
引入课题
【例】椭圆的方程为，M1，M2为椭圆上的点
求点M1（4，2.4）到焦点F（3，0）的距离 2.6 .
若点M2为（4，y0）不求出点M2的纵坐标，你能求出这点到焦点F（3，0）的距离吗？
解：且代入消去得
【推广】你能否将椭圆上任一点到焦点的距离表示成点M横坐标的函数吗？
解：代入消去 得
问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）
椭圆上的点M到右焦点的距离与它到定直线的距离的比等于离心率
问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）
动点到定点的距离与它到定直线的距离的比等于常数的点的轨迹是椭圆．
【引出课题】椭圆的第二定义
当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．
对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据对称性，相应于焦点的准线方程是．对于椭圆的准线方程是．
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．
由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为；左焦半径公式为
典型例题
例1、椭圆上的点到左准线的距离是，求到左焦点的距离为 .
变式：求到右焦点的距离为 .
解：记椭圆的左右焦点分别为到左右准线的距离分别为由椭圆的第二定义可知：
又由椭的第一定义可知：
另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为
小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用
点P与定点A（2，0）的距离和它到定直线的距离的比是1：2，求点P的轨迹；
解法一：设为所求轨迹上的任一点，则由化简得，故所的轨迹是椭圆。
解法二：因为定点A（2，0）所以，定直线所以解得，又因为故所求的轨迹方程为
小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大；
解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。
巩固练习
1．已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距离为_____________．
2．若椭圆 的离心率为，则它的长半轴长是______________．
答案：1． ???? 2．1或2??
课后作业
1. 已知 ， 为椭圆 上的两点， 是椭圆的右焦点．若 ， 的中点到椭圆左准线的距离是 ，试确定椭圆的
探究推广
方程．
．
思考：
1．方程表示什么曲线？
解：；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数（且该常数小于1）方程表示椭圆。
板
书
教学
反思