《菱形的性质与判定》基础练习
选择题
1．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）
A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4）
C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）
2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）
A．2 B．/ C．1 D．/
3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
4．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（ ）
A．15 B．/ C．7.5 D．/
填空题
5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是 _________ cm2．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= _________ ．
7．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm2．
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为 _________ ．
9．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= _________ 度．
6题图 7题图 8题图 9题图
解答题
10.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，求阴影部分的面积？
10题图 11题图 12题图
11．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，求PE+PB的最小值
12．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求线段BE的长．
/
13．、如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE=BF；
（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．
/
14．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．
（1）证明：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的/，为什么？
/
15．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．
（1）连接 _________ ；
（2）猜想： _________ = _________ ；
（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）
/
解析和答案
一．选择题
1.【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】C
4.【答案】A
二．填空题
5．【答案】3
解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：/×2×3=3（cm2）．
6．【答案】/
解：∵AC=8，BD=6，
∴BO=3，AO=4，
∴AB=5．
/AO?BO=/AB?OH，
OH=/．
【答案】2/．
解：∵E是AB的中点，
∴AE=1cm，
∵DE丄AB，
∴DE=/=/cm．
∴菱形的面积为：2×/=2/cm2．
8．【答案】60
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=13，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=5，
∴OB=/=12，BD=2OB=24，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=BC=13，DE=AC=10，
∴△BDE的周长是：BD+BC+CE+DE=24+10+26=60．
9．【答案】65
解：∵ABCD是菱形，∴AB=AD．∴∠ABD=∠ADB．
∵∠BAD=80°，∴∠ABD=/×（180°﹣80°）=50°．
又∵BE=BO，
∴∠BEO=∠BOE=/×（180°﹣50°）=65°．
三．解答题
10.解：阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积=/AC?BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．
11.解：当点P在AB的中垂线上时，PE+PB有最小值．
过点E作PE⊥AB，交AC于P，则PA=PB．
∵∠B=120°
∴∠CAB=30°
∴PA=2EP
∵AB=2，E是AB的中点
∴AE=1
在Rt△APE中，PA2﹣PE2=1
∴PE=/，PA=/
∴PE+PB=PE+PA=/．
12.解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°；
（2）由（1）可知BD=AB=4，
又∵O为BD的中点，
∴OB=2（6分），
又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°，
∴∠BOE=30°，
∴BE=1．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠A=∠C，
∵BE⊥AD、BF⊥CD，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
在△ABE和△CBF中，
/
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE=BF．
/
（2）解：如图，
∵对角线AC=8，BD=6，
∴对角线的一半分别为4、3，
∴菱形的边长为/=5，
菱形的面积=5BE=/×8×6，
解得BE=/．
14.解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
/
∴BC=CD，AC平分∠BCD
∵CE=CE
∴△BCE≌△DCE∴∠EBC=∠EDC
又∵AB∥DC
∴∠APD=∠CDP
∴∠EBC=∠APD
（2）解：当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=/S菱形ABCD．
理由：连接DB
∵∠DAB=60°，AD=AB
∴△ABD等边三角形
∵P是AB边的中点
∴DP⊥AB（10分）
∴S△ADP=/AP?DP，S菱形ABCD=AB?DP∵AP=/AB
∴S△ADP=/×/AB?DP=/S菱形ABCD
即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的/．
15.解：（1）连接AF；
AF=AE；
（3）证明：四边形ABCD是菱形．
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABF=∠ADE，
在△ABF和△ADE中
/
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE．
/
《菱形的性质与判定》基础练习
选择题
1．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（ ）
A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm
2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
3．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB=3，则菱形AECF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．4
4．如图，在矩形ABCD中，有以下结论：
①△AOB是等腰三角形；②S△ABO=S△ADO；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD=45°时，矩形ABCD会变成正方形．
正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
填空题
5．菱形两条对角线的长分别为6和8，它的高为 ．
6．用两块完全重合的等腰三角形纸片能拼出什么图形 ．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是 ．
8．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为 ．
9．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．
三．解答题
10．如图，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G．
（1）求证：△ACE≌△CBD；
（2）求∠CGE的度数．
11．已知：如图中，AD是∠A的角平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．
12．如图，已知点E，F分别是?ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．
13．矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10．
（1）求矩形较短边的长．
（2）矩形较长边的长．
（3）矩形的面积．
14．如图，E、F分别为△ABC的边BC、AB的中点，延长EF到D，使得DF=EF，连接DA、DB、AE．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AB=AC，试说明四边形AEBD是矩形．
15．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？
参考答案
一．选择题
1．【答案】A
解：∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴AB=24÷4=6cm，
∵对角线AC、BD相交于O点，
∴OB=OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=AB=×6=3cm．
【答案】A
解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AB平行且等于CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
当AB=BC时，
平行四边形ABCD是菱形．
【答案】C
解：∵四边形AECF是菱形，AB=3，
∴假设BE=x，则AE=3﹣x，CE=3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO=∠ECO，
∵∠ECO=∠ECB，
∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，
2BE=CE，
∴CE=2x，
∴2x=3﹣x，
解得：x=1，
∴CE=2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2=EC2，
BC===，
又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2，
则菱形的面积是：AE?BC=2．
【答案】C
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=DO=CO，AC=BD，故①③正确；
∵BO=DO，
∴S△ABO=S△ADO，故②正确；
当∠ABD=45°时，
则∠AOD=90°，
∴AC⊥BD，
∴矩形ABCD变成正方形，故⑤正确，
而④不一定正确，矩形的对角线只是相等，
∴正确结论的个数是4个．
填空题
5．【答案】
解：由题意知AC=6，BD=8，则菱形的面积S=×6×8=24，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴△AOB为直角三角形，AO=3，BO=4，
∴AB==5，
∴菱形的高h==．
6.【答案】平行四边形或菱形．
解：若让两个等腰三角形的腰重合，则一定能拼成一个平行四边形；
若让两个等腰三角形的底边重合，则一定能拼成一个菱形．
【答案】8
解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=AC=2，OD=BD，AC=BD，
∴OC=OD=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴DE=CE=OC=OD=2，
∴四边形CODE的周长=2×4=8；
【解答】3
解：∵四边形ABCD是矩形，四边形BEDF是菱形，
∴∠A=90°，AD=BC，DE=BF，OE=OF，EF⊥BD，∠EBO=FBO，
∴AE=FC．又EF=AE+FC，
∴EF=2AE=2CF，又EF=2OE=2OF，AE=OE，
∴△ABE≌OBE，
∴∠ABE=∠OBE，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
∴BE=，
∴BF=BE=2，
∴CF=AE=，
∴BC=BF+CF=3，
【解答】AC⊥BD
解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，
∴HG∥BD，EH∥AC，
∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠EHG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG=90°，
∴∠2=90°，
∴AC⊥BD．
解答题
10．解：（1）∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=∠ABC，
∵BE=AD，
∴BE+BC=AD+AB，
即CE=BD，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（SAS）；
（2）如图，连接AC，易知△ABC是等边三角形，
由（1）可知△ACE≌△CBD，
∴∠E=∠D，
∵∠BAE=∠DAG，
∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG，
∴∠CGE=∠ABC，
∵∠ABC=60°，
∴∠CGE=60°．
11.【答案】证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠FDA
∴AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形．
12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，
∴AE=BC=CE，
同理，AF=AD=CF，
∴AE=CE=AF=CF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：连接EF交AC于点O，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10，
∴AC=BC=5，AB=AC=5，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，OA=OC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=，
∴EF=5，
∴菱形AECF的面积=AC?EF=×5×5=．
13.【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形．
∴AB=OA=AC=5，即矩形较短边的长为5；
（2）在直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，AC=10，则BC===5．
即矩形较长边的长是5；
（3）矩形的面积=AB?BC=5×5=25．
14．【解答】证明：（1）∵E、F分别为△ABC的边BC、BA的中点，
∴EF∥AC，EF=AC，
∵DF=EF，
∴EF=DE，
∴AC=DE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵DF=EF，AF=BF，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AC=DE，
∴AB=DE，
∴四边形AEBD是矩形．
15．【解答】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，
∴∠FDC=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO=90°﹣36°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴∠ODC=54°
∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．
《菱形的判定》基础练习
一、选择题
1．下列性质中，为菱形所具备而平行四边形却不一定具有的是（ ）．
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．邻角相等 D．邻边相等
2．菱形是轴对称图形，对称轴有（ ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．若菱形的周长等于它的高的8倍，则菱形一定互补角度数分别为（ ）．
A．30°，150° B．45°，135° C．60°，120° D．80°，100°
4．在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且E、F分别是BC、CD的中点，那么∠EAF等于（ ）．
A．75° B．55° C．45° D．60°
二、填空题
5．有一组_________的平行四边形叫做菱形，菱形的______都相等．
6．菱形的对角线________，并且_________．
7．如果菱形的高是5cm，相邻两个内角的度数之比为1：5，那么它的边长为_____cm．
菱形较短的对角线长为4，两邻角的比为1：2，则菱形的面积为_______，另一条对角线的长为_______．
三、解答题
9．菱形的周长为12cm，一条对角线长为3cm，求菱形各角的度数．
10．如下图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．
（1）求证：四边形BDEF是菱形．
（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长．
11．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．
12．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．
13．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．
14．如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，再过E，F作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G，H，且EG，FH相交于点K，试说明EF和DK之间的关系．
15．菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用．如图所示是一块长30cm，宽20cm的长方形的瓷砖，E，F，G，H分别是边BC，CD，DA，AB的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色．现有一面长4.2m，宽2.8m的墙壁准备贴这种瓷砖，试问：
（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？
（2）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形？其中有花纹的菱形有多少个？
答案和解析:
选择题
【答案】D
【答案】B
【答案】A
【答案】D
填空题
5.【答案】邻边相等 四边
6.【答案】互相垂直 平分一组对角
7.【答案】10
8．【答案】8 4
三、解答题
9．解：菱形各角度数分别为60°，120°，60°，120°
10．（1）证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB边中点，
∴DE∥AB，EF∥BC，
∴BDEF为平行四边形．
又∵AB=BC，
∴BF=BD，
∴BDEF是菱形
（2）∵AB=12cm，
∴BF=6cm，
∴菱形BDEF的周长为24cm．
解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．
解：四边形PCOD是菱形．四边形PCOD是平行四边形．又因为OC=OD
13．解法一：四边形CDEF是菱形．理由：如图所示，因为△CBD≌△EBD，所以CD=DE，
因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，所以∠3=∠4．所以CF=CD．所以CF=DE．因为CFDE．所以四边形CDEF是平行四边形．又因为CF=CD，所以□CDEF是菱形．
解法二：如答图20-3-4所示，连结CE交DF于点O．
因为△BCD≌△BED．所以BC=BE．又因为∠1=∠2，所以BD⊥CE，且OC=OE．
因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，
所以∠3=∠4．所以CF=CD．又因为CE⊥DF，所以OF=OD．所以四边形CDEF是平行四边形，又因为DF⊥CE，所以CDEF是菱形．
14．解：EF与DK互相垂直平分．理由：因为DE⊥AB，FH⊥AB，所以DE∥FH．
因为DF⊥AC，EG⊥AC，所以DF∥EG．所以四边形DEKF是平行四边形．
因为AB=AC，所以∠B=∠C．又因为BD=CD，∠BED=∠CFD=90°，
所以△BDE≌△CDF，所以DE=DF．所以DEKF是菱形，
所以EF与DK互相垂直平分．
15．解：（1）因为墙壁的总面积为4.2×2.8=11.76（m2），每块瓷砖的面积为0.3×0.2=0.06（m2），所以最少需要贴这种瓷砖11.76÷0.06=196（块）．
（2）因为每相邻4块瓷砖构成一个有花纹的菱形（如图），
在长4.2m，宽2.8m的墙壁上贴长30cm，宽20cm的长方形瓷砖，
可贴4.2÷0.3=14（列），2.8÷0.2=14（行）．
因此构成的有花纹的菱形共13列13行，所以有花纹的菱形共13×13=169（个）．
同时，白色菱形的个数与瓷砖的块数相同，故有白色菱形196个．
从而面积相等的菱形最多有169+196=365（个）．
